江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理系，廣東 廣州　510303)

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充電圓平行板電容器的電磁場分布

江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理系，廣東 廣州510303)

用Mathematica對充電圓平行板電容器的電磁場進行詳細的數(shù)值研究; 給出了電容器內(nèi)外的電勢、電場強度以及磁感應(yīng)強度的空間分布；討論了電場和磁場的邊緣效應(yīng).

充電圓平行板電容器; 極板電流; 位移電流；電磁場; 邊緣效應(yīng)；數(shù)值分析

在電磁學(xué)的教學(xué)中，有許多在似穩(wěn)條件下計算充-放電時圓平行板電容器內(nèi)外位移電流密度和磁感應(yīng)強度的例子. 這些教材和學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[1-3]對這個問題的算法思路如下.

忽略電場的邊緣效應(yīng)，即假設(shè)電場只存在于電容器內(nèi)部而且是均勻分布的，則有:

(1)

利用I=dQ/dt就可以求得位移電流密度:

(2)

由于問題具有良好的對稱性，磁場可用全電流定律

(3)

來計算．取回路L為半徑等于x的圓周，由此容易求得磁感應(yīng)強度：

(4)

這種算法簡單快捷，但存在兩個缺點：

1) 忽略邊緣效應(yīng)得到的E、JD和Bq存在多大的誤差？什么情況下可以忽略邊緣效應(yīng)？都無法討論.

2) 容易使人誤以為磁場是由位移電流(即變化的磁場)產(chǎn)生的. 事實上，有的資料[2]在其計算后的注釋中就是這樣認為的(這是上述解法的最大隱患).

根據(jù)文獻[4]的介紹，早在1974年就有人企圖在似穩(wěn)條件下，通過檢測充-放電時圓平行板電容器內(nèi)的磁場來驗證位移電流可以激發(fā)磁場.

該實驗的大意是：把一個螺繞環(huán)形線圈(下面簡稱螺繞環(huán))放在一個圓平行板電容器兩極板中間(極板為半徑R=50～80 cm的鋁板，兩極板的間距為2a)，在電容器兩極板上接上一個頻率為20 kHz的低頻電源. 該實驗旨在探測位移電流激發(fā)的磁場在螺繞環(huán)中引起的電動勢，并把這一電動勢在示波器上顯示出來. 圖1為該裝置的截面圖，小圓圈是螺繞環(huán)的截面，圓點P和交叉號是螺繞環(huán)中的磁場方向.

圖1　圓平行板電容器與螺繞環(huán)的截面圖

雖然早就有文章[4]指出該實驗的理論依據(jù)是不對的，結(jié)論也是錯的，是一個典型的張冠李戴的實驗. 但是該理論比較深奧，不容易理解，以致于幾十年來一直有教師(特別是高中教師)在做這類演示試驗.

如果能對圖1中傳導(dǎo)電流的磁場進行具體的計算，將有幫助于理解電容器內(nèi)的磁場的起源. 所以文獻[5]把圓平行板電容器實驗中的傳導(dǎo)電流分為極板電流和饋線電流兩部分，用畢-薩定律計算極板電流和饋線電流的磁場，并與使用全電流定律的計算結(jié)果(即式(4))作比較，通過全電流(J+JD)的磁場等于傳導(dǎo)電流(J)的磁場來證明位移電流(JD)的磁場為零. 這是一個很好的方案，但是由于圓平行板電容器極板電流磁場的計算十分復(fù)雜，該文只能在x<>R兩種極端情況下對極板電流的磁場進行近似的計算，未能計算一般x值處的磁場，即該方案未完全實施. 況且在螺繞環(huán)所處位置，式(4)的結(jié)果并不能保證與畢-薩定律的計算結(jié)果(傳導(dǎo)電流的磁場)相一致！

由此看來，對充電圓平行板電容器的電場和磁場進行全面的數(shù)值分析，將有幫于全面認識該電磁場的空間分布、正確理解平行板電容器內(nèi)部磁場的起源，以及弄清忽略邊緣效應(yīng)會產(chǎn)生多大誤差.

本文用數(shù)值計算的方法全面研究充電圓平行板電容器內(nèi)外的電磁場分布. 這里的電磁場分布，是指低頻交流電源處于給電容器充電階段的半周期內(nèi)(或直流電源充電)的某一時刻電磁場的空間分布. 放電時情況類似，只是方向相反.

