張曉光，王新霞，王春，任秋萍，張亞平

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浸潤數(shù)學文化的極限概念案例教學

張曉光，王新霞，王春，任秋萍，張亞平

（黑龍江科技大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150022）

在高等數(shù)學教學中浸潤數(shù)學文化是培養(yǎng)大學生良好數(shù)學素養(yǎng)的有效手段．將詩歌、數(shù)學史以及具有數(shù)學文化背景的具體案例引入數(shù)列極限概念教學，再應用類比法進行函數(shù)極限概念教學，有利于降低極限概念的抽象度，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)．

數(shù)學素養(yǎng)；數(shù)學文化；極限；案例教學；類比法

高素質、創(chuàng)新型和復合型人才是21世紀高等學校的人才培養(yǎng)目標，而良好的數(shù)學素養(yǎng)是高素質、創(chuàng)新型和復合型人才必備的基礎．數(shù)學素養(yǎng)主要包括5個方面的基本素質：主動探尋并善于抓住數(shù)學問題中的背景和本質的素養(yǎng)；熟練地用準確、簡明、規(guī)范的數(shù)學語言表達自己數(shù)學思想的素養(yǎng)；具有良好的科學態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理地提出新思想、新概念和新方法的素養(yǎng)；對各種問題以數(shù)學方式的理性思維，從多角度探尋解決問題的道路的素養(yǎng)；善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學模型的素養(yǎng)[1]．

在高等數(shù)學教學過程中浸潤數(shù)學文化，是培養(yǎng)大學生良好數(shù)學素養(yǎng)的有效手段．數(shù)學文化有狹義和廣義的2種解釋[2]．狹義的數(shù)學文化，是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的數(shù)學文化，則是除這些以外，還包含數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學與人文的交叉、數(shù)學與各種文化的關系．高等數(shù)學的案例教學，是指教師以案例為基本素材，創(chuàng)設（問題）情境，通過師生及學生間多向互動，激發(fā)