吳歡

【摘要】直線參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)新課程選修4-4中的內(nèi)容，也是新課程新增內(nèi)容。其在求圓錐曲線的切線方程、解與線段中點(diǎn)有關(guān)的問題、解與線段長(zhǎng)有關(guān)的問題、解決有關(guān)極值的一些問題等方面有著重要的作用?？v觀歷年來高考真題，不滿發(fā)現(xiàn)直線與圓錐曲線的綜合題向來是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而如果合理利用直線方程的另一種形式――參數(shù)式，則可以讓學(xué)生從一個(gè)全新的角度去認(rèn)識(shí)這些問題，幫助學(xué)生更快地找到解題方式。本文就如何利用直線參數(shù)方程解題，作了詳細(xì)闡述，以資參考。

【關(guān)鍵詞】直線參數(shù)方程；解題；應(yīng)用

一、參數(shù)t的幾何意義及常用性質(zhì)

設(shè)過定點(diǎn)M0（x0，y0），且傾斜角為α的直線l參數(shù)方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數(shù)）。其中，參數(shù)方程中的參數(shù)t具有四個(gè)常用的性質(zhì)：

第一，若t>0，點(diǎn)M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而當(dāng)t=0的時(shí)候，點(diǎn)M和M0是重合的[1]。

第二，直線參數(shù)方程中的參數(shù)t可以代表直線l上M0到任意點(diǎn)M（x，y）有向線段M0M的數(shù)量，用公式表示為t=M0M。

第三，若直線l上的M1點(diǎn)與M2點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1與t2，那么，M1M2=t1-t2，并且滿足M0M1M0M2=t1t2的關(guān)系。如果M0點(diǎn)在M1與M2之間，則滿足t1t2<0的關(guān)系，如果M0點(diǎn)在M1與M2之外，則t1t2>0。

第四，若點(diǎn)M為M1M2中點(diǎn)，而點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，那么t=t1+t22。

二、利用直線參數(shù)方程解題

1.利用直線參數(shù)方程求圓錐曲線的切線方程

直線參數(shù)方程在圓錐曲線切線方程中的實(shí)際應(yīng)用中，最重要的就是將切線的方程轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程，然后將其代入到原有的圓錐曲線方程中，進(jìn)而獲得有關(guān)參數(shù)t的二次方程。下面以過定點(diǎn)的切線為例，求解橢圓的切線方程，具體方法如下：

題目?jī)?nèi)容為，橢圓方程為9x2+y2=25，求過定點(diǎn)（-1，4）的切線方程。

解題思路如下，因?yàn)槎c(diǎn)在橢圓之上，所以，可以將橢圓方程轉(zhuǎn)換成含有t的切線方程，即x=-1+tcosα

y=4+tsinα（t為參數(shù)），然后將其帶入到9x2+y2=25公式中，進(jìn)而獲取方程為9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，經(jīng)過相應(yīng)的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同時(shí)，目標(biāo)直線與橢圓的位置關(guān)系是相切，所以可以形成關(guān)系式，即△=（18cosα-8sinα）2=0，所以得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），經(jīng)整理可得出切線的方程，即9x-4y+25=0。

2.利用直線參數(shù)方程解與線段的中點(diǎn)有關(guān)的問題

在求解線段中點(diǎn)的相關(guān)問題中可以引進(jìn)直線的參數(shù)方程，若線段MN的中點(diǎn)為M1，并且具體的坐標(biāo)是（x0，y0），將M，N的參數(shù)分別假定為t1與t2，那么t1+t2=0。通過運(yùn)用上述關(guān)系式，可以求解線段所在直線的斜率，或者是始終變化中點(diǎn)（x0，y0）坐標(biāo)間的具體關(guān)系[3]。

以雙曲線的數(shù)學(xué)運(yùn)算為例進(jìn)行分析，雙曲線的方程為x24-y23=1，其中存在一弦AB是由定點(diǎn)（4，1）平分，求解直線AB的方程。

可以將直線AB的方程轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程，即x=4+tcosα

y=1=tsinα（t為參數(shù)）然后將參數(shù)方程代入到原有的雙曲線方程中，獲得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，經(jīng)整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同時(shí)，AB弦被（4，1）點(diǎn)平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直線AB方程可以表示成y-1=3（x-4），經(jīng)整理得出3x-y-11=0。

3.利用直線參數(shù)方程解與線段長(zhǎng)有關(guān)的問題

應(yīng)用直線參數(shù)方程來求解與線段長(zhǎng)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，既可以避免求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，還無需應(yīng)用兩點(diǎn)之間的距離公式。下面以具體數(shù)學(xué)例題為例進(jìn)行分析：

已知拋物線的方程為y2=4x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)F為（1，0），求解過此焦點(diǎn)且傾斜角是3π4的直線AB長(zhǎng)。首先可以將拋物線方程轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程，為x=1+tcos3π4

y=tsin3π4（t為參數(shù)），經(jīng)整理可得，x=1-22t

y=22t（t為參數(shù)），然后將所得公式代入到拋物線方程y2=4x中，可得t2+42t-8=0，再通過根和系數(shù)之間的關(guān)系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，進(jìn)而得出直線AB的長(zhǎng)度為8。

4.利用直線參數(shù)方程解決有關(guān)極值的一些問題

在數(shù)學(xué)問題中有關(guān)極值的問題也可以使用直線參數(shù)方程來解決，下面以具體例題為例進(jìn)行分析。

已知直線經(jīng)過定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，1），并且其傾斜角為α，同時(shí)直線與橢圓相交與M、N兩點(diǎn)，橢圓的方程為x24+y2=1，則當(dāng)α為何值時(shí)，可以使|MP|·|NP|取得最值，并求解最值。

具體的解題過程如下，可以將直線方程轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)（1，1），并且傾斜角為α，則直線的參數(shù)方程為{x=1+tcosα

y=1+tsinα（t為參數(shù)），并將參數(shù)方程代入到橢圓方程中，進(jìn)而得到方程（1+tcosα）24+（1+tsinα）2=1，經(jīng)整理可得（1+3sin2α）t2+（2cosα+8sinα）t+1=0。所以可以得出t1t2=11+3sin2α，所以，|MP|·|NP|=|t1||t2|=11+3sin2α。因此，在α=0的情況下，|MP|·|NP|可以取得最大值，為1。而當(dāng)α=π2的時(shí)候，|MP|·|NP|可以取得最小值，為14。

三、結(jié)語：

在數(shù)學(xué)學(xué)科的問題解決過程中，適當(dāng)?shù)厥褂脜?shù)方程可以使數(shù)學(xué)求解過程更簡(jiǎn)便。在學(xué)習(xí)直線參數(shù)方程的過程中，最重要的就是正確理解參數(shù)t的幾何意義以及常用的性質(zhì)，并且通過正確地使用參數(shù)t來解決文章所闡述的數(shù)學(xué)問題。在實(shí)際的學(xué)習(xí)與應(yīng)用的過程中，應(yīng)仔細(xì)品味參數(shù)實(shí)際意義，并在數(shù)學(xué)相關(guān)問題的解決中發(fā)揮其真正的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]牛錫東.直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用[J].聊城大學(xué)學(xué)報(bào)，2013

[2]朱夢(mèng)瑤.直線參數(shù)方程的應(yīng)用[J].青海教育，2014

[3]杜今芳.例談直線參數(shù)方程及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010