電容器兩極板是直徑為2R的圓，相距為2a. 在a<

1　充電時電容器內(nèi)外的電場分布

先計算下極板電荷激發(fā)的電場．圓盤由一系列同心圓環(huán)組成，如圖2所示，由于具有軸對稱性，故只需考慮xOz平面內(nèi)的觀測點P(x,0,z)的電場分布，設(shè)下極板面上電荷元P′點離圓心的距離為ρ, 其坐標為(ρcosφ,ρsinφ,0)，則P′到觀測點P(x,0,z)的矢徑和距離分別為

r=(x-ρcosφ)i-ρsinφj+zk，

(5)

圖2　下極板與坐標系

由疊加原理，得下極板電荷激發(fā)的電勢：

所以兩個均勻帶電薄圓盤激發(fā)的電勢為

(6)

而電場強度為

(7)

式(6)和式(7)是十分復(fù)雜的二重積分，沒有解析解，可以先對φ積分并把結(jié)果表示為橢圓積分，而對ρ的積分則使用Mathematica內(nèi)置的數(shù)值積分法，可以把圓平行板電容器內(nèi)外的電勢和電場強度做統(tǒng)一的計算和繪圖．先取R/a=20，以a為長度單位、U0=Q/(4π2ε0R)為電勢單位、E0=Q/(4π2ε0R2)為電場強度單位，圖3—圖5給出了較大范圍的整體分布圖；圖6和圖7給出了電容器內(nèi)部及邊緣附近的局部分布圖.

圖3—圖7顯示：1)電源給電容器充電時，下極板的電勢呈現(xiàn)出圓心處最強、越外面電勢越弱的分布，這保證了電流從圓心進入下極板后向外輻射，正電荷不斷累積；上極板圓心處電勢最小，電子從圓心進入極板后向外輻射，電子(帶負電荷)不斷累積. 2) 在R/a=20 (即直徑為極板距離的20倍)的情況下，雖然電場主要集中在電容器內(nèi)部，但是邊緣效應(yīng)很明顯，電場的空間分布與式(1)有較大差距，不但只有在中間區(qū)域內(nèi)(例如x∈[-R/2,R/2])才接近均勻分布，而且在電容器邊緣附近的極板外上下兩側(cè)(x≈±R，z<0，z>2a)的電場也比較強; 比值R/a越大，邊緣效應(yīng)越小，R/a→∞時邊緣效應(yīng)完全消失，但是在直徑增大為極板距離的50倍 (即R/a=50)時，邊緣效應(yīng)仍然比較明顯，如圖8所示.

圖3　當R/a=20時, 充電圓平行板電容器的電勢分布

圖4　當R/a=20時, 充電圓平行板電容器電場強度大小的分布

圖5　當R/a=20時, 充電圓平行板電容器等勢線和電場方向的分布

圖6　當R/a=20時, 充電圓平行板電容器電場強度大小的分布(內(nèi)部及邊緣附近)

圖7　當R/a=20時, 充電圓平行板電容器電場強度方向的分布(內(nèi)部及邊緣附近)

圖8　當R/a=50時, 充電圓平行板電容器電場強度大小的分布

2　充電圓平行板電容器極板電流和饋線電流的磁場

2.1極板電流磁感應(yīng)強度的積分表達式

顯然，在圖1所示的圓平行板電容器實驗裝置中，位移電流(即變化的電場)和傳導(dǎo)電流都是存在的，傳導(dǎo)電流可分為饋線電流和極板電流兩部分，它們都可以在電容器兩極板之間產(chǎn)生磁場．為了計算任意x值處的磁場，必須先導(dǎo)出極板電流磁感應(yīng)強度的積分表達式，像文獻[5]一樣，設(shè)饋電導(dǎo)線沿電容器軸線延伸到無限遠處.

先計算下極板電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B1.

這個問題是關(guān)于z軸對稱的，只需研究xOz平面中在x≥0且0

如圖2所示，過極板上的P′點作圓L′ (準確地說，L′是短圓柱，極板的厚度就是圓柱的長度，用b表示，b很小)，設(shè)流經(jīng)L′的電流密度為J(方向沿圓盤徑向)，則流出L′的電流為i=2πρbJ. 由電流連續(xù)性，有

I-2πbρJ=dq/dt

式中q為L′所包圍的電荷. 因電荷在極板上時刻保持均勻分布, 故

式中Q為總電荷. 總電荷量Q隨時間變化，Q與I的關(guān)系為I=dQ/dt, 所以

(8)

所以流出L′的電流強度為i(ρ)=2πbρJ=I(1-ρ2/R2), 它隨ρ的增大而減小,i(0)=I,i(R/2)=0.75I,i(R)=0. 這與圖3的電勢分布規(guī)律相映成趣.

極板上電流密度矢量為

J=Jcosφi+Jsinφj

(9)

把式(9)和式(5)代入畢-薩定律：

得下極板電流在點P(x,0,z)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

B1x=B1z=0(既無徑向分量也無軸向分量)，

(10)

式(10)是復(fù)雜的二重積分，如何計算這個二重積分是解決本問題的關(guān)鍵.

