楊宗長(zhǎng)

?

時(shí)變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真教學(xué)

楊宗長(zhǎng)[1]

（湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

時(shí)變線性系統(tǒng)是信息處理相關(guān)課程教學(xué)的擴(kuò)展內(nèi)容，而其解往往不能寫成解析解的形式，因而其數(shù)值解法是教學(xué)與科研中的一個(gè)基本問題．利用狀態(tài)空間分析法，以實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，利用計(jì)算機(jī)虛擬仿真技術(shù)，可直觀便捷地完成系統(tǒng)的虛擬仿真并得到其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解．在Matlab/Simulink圖形交互式之虛擬仿真環(huán)境中，進(jìn)行了時(shí)變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，其仿真建模過程直觀明了，可操作性強(qiáng)，求解方法便捷可行．

計(jì)算機(jī)化教學(xué)；線性時(shí)變系統(tǒng)；虛擬仿真；Matlab/Simulink；數(shù)值求解

理想的線性時(shí)不變系統(tǒng)（Linear Time-invariant Systems，LTIS），是信號(hào)與系統(tǒng)課程教學(xué)內(nèi)容中一個(gè)核心概念[1-5]．而現(xiàn)實(shí)世界以及工程實(shí)踐中，時(shí)變線性系統(tǒng)或稱線性時(shí)變系統(tǒng)（Linear Time-variant Systems， LTVS）亦更為常見．因而在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，求解時(shí)變線性系統(tǒng)（LTVS）非常重要．同時(shí)在信號(hào)與系統(tǒng)課程教學(xué)中，引入時(shí)變線性系統(tǒng)（LTVS）的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容亦非常必要．而時(shí)變線性系統(tǒng)（LTVS）的解往往不能寫成解析解的形式，因而數(shù)值求解法對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)（LTVS）非常重要．隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)仿真（Computer-based simulation，CBS）[6-8]為科學(xué)研究以及工程應(yīng)用領(lǐng)域中眾多問題的求解，提供了一種強(qiáng)有力的工具．利用狀態(tài)空間分析法和計(jì)算機(jī)虛擬仿真技術(shù)，可以便捷直觀地實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)變線性系統(tǒng)建模及其系統(tǒng)響應(yīng)之?dāng)?shù)值求解．

目前，由美國(guó)Mathworks公司發(fā)布的Matlab[9]成為了當(dāng)今國(guó)際主流的科學(xué)計(jì)算與仿真軟件之一．在其Simulink的虛擬仿真環(huán)境中，它提供了面向眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域的相關(guān)功能模塊，可對(duì)目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行有效準(zhǔn)確的系統(tǒng)建模以及虛擬仿真，并得到其數(shù)值解．設(shè)給定某時(shí)變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，在任意輸入信號(hào)作用下，如何計(jì)算求解其系統(tǒng)響應(yīng)是教學(xué)與科研中的一個(gè)基本問題．由于時(shí)變線性系統(tǒng)（LTVS）的解往往不能寫成解析解的形式，因而用于求解線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTIS）之時(shí)域經(jīng)典和變換域之解析解方法，已不適用，且較繁瑣．因而非常適合在Matlab/Simulink虛擬仿真計(jì)算環(huán)境中，利用狀態(tài)空間分析法，首先實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，然后利用Simulink虛擬仿真模塊，可直觀便捷地完成系統(tǒng)的虛擬仿真并得到其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解．

1 時(shí)變線性系統(tǒng)的解

對(duì)于時(shí)變線性系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)空間表達(dá)式為

可知其滿足普希茨（lipschitz）條件[10-11]，即

因而，時(shí)變線性系統(tǒng)的解存在且解唯一．

那么，由式（1）和式（3）可得

如此，即得到該時(shí)變線性系統(tǒng)之等價(jià)系統(tǒng)為

此時(shí)，由式（5）和式（6），可得

并可進(jìn)一步得到

至此，可知時(shí)變系統(tǒng)之求解過程比較繁雜，且其解往往不能寫成解析解的形式．因而在教學(xué)與工程應(yīng)用中，數(shù)值求解法對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)非常重要．隨著信息技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)為時(shí)變系統(tǒng)的數(shù)值求解提供了一種高效便捷的途徑．

