呂令杰

(山東師范大學 物理與電子科學學院，山東 濟南　250358)

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勻速運動介質中的聲波干涉

呂令杰

(山東師范大學 物理與電子科學學院，山東 濟南250358)

探討了由兩個靜止聲源產生的聲波在勻速運動的介質中的干涉，計算了兩聲源在同一時刻產生的兩列等相位的波面分別到達某點的時間差，并與角頻率相乘求得該點的相位差，進而得到了等相位差的點所滿足的方程，最后討論了幾個特殊位置處的干涉情況及相關應用.

聲波干涉；運動介質；相位差；縱波；測速

當介質相對聲源勻速運動時，聲波的波長在空間中有所改變，但只要觀察者相對于聲源靜止，在聲場中任意點觀測到的聲波頻率都是相等的，并且等于聲源振動的頻率[1].基于此，本文認為兩個靜止的相干聲源在勻速運動的介質中仍然會產生干涉. 筆者認為對于上述問題，一般情況下常以介質為參考系討論聲波的干涉，但是，若選擇兩相對靜止的聲源為參考系則便于問題的討論.此時各質元的位移可以分解為質元因振動而偏離其平衡位置的位移(下文稱振動位移)和平衡位置運動的位移.因為介質是整體運動的，即各質元平衡位置運動的位移是相等的，該位移分量不會改變相應質元平衡位置處的密度或壓強.假如我們只關心某點處的密度或壓強的變化情況，那么只需考慮平衡位置位于該點的質元的振動位移的變化.平衡位置位于該點的質元的振動位移的變化情況反映了該點的振動情況，其變化頻率即該點的聲波頻率.與介質靜止時不同，由于介質的運動，各質元的平衡位置依次經過該點，因此平衡位置位于該點的質元是時刻更替的，可見該點的聲波頻率同時取決于質元的振動頻率和介質的運動速度.上述問題若選擇兩相對靜止的聲源為參考系，兩聲波在各點的頻率是相等的，平衡位置位于某點的質元振動位移的矢量和反映了該點的干涉情況.

若兩聲源初相位相同，分別計算出兩聲源在同一時刻產生的兩列波面到達某點的時刻t1、t2，兩個時刻的差值Δt乘以角頻率ω即得到該點的相位差，即

Δφ=ωΔt=2πf(t2-t1)

(1)

式中f為聲源振動頻率.

圖1　計算相位差的示意圖

(x+l-vxt1)2+(y-vyt1)2=(v0t1)2

(2)

取其正根

(3)

(x-l-vxt2)2+(y-vyt2)2=(v0t2)2

(4)

取其正根

(5)

將t1、t2代入式(1)得

(6)

令式(6)中v=0，有

(7)

為了便于討論，令Δφ=±nπ

(8)

n取不同的實數(shù)值對應不同的相位差.將式(8)代入式(6)，整理得速度為v時等相位點滿足的方程

(9)

當v=0時式(9)成為靜止介質中等相位點滿足的方程：

(10)

由雙曲線的定義知，當n確定且n≠0時，該式是關于x和y的雙曲線方程(n=0時為直線)，雙曲線的焦點為兩聲源的坐標(±l,0)，不同的非零n對應不同的雙曲線對.由于有軸對稱性，等相差的點在空間中形成旋轉雙曲面.

當vx=0而vy≠0時，式(9)成為

(11)

(12)

令

(13)

上式寫成

(14)

圖2　式(14)的圖像

當vx≠0而vy=0時，式(9)成為

(15)

等號兩邊同除以v0,得

(16)

令

(17)

則上式寫成

(18)

圖3　式 (18)的圖像

當vx≠0而vy≠0時，式(9)不再是雙曲線方程，但速度不太大時與雙曲線非常接近.

下面討論幾個特殊位置處的干涉情況.

令式(6)中x=0，有

(19)

vy=0且vx≠0時，有

(20)

可見與介質靜止時不同，在x=0的平面上的相位差仍然是一常量，但一般不為零.

令式(6)中y=0，即在x軸上，此時分成3個區(qū)間分別討論如下.

1) 接收器在聲源A的左側，x<-l，則x+l<0，x-l<0.有

(21)

vx=0時,

(22)

(23)

2) 接收器在聲源A、B的中間，-l0，x-l<0，有

(24)

vx=0時,

(25)

(26)

3) 接收器在聲源B的右側，x>l，則x+l>0，x-l>0.

(27)

vx=0時,

(28)

(29)

以上討論說明vx和vy的變化都會改變x軸或x=0平面上的相位差，現(xiàn)以vy=0且vx≠0時為例，說明vx對以上位置處干涉情況的影響.將式(8)代入式(23)，得

(30)

該式反映了在y=0且x<-l的區(qū)間內的干涉情況與vx的關系.在該區(qū)間的遠場處兩列波的振幅大致相等，干涉效果較明顯.聲波作為一種縱波，在該區(qū)間兩列波行進方向和振動方向都相同，其干涉規(guī)律跟橫波相同[2]，即n為偶數(shù)時干涉相長，n為奇數(shù)時干涉相消.隨著速度的變化，該區(qū)間內干涉相長與干涉相消會交替出現(xiàn).在y=0且x>l的區(qū)間內的相位差由式(29)決定，其分析跟上述類似.

將式(8)代入式(26)，得

(31)

該式反映了在y=0且-l

(32)

由于在該區(qū)間兩列波振動方向相同但行進方向相反，此時干涉規(guī)律與橫波相反[2]，即n為偶數(shù)時干涉相消，n為奇數(shù)時干涉相長.因此當vx=0時，n=0，此時該點干涉相消，當v增大時干涉相長與干涉相消會交替出現(xiàn).由式(20)知，在x=0的平面上相位差都相等，但在該平面的遠場處兩列波行進方向和振動方向大致相同，干涉規(guī)律與橫波相同.由此可見，在同一等相位差的雙曲線(或雙曲面)上的不同位置處聲波的干涉情況不一定相同，這是縱波與橫波干涉的不同之處.

(33)

該式反映了在該區(qū)間內不同的n所對應的x隨vx變化的規(guī)律.例如n=0時，

(34)可見在該區(qū)間內相位差為零的點的x坐標正比于vx.

需要注意的是，干涉是質元振動位移的相加，各質元平衡位置的位移不變，即使是在干涉相消的位置處質元的速度也不為零.此外，相對于介質靜止的情況，該問題除了干涉情況發(fā)生變化之外，質元的振動位矢也有所改變，本文未做詳細分析.根據(jù)干涉圖譜的變化情況可以計算出聲源與介質的相對速度，利用這種方法可以測量流體的流速或物體運動速度.

[1]漆安慎，杜嬋英.力學[M].2版.北京：高等教育出版社，2009：366-367.

[2]劉義春.縱波干涉的規(guī)律及其應用[J].物理通報，2000(9)：11-13.

Acoustic interference in uniform motion medium

LV Ling-jie

(College of physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan, Shandong 250358, China)

In the paper, we discuss the interference of two sound waves engendered by static sound sources in the uniform motion medium, calculate the time distance of the equiphase waves simultaneously engendered by the two sound sources to a point. It is multiplied by the pulsatance to obtain the phase difference, then we get the equation of equiphase point. Finally, we discuss the interferences in several special positions and illustrate related applications.

sound wave interference; moving medium; phase difference; longitudinal wave; velocity measurement

2015-05-05；

2015-07-31

呂令杰(1993—)，男，山東寧陽人，山東師范大學物理與電子科學學院2012級本科生.

O 422.5文獻標示碼：A

1000- 0712(2016)02- 0052- 04