先對ρ積分，并記為

再對φ積分，則式(10)可寫成

人工推導(dǎo)f(x,z,φ)的表達式需要一定的技巧，其過程也頗為復(fù)雜，我們把這個推導(dǎo)工作交由Mathematica自動快速完成，結(jié)果為

(11)

由對稱性可知，兩個極板上的電流在P(x,0,z)點處共同產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

Bb=B1y+B2y=

z,φ)]cosφdφ

(12)

式(12)不能用初等函數(shù)表示，下面用Mathematica內(nèi)置的數(shù)值積分法求解.

2.2極板電流和饋線電流總磁場的數(shù)值結(jié)果

由式(11)和式(12)，經(jīng)數(shù)值積分可以得到極板電流產(chǎn)生的磁場Bb與坐標x和z的函數(shù)關(guān)系.用畢-薩定律容易算出兩邊無限延伸的饋線電流在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度：

(13)

所以極板電流和饋線電流共同產(chǎn)生的磁場為B=Bb+BL．

取R/a=20，以B0=μ0I/(2πa)為磁感應(yīng)強度的單位，根據(jù)式(11)—式(13), 可求得極板電流和饋線電流產(chǎn)生的總磁場B(=Bb+BL)，結(jié)果如圖9所示. 磁場的分布明顯與x有關(guān)，但幾乎與z無關(guān)，也就是說：由于極板的直徑遠大于極板的距離(20倍)，所以只要螺繞環(huán)與極板共軸放置，不論是放置在正中間，還是放置在一邊(離一個極板近、另一個極板遠)，所在處的磁場幾乎是一樣的.

圖9　當R/a=20時，極板電流磁感應(yīng)強度和饋線電流磁感應(yīng)強度的總結(jié)果

3　用全電流定律計算磁感應(yīng)強度

3.1忽略邊緣效應(yīng)的結(jié)果

現(xiàn)有的教科書、題解和論文[1-3]在用全電流定律計算磁感應(yīng)強度時都是忽略邊緣效應(yīng)的. 為了便于討論，現(xiàn)將忽略邊緣效應(yīng)的結(jié)果即式(4)繪制成圖，如圖10所示.

圖10　當R/a=20時，用全電流定律計算得到的磁感應(yīng)強度(忽略邊緣效應(yīng))

由圖9和圖10可見：由全電流定律計算得到的磁感應(yīng)強度Bq, 與極板電流和饋線電流磁感應(yīng)強度的疊加結(jié)果B=Bb+BL有明顯的差別. 所以通過圖9和圖10的對比還不能說明“位移電流對磁場的總貢獻為零”. 人們可能會問：這個差別會不會就是位移電流對磁場的貢獻呢？如果是的話，那么在圖1所示螺繞環(huán)中的磁場有一部分是位移電流的貢獻.

但是圖9和圖10的差別完全是由于忽略邊緣效應(yīng)造成的.

為了驗證這個論斷，下面以電容器兩極板平分面(即z=a平面)上的觀測點為研究對象，根據(jù)第1節(jié)已經(jīng)得到的電場分布，重新用全電流定律計算磁感應(yīng)強度(對磁場的分布進行修正)，再與B=Bb+BL做比較.

3.2在考慮邊緣效應(yīng)情況下用全電流定律計算磁感應(yīng)強度

如圖4—圖6所示，即使在電容器兩極板的平分面上，電場大小的分布也是復(fù)雜的，沒法得到嚴格的解析式. 為了獲取電場的這個真實而復(fù)雜的分布信息，可以使用Mathematica的插值函數(shù)來逼近z=a平面上的電場分布. 把電場強度表達式改寫成

(14)

當x≤R時取k=1、當x>R時取k=0, 就退化為忽略邊緣效應(yīng)的情況；若考慮邊緣效應(yīng)，則k是插值函數(shù). 相應(yīng)地，位移電流密度表達式改寫成

(15)

代入全電流定律，即式(3), 得磁感應(yīng)強度的積分表達式

(16)

考慮0≤x≤2R區(qū)域(當x>2R時, 電場強度可以取為零)，為了獲得準確的多項式插值函數(shù)k，把該研究區(qū)域劃分為4個子區(qū)域，取R/a=20，以a為長度單位，得函數(shù)k如下:

當0≤x≤14時，

k=(4π)-1(11.938836+0.0028799705x-

0.0027373809x2+0.00026194870x3-

0.000016930655x4);

當14≤x≤20時，

k=(4π)-1(-1224.2772+537.36118x-96.010951x2+

9.0497529x3-0.47563545x4+

0.013239062x5-1.5272096×10-4x6);

當20≤x≤26時，

k=(4π)-1(53031.071-12755.333x+1278.9328x2-

68.408628x3+2.0584056x4-

0.033031236x5+2.2081749×10-4x6);

當26≤x≤40時，

k=(4π)-1(9.1845855-0.72488490x+0.019386526x2-

0.00017427419x3)

(17)

為了檢查插值函數(shù)的準確性，把式(17)代入式(14)，并把計算結(jié)果與第1節(jié)電場分布的原始數(shù)據(jù)繪制在同一張圖中，如圖11所示，兩者很好一致，所以式(14)和(17)很好地描述了z=a平面上的實際電場分布，由它們可以快速準確地求出與中心軸距離為x處的電場強度(0≤x≤2R).

