浙江省衢州市柯城區(qū)石梁中學(xué)

余利英　　(郵編：324015)

上海市嶺南中學(xué)

劉華為　　(郵編：200435)

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聚焦新課程

對一次函數(shù)圖象教學(xué)難點(diǎn)突破的嘗試與思考

浙江省衢州市柯城區(qū)石梁中學(xué)

余利英(郵編：324015)

上海市嶺南中學(xué)

劉華為(郵編：200435)

從一個實(shí)例入手，以作圖為主線，以幾何畫板動態(tài)演示為輔助，從直觀感受到動手操作、從具體到抽象、從有限到無限、從大膽猜想到合情推理，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識、理解一次函數(shù)的圖象是一條直線，從而巧妙地突破一次函數(shù)圖象的教學(xué)難點(diǎn)．

一次函數(shù)圖象；數(shù)學(xué)理解；難點(diǎn)突破

1　難點(diǎn)分析

眾所周知，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，主要包含兩方面含義：其一，以滿足關(guān)系式y(tǒng)=kx+b的任一組x、y的值分別為橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)都在這條直線上(完備性)；其二，直線上所有點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x、y的值皆滿足關(guān)系式y(tǒng)=kx+b(純粹性)．顯然，單純從這兩個方面去闡述一次函數(shù)y=kx+b的圖象就是一條直線，對于初次接觸作函數(shù)圖象(之前學(xué)生只是知道圖象法也是函數(shù)的三種表示方法之一和函數(shù)圖象的概念)的初中學(xué)生來說，在理解和接受上存在一定的難度．因此，浙教版教材(八·下)對一次函數(shù)圖象的處理主要基于感知上(回避了難點(diǎn))，通過“列表、描點(diǎn)和連線”三步操作，引導(dǎo)學(xué)生觀察出一次函數(shù)圖象是一條直線，至于為什么坐標(biāo)滿足關(guān)系式y(tǒng)=kx+b的點(diǎn)組成的圖形就是一條直線卻未作任何理解性設(shè)計．但“列表、描點(diǎn)、連線”得出一條直線后就硬說是一次函數(shù)的圖象，有“強(qiáng)塞”之感．學(xué)生不僅感到突兀，而且不易接受與理解，當(dāng)然用起來也就難免將信將疑，對后續(xù)學(xué)習(xí)造成了一定的干擾．即使經(jīng)過反復(fù)強(qiáng)化，學(xué)生從感觀上接受了一次函數(shù)的圖象是一條直線，但在理解上仍然存在一定的障礙．

那么，如何設(shè)計課堂教學(xué)方能引導(dǎo)學(xué)生理解性地認(rèn)知一次函數(shù)y=kx+b的圖象就是一條直線呢？首先，需從直線的動態(tài)生成入手，找到理解一次函數(shù)圖象是一條直線的切入點(diǎn)．眾所周知：點(diǎn)動成線．但點(diǎn)動未必成直線，只有點(diǎn)沿著某一固定方向(或其反方向)運(yùn)動，生成的軌跡才是直線．因此要說明一次函數(shù)圖象是一條直線不妨說明圖象上點(diǎn)動態(tài)生成的方向相同或相反．其次，從直線的傾斜角入手，挖掘理解一次函數(shù)圖象是一條直線的突破口．事實(shí)上，要說明點(diǎn)動態(tài)生成的方向固定不變(或相反)可說明其運(yùn)行軌跡與某一定直線平行(或所成的角相同)，即圖象上任意一點(diǎn)與它經(jīng)過的某定點(diǎn)的連線與一已知直線平行(或所成角為定值)．由直線的傾斜角定義可知，一次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)和它與x軸交點(diǎn)的連線，與x軸正方向所成角相同(或互補(bǔ))，由此可知一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)確在一條直線上．這也正體現(xiàn)了“一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b中的k確定直線的方向和b確定了直線的位置”的本質(zhì)．當(dāng)然，教學(xué)中不必指出傾斜角一詞，以免造成學(xué)生理解上的難度，增加不必要的負(fù)擔(dān)．最后，從取點(diǎn)驗(yàn)證入手，找準(zhǔn)完善一次函數(shù)圖象是一條直線的著力點(diǎn)．前面兩點(diǎn)只是說明了一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)在一條直線上，那么是否這條直線上所有的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上(即直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式)？當(dāng)然要講清此點(diǎn)必須借助于直線的斜率k，但這顯然超出八年級學(xué)生的認(rèn)知水平和理解能力，不宜過度拓展．教學(xué)中可以滲透為著力點(diǎn)，一方面通過學(xué)生找出直線上的部分整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)一一驗(yàn)證(或借助幾何畫板找非整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)驗(yàn)證)，另一方面不妨從x可取一切實(shí)數(shù)和點(diǎn)的動態(tài)生成入手，說明一次函數(shù)的圖象和描出的直線完全重合，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．