2 時(shí)變線性系統(tǒng)之建模方法

（1）將微分方程左端只保留輸出信號(hào)的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即可得

（2）基于狀態(tài)空間分析法，然后選擇一組簡(jiǎn)單的狀態(tài)變量，即

（3）由式（11）~（13），可得該微分方程對(duì)應(yīng)的一階微分方程組

（4）根據(jù)式（14），對(duì)于該時(shí)變線性系統(tǒng)，可得到其建模仿真實(shí)現(xiàn)框圖（見圖1）．

內(nèi)蒙古伊利實(shí)業(yè)集團(tuán)緊抓“一帶一路”帶來的歷史機(jī)遇，籌劃建立“全球智慧鏈”?！叭蛑腔坻湣蓖ㄟ^整合全球的優(yōu)質(zhì)自然資源、全球標(biāo)準(zhǔn)、人才等，實(shí)現(xiàn)跨越全球的智慧共享與碰撞。目前，伊利已投資建設(shè)新西蘭大洋洲乳業(yè)生產(chǎn)基地、設(shè)立伊利歐洲研發(fā)中心、主導(dǎo)實(shí)施中美食品智慧谷，并與新西蘭林肯大學(xué)展開全產(chǎn)業(yè)鏈研發(fā)合作。

同時(shí)，對(duì)于式（14）所列的一階微分方程組，可將其寫成矩陣向量表述方式

此即為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式．同理，更一般地，對(duì)于類似高階時(shí)變線性系統(tǒng)，亦用其狀態(tài)空間表達(dá)式來描述，并得到其系統(tǒng)仿真實(shí)現(xiàn)框圖（類似圖1）．

3 時(shí)變線性系統(tǒng)之仿真設(shè)計(jì)與分析

Matlab提供了功能齊備的集成計(jì)算環(huán)境．在其圖形交互式之模型輸入的計(jì)算仿真環(huán)境Simulink中，它提供了面向眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域的相關(guān)功能模塊，允許用戶用框圖的形式進(jìn)行系統(tǒng)建模和虛擬仿真，以得到系統(tǒng)的數(shù)值解．

以變線性連續(xù)系統(tǒng)（式（16））為例，基于狀態(tài)空間分析法之建模方法，利用Matlab/Simulink模塊庫(kù)中的相關(guān)功能模塊：信號(hào)模塊、積分模塊、比例器（增益）模塊、時(shí)鐘模塊、Matlab函數(shù)模塊以及乘法器模塊、加法器模塊和示波器等，設(shè)計(jì)并搭建完成該系統(tǒng)的虛擬仿真模型，然后仿真運(yùn)行以得到其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解．

使用Matlab/Simulink仿真環(huán)境選取合適相關(guān)功能模塊，搭建完成其系統(tǒng)仿真模型（見圖2）．

根據(jù)給定的時(shí)變線性系統(tǒng)及其初始條件，完成仿真模型的參數(shù)設(shè)置（見圖3）．仿真運(yùn)行，求解其系統(tǒng)響應(yīng)之?dāng)?shù)值解，結(jié)果見圖4．

在Simulink 中添加“輸出（Output）”模塊（見圖2），可輸出其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解到工作區(qū)或保存到文件，便于進(jìn)一步應(yīng)用或分析．更進(jìn)一步，對(duì)于更一般的時(shí)變系統(tǒng)（注：時(shí)變線性系統(tǒng)屬于時(shí)變系統(tǒng)的子類），也進(jìn)行類似的建模仿真以及求解其系統(tǒng)響應(yīng)．

例如：著名的 Van der Pol 方程是典型數(shù)理表達(dá)式中的基本方程，代表了一類極為典型的非線性問題[12-13]

Van der Pol 方程亦無(wú)法精確求得其解析解，故研究者們一直在努力地尋找或改進(jìn)其近似解的求解方法，諸如擾動(dòng)法，KBM法，多尺度法，諧波平衡法，以及將擾動(dòng)法和諧波平衡法相結(jié)合之等效小參量法等．文獻(xiàn)[12]給出其解的若干（）圖示（見圖5，注：圖5中其因變量為，自變量用表示，而本文中其自變量表示為）．

參照?qǐng)D5可知，虛擬仿真所得的系統(tǒng)響應(yīng)之?dāng)?shù)值解結(jié)果（見圖6~9）有效可行．同時(shí)，相比于其他方法諸如：擾動(dòng)法，KBM法，多尺度法，諧波平衡法以及等效小參量法等，本文提出的基于計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真過程（見圖6）直觀明了，人機(jī)交互性更強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)方法便捷直觀．由此可見，在諸如Matlab/Simulink圖形交互式仿真環(huán)境中，可以很便捷地構(gòu)建完成時(shí)變系統(tǒng)的虛擬仿真模型，然后仿真運(yùn)行以得到其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值求解，并可對(duì)結(jié)果進(jìn)行保存或供進(jìn)一步分析．

4 結(jié)束語(yǔ)