圖11　當R/a=20和z=a時，電場強度多項式插值函數(shù)與原始數(shù)值的比較.實線：插值函數(shù)的結(jié)果；長劃線：原始數(shù)值結(jié)果

把式(17)代入式(16)可以得到Bqk與x的函數(shù)關(guān)系. 為了便于比較, 把Bqk、Bq和B=Bb+BL與x的關(guān)系畫在同一張平面曲線圖上，如圖12所示.

由以上的數(shù)值結(jié)果，可得如下結(jié)論：

1) 用畢-薩定律求得的傳導(dǎo)電流的磁感應(yīng)強度(Bb+BL)與用全電流定律(考慮邊緣效應(yīng))求出的磁感應(yīng)強度(Bqk)是完全一致的.Bqk=Bb+BL說明：在似穩(wěn)條件下，螺繞環(huán)內(nèi)的變化磁場完全是由變化的傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的，位移電流對磁場的總貢獻為零；圖9所示的磁場既是傳導(dǎo)電流的磁場也是全體電流的磁場. 即使把低頻電源(f=20 kHz)改為高頻電源，例如f=30 MHz，對應(yīng)的波長(λ=10 m)仍然遠大于極板間距(d=5 cm)，電容器內(nèi)部仍然是近場似穩(wěn)區(qū)，磁場仍主要來自傳導(dǎo)電流的貢獻(位移電流的貢獻可以忽略)；只有使用極高頻電源(例如分米波、f=3000 MHz)，位移電流對電容器內(nèi)部磁場的貢獻才不可忽略.

圖12　當R/a=20和z=a時，磁感應(yīng)強度三種結(jié)果的對比.實線為Bqk(考慮邊緣效應(yīng)) ，點劃線為Bq(忽略邊緣效應(yīng))，長劃線為B=Bb+BL

2) 用全電流定律計算磁感應(yīng)強度時，如果忽略邊緣效應(yīng)，那么計算結(jié)果將明顯偏大，特別是在圓盤邊緣附近 (在x=R處偏差最大，約為15%)；只有在x<>R兩種極端情況下，才可以忽略邊緣效應(yīng).

進一步的研究表明：減小極板距離，可以降低邊緣效應(yīng). 當R/a=50時，忽略邊緣效應(yīng)后，在|x|≤R/2或|x|≥3R/2范圍內(nèi)影響很小，但是在邊緣附近仍然有較大偏差(在x=R點處偏差最大，大約為6.8%).相反，增大極板的距離，邊緣效應(yīng)也明顯加大，當R/a=10時，忽略邊緣效應(yīng)帶來的偏差可達到27.4%

[1]哈里德D,等. 物理學(xué)基礎(chǔ)[M]. 張三慧，李椿,等,譯. 北京：機械工業(yè)出版社，2005:805-814.

[2]王小力，張孝林，徐忠鋒. 大學(xué)物理學(xué)習(xí)指導(dǎo)典型題解[M]. 西安：西安交通大學(xué)出版社，2009: 150-153.

[3]劉克哲，張承琚. 物理學(xué)(第三版)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2006: 321.

[4]朱久運．關(guān)于位移電流激發(fā)的磁場[J]．大學(xué)物理，1983, 2(11): 9-12.

[5]李元勛. 用畢-薩定律計算圓平行板電容器極板上電流的磁場[J]．大學(xué)物理，1996, 15(1): 22-24.

Electromagnetic field from a charging circular parallel plate capacitor

JIANG Jun-qin

(Department of Physics, Guangdong University of Education, Guangzhou, Guangdong 510303, China)

The electromagnetic field from a charging circular parallel plate capacitor is numerically studied by using the Mathematica. The spatial distributions of the electric potential and the electric field intensity as well as the magnetic induction intensity are given. The edge effect of the electromagnetic field is discussed.

charging circular parallel plate capacitor；plate current；displacement current；electromagnetic field；edge effect；numerical analysis

2015-03-02；

2015-08-25

廣東省高等學(xué)校專業(yè)綜合改革試點項目(XM060012物理學(xué))資助

江俊勤(1962—)，男，廣東揭陽人，廣東第二師范學(xué)院物理系教授，主要從事理論物理教學(xué)和格點規(guī)范場論的研究工作.

O 442

A

1000- 0712(2016)02- 0021- 06