筆者基于上述理解，在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行了大膽的嘗試，設(shè)計出“創(chuàng)設(shè)情境、大膽猜想、作圖感知、畫板驗(yàn)證和合情推理”等探究性教學(xué)流程，取得了可喜的效果．現(xiàn)不揣淺陋，一一分享，以求拋磚引玉．

2　教學(xué)設(shè)計

2．1創(chuàng)設(shè)情境，感知直線

新課伊始，學(xué)生觀看某商場顧客乘坐自動扶梯自下而上的視頻，并通過下列驅(qū)動問題引導(dǎo)學(xué)生思考、嘗試和探究，從而感知一次函數(shù)的圖象是一條直線．

問題1視頻中，顧客頭頂?shù)暮Y(jié)(視作一點(diǎn))運(yùn)動的路線是什么?(線段)

問題2你能說明為什么是線段嗎？(蝴蝶結(jié)運(yùn)動的方向始終與扶梯平行或與水平線夾角為定值)

設(shè)計說明問題1和問題2意在讓學(xué)生從一個熟悉的生活實(shí)例中抽象出點(diǎn)動成線的事實(shí)，并理解點(diǎn)必須沿著一個固定的方向或其反方向運(yùn)動，軌跡才是一條直線，從而為后面說明一次函數(shù)的圖象是一條直線奠定理論基礎(chǔ)．

2．2大膽猜想，引出直線

問題3若自動扶梯的高度為4.5米，其鉛直方向上升的速度為每秒1米，顧客身高為1.5米．設(shè)顧客在自動扶梯上運(yùn)行的時間為x秒、顧客頭頂蝴蝶結(jié)離下樓面的高度為y米，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(y=x+1.5，0≤x≤4.5)

問題4你能猜想出一次函數(shù)y=x+1.5在直角坐標(biāo)系中的圖象是什么嗎？(一條直線)

設(shè)計說明問題3意在把現(xiàn)實(shí)中點(diǎn)運(yùn)動的軌跡與一次函數(shù)圖象建立聯(lián)系，也為問題4的猜想和下一步作函數(shù)圖象做好鋪墊；問題4意在引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象、從部分到整體的遷移．當(dāng)然，問題4的猜想是否正確尚需進(jìn)一步驗(yàn)證和推理，教師可順勢引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)．

2．3動手操作，體驗(yàn)直線

圖1

通過“列表、描點(diǎn)和連線”三個步驟引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=x+1.5的圖象(如圖1)，并啟發(fā)學(xué)生思考：

問題5請問蝴蝶結(jié)運(yùn)行的軌跡與圖1之間有什么聯(lián)系？(若以自動扶梯的下底部為原點(diǎn)，沿扶梯運(yùn)動的水平方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則顧客頭頂運(yùn)行的軌跡是圖1中圖象的一部分)

問題6除了描出的點(diǎn)外，直線上的其他點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是否依然滿足一次函數(shù)y=x+1.5的關(guān)系式？(引導(dǎo)學(xué)生通過作圖找出x取特殊點(diǎn)時對應(yīng)的縱坐標(biāo)，并計算驗(yàn)證)

問題7會不會有橫、縱坐標(biāo)滿足y=x+1.5的點(diǎn)不在這條直線上？(引導(dǎo)學(xué)生再描一些點(diǎn)加以驗(yàn)證)

設(shè)計說明通過問題5引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘顧客頭頂?shù)暮Y(jié)運(yùn)行軌跡與對應(yīng)一次函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)性，突出部分與整體的關(guān)系，強(qiáng)化直線是向兩方無限延伸的；問題6和問題7意在讓學(xué)生初步體驗(yàn)自變量x取值的純粹性和完備性，以及圖象上點(diǎn)的連續(xù)性，加深對函數(shù)圖象概念的理解，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)曲線與方程奠定基礎(chǔ)．同時，問題6與問題7也點(diǎn)破學(xué)生心中的疑慮，從而把思考引向深入，并自然轉(zhuǎn)入下一環(huán)節(jié)的教學(xué)．