在電子信息類專業(yè)基礎(chǔ)課程信號(hào)與系統(tǒng)的教學(xué)過程中，相對(duì)于經(jīng)典的線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTIS），時(shí)變線性系統(tǒng)或稱線性時(shí)變系統(tǒng)（LTVS），是課程教學(xué)的一個(gè)重要拓展內(nèi)容．因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界以及工程實(shí)踐中，時(shí)變線性系統(tǒng)更為常見．由于時(shí)變線性系統(tǒng)（LTVS）的解，往往不能寫成解析解的形式，因而傳統(tǒng)用于求解線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTIS）之時(shí)域經(jīng)典和變換域之解析解方法，對(duì)于時(shí)變線性系統(tǒng)（LTVS）而言，顯然已不適用，且其求解過程比較繁雜．圖形交互式的計(jì)算仿真環(huán)境如Matlab/Simulink的出現(xiàn)，為L(zhǎng)TVS系統(tǒng)以及更一般的時(shí)變系統(tǒng)的仿真建模及其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值求解提供了便捷直觀的途徑．

根據(jù)給定的時(shí)變系統(tǒng)以及初始條件和輸入信號(hào)，基于狀態(tài)空間分析法，以實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模，然后利用計(jì)算機(jī)虛擬仿真技術(shù)，來完成系統(tǒng)的虛擬仿真以得到系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解．同時(shí)，在諸如Matlab/Simulink科學(xué)計(jì)算與虛擬仿真環(huán)境中，可以很便捷直觀地完成系統(tǒng)建模與虛擬仿真，并得到系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解．由此可見，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)在時(shí)變系統(tǒng)分析中的必要性、輔助性以及便捷性．虛擬仿真實(shí)驗(yàn)及其系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值結(jié)果表明，基于計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的時(shí)變線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模與虛擬仿真過程直觀明了，可操作性強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)方法便捷有效，值得在教學(xué)與科研中進(jìn)行推廣和應(yīng)用．

[1] 鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理．信號(hào)與系統(tǒng)[M]．3版．北京：高等教育出版社，2011

[2] 陳后金．信號(hào)與系統(tǒng)[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2003

[3] 管致中，夏恭恪，孟橋．信號(hào)與線性系統(tǒng)[M]．4版．北京：高等教育出版社，2004

[4] 曾禹村，張寶?。盘?hào)與系統(tǒng)[M]．北京：北京理工大學(xué)出版社，2002

[5] Oppenheim A V．Signals and Systems中譯本[M]．西安：西安交通大學(xué)出版社，2001

[6] Orion Zavalani．Computer-based simulation development of a design course project in electrical engineering[J]．Computer App-lications in Engineering Education，2015，23（4）：587-595

[7] VAHIDI B，ESMAEELI E．MATLAB-SIMULINK-based simulation for digital differential relay protection of power transformer for educational purpose[J]．Computer Applications in Engineering Education，2013，21（3）：475-483

[8] Recai Kilic，F(xiàn)atma Yildirim Dalkiran．Utilizing SIMULINK in modeling and simulation of generalized chaotic systems with mul-

tiple nonlinear functions[J]．Cmputer Applications in Engineering Education，2010，18（4）：684-693

[9] 薛定宇．控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)——MATLAB語(yǔ)言與應(yīng)用[M]．2版．北京：清華大學(xué)出版社，2012

[10] Robert E，Skelton．Dynamics Systems Control：linear systems analysis and synthesis[M]．New Jersey：John Wiley Sons，1988

[11] Robert E，Skelton T，Iwasaki，et al．A Unified Algebraic Approach to Control Design[M]．Oxfordshire：Taylor & Francis，1997

[12] Weisstein，Eric W．Van der Pol Equation[EB/OL]．（1999-01-01）[2016-01-01]．http//mathworld.wolfram.com/vanderPol

Education.htlm

[13] 李獻(xiàn)禮，譚曉玲，丘水生，等．Van der Pol 方程分析研究的新結(jié)果[J]．大學(xué)物理，2005，24（6）：16-19

Teaching study on simulation-based numerical solution for system response of the linear time-variant system

YANG Zong-chang

（School of Information and Electrical Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201，China）

It is usually difficult to obtain analytical solutions for the linear time-variant system（LTVS）which is an extended content in signal processing courses，and then numerical methods of the LTVS is one basic issue in science and teaching．Based on the state space analysis，modeling and virtual simulation for a LTVS as well as its numerical solution for system response can be achieved in one convenient and vivid way by employing the basic blocks in the Matlab-Simulink．The Simulink-based simulations show workability of the presented method.

CAI；LTVS；virtual simulation；Matlab/Simulink；numerical solution

G434

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.018

2016-01-05

湖南省科技廳計(jì)劃項(xiàng)目（2013GK3090，2015JC3111）；湖南省教育廳科研項(xiàng)目（11A036）

楊宗長(zhǎng)（1972-），湖南懷化人，副教授，博士，主要從事信息處理與應(yīng)用數(shù)學(xué)建模，通信與信息系統(tǒng)研究．E-mail：yzc233@163.com

1007-9831（2016）04-0065-06