2.4動態(tài)演示，驗(yàn)證直線

對于問題6與問題7而言，上述驗(yàn)證中描點(diǎn)個數(shù)畢竟有限，很難一下子消除學(xué)生心中的疑慮．但若能借助幾何畫板動態(tài)生成的優(yōu)越性，巧妙地把所描點(diǎn)化少為多、化有限為無限，則可有效消除學(xué)生心中的疑慮，起到直觀驗(yàn)證之效．為了便于讀者操作，現(xiàn)把作圖方法也一并呈現(xiàn)，以供參考．

2.4.1作圖流程．

步驟1新建一個畫板文檔，在繪圖區(qū)域內(nèi)，做一條水平射線AM，豎直射線AN，在水平射線AM上任取兩點(diǎn)B、C，用點(diǎn)B來控制列寬，點(diǎn)C來控制自變量的個數(shù)；在豎直射線AN上任取點(diǎn)D，用點(diǎn)D來控制行高；

步驟2標(biāo)記向量AD，選定點(diǎn)B，平移得到點(diǎn)B′，構(gòu)造線段AB、AD、DB′、BB′，隱藏射線；把線段AB向下平移向量DA，得到線段A′B′構(gòu)造線段BB′；

圖2

步驟4新建參數(shù)1，參數(shù)名稱改為初始值，值為1.00；新建參數(shù)2，名稱改為間距，值為1.0；新建參數(shù)3，名稱改為k，值為1；新建參數(shù)4，名稱改為b，值為1.5；

步驟5選定初始值與間距這兩個參數(shù)，分別做計算：初始值+間距；k×初始值+b；選定初始值，選擇數(shù)據(jù)菜單中的計算，得到計算后的初始值；

步驟6建立平面直角直標(biāo)系，繪制點(diǎn)(初始值，k×初始值+b)；

步驟7選擇第5步計算后的初始值合并到上方表格的中心作為自變量x的值，把步驟5的第2個計算值合并到下方表格的中心作為因變量y的值．

2.4.2畫板演示．

圖3

圖4

圖5

演示1把初始值和間距這兩個參數(shù)的值分別設(shè)置為0.00和0.50，并且取10個自變量，則可得圖3中的10個點(diǎn)．

演示2把自變量的初始值仍設(shè)置為0.00而間距設(shè)置為0.30，同是拖動圖2中的點(diǎn)C增加自變量個數(shù)，則在10個點(diǎn)之間增加許多點(diǎn)，圖象的直線感也增強(qiáng)了(如圖4)．

演示3如果間距縮小為0.10，同時為增加點(diǎn)的個數(shù)，拖動圖2中的點(diǎn)B縮小表格的寬度，則效果就更加明顯了.

演示4把自變量的初始值設(shè)置為-2.00而間距設(shè)置為0.10不變，繼續(xù)拖動點(diǎn)C增加自變量個數(shù)，則不僅原有10個點(diǎn)之間點(diǎn)數(shù)增加而且點(diǎn)向外拓展，直線感更逼真了(如圖5)．

不難想象，隨著初始值趨向于-∞且間距趨向于0，一條直線便活靈活現(xiàn)地展示在學(xué)生的眼前，他們心中的疑慮瞬間也會蕩然無存了．

2.5合情推理，理解直線

由情境可知，點(diǎn)動成線，但點(diǎn)運(yùn)動的軌跡若為一條直線則必須要沿著某一固定的方向(或其反方向)運(yùn)動．具體理解可說明其滿足兩點(diǎn)：其一，經(jīng)過某一定點(diǎn)(確定直線所在的位置)；其二動點(diǎn)與該定點(diǎn)的連線與某一定直線平行或所成角為定值(確定點(diǎn)運(yùn)動的方向)．鑒于此，為了進(jìn)一步從理論上說明一次函數(shù)y=x+1.5的圖象確為一條直線，特作如下設(shè)計：

問題8一次函數(shù)y=x+1.5的圖象與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)是什么？(A(-1.5，0))

問題9在“動手操作、體驗(yàn)直線”環(huán)節(jié)中所描的點(diǎn)中任取三點(diǎn)B、C、D，把它們分別與A點(diǎn)連接，請問AB、AC、AD與x軸正方向所成的角分別為多少度？(135°或45°)

問題10設(shè)P(x，x+1.5)為一次函數(shù)y=x+1.5圖象上任一點(diǎn)，猜想PA與x軸正方向所成角的度數(shù)，并說明理由．(135°或45°)

設(shè)計說明問題8意在引導(dǎo)學(xué)生找出定點(diǎn)，確定直線所在的位置；從問題9到問題10突出了由特殊到一般的思維過程，主要目的在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)滿足解析式y(tǒng)=x+1.5的其他點(diǎn)與A點(diǎn)連線的方向不變性(相同或相反)，從而推理出“一次函數(shù)y=x+1.5的圖象是一條過(-1.5，0)點(diǎn)且與x軸夾角為45°的直線”．對于問題10可引導(dǎo)學(xué)生過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，通過△PQA為等腰直角三角形加以證明．顯然，有了上述問題的探究，學(xué)生對一次函數(shù)y=x+1.5的圖象是一條直線的認(rèn)識就有了理論上的理解與支撐，必然也就深信不疑了．

2.6兩點(diǎn)畫線，回歸本質(zhì)

問題10既然一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么能否快速準(zhǔn)確地畫出一次函數(shù)y=kx+b的圖象呢？依據(jù)是什么？(依據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，可在直線上任取兩點(diǎn)畫出一次函數(shù)的圖象)

設(shè)計說明通過“兩點(diǎn)畫直線”既突出一次函數(shù)圖象的本質(zhì)，又彰顯了數(shù)學(xué)的簡潔美．而問題11更凸顯了一次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的重要性．

3　兩點(diǎn)思考

3.1如何靈活處理教材

對教材的靈活性使用可謂仁者見仁、智者見智，目前的著力點(diǎn)普遍于“材料選補(bǔ)”、 “結(jié)構(gòu)調(diào)整”、“情景創(chuàng)設(shè)”和“過程再現(xiàn)”上，筆者認(rèn)為“對知識結(jié)構(gòu)的重新梳理和內(nèi)容潛在功能的深入挖掘”也不容忽視．

教材中對一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)教學(xué)只安排了兩課時，第一課時主要作圖象并根據(jù)圖象觀察一次函數(shù)的性質(zhì)，第二課時主要研究圖象的增減性及其應(yīng)用．但多年實(shí)踐證明：第一課時中對用描點(diǎn)和觀察得出一次函數(shù)的圖象是一條直線的處理方式學(xué)生是心存疑慮的，有強(qiáng)加之感，并未從本質(zhì)上加以揭示．因此把兩課時拆為三課時，第一課時主要通過“一點(diǎn)嘗試”中的五個環(huán)節(jié)，逐步引導(dǎo)學(xué)生“感知、體驗(yàn)、驗(yàn)證、理解和揭示”一次函數(shù)圖象是一條直線，深入挖掘其本質(zhì)，力求做到“用而不疑”，為其性質(zhì)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用奠定了良好的基礎(chǔ)．另外，如此處理對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性和一絲不茍的探究精神也大有裨益．

3.2如何凸顯新課程的理念

新課程倡導(dǎo)：通過學(xué)生活動來突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，且在新知學(xué)習(xí)上，往往從實(shí)例引入抽象出數(shù)學(xué)模型，再通過觀察、分析、比較、歸納，探究知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，得出結(jié)論，并運(yùn)用于解決實(shí)際問題，強(qiáng)化能力培養(yǎng)．因此，教學(xué)過程中，如何安排學(xué)生的學(xué)習(xí)活動至關(guān)重要．本節(jié)課，設(shè)計了三個方面的學(xué)生活動：一是通過畫函數(shù)圖象感知一次函數(shù)圖象的形狀；二是通過幾何畫板演示驗(yàn)證一次函數(shù)的圖象；三是探究一次函數(shù)的圖象與 k、b 的關(guān)系，揭示本質(zhì)．不僅讓學(xué)生知道學(xué)什么，更知道如何學(xué)，為什么這樣學(xué)．在方法上“授人以漁”，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)．

當(dāng)然如何理解一次函數(shù)的圖象為一條直線是教學(xué)難點(diǎn)，但不能因?yàn)槭请y點(diǎn)，教學(xué)中就采取回避的策略．相反若能象本文所設(shè)計一樣，基于引導(dǎo)學(xué)生理解之上，并結(jié)合實(shí)際情況，大膽實(shí)施因材施教，積極尋求突破對策，才是積極處理教學(xué)難點(diǎn)的科學(xué)態(tài)度．

1浙教版義務(wù)教育教科書八年級上冊：數(shù)學(xué).杭州：浙江教育出版社，2013

2王耀．例談反比例函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)變換及其應(yīng)用 [J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(2)

2016-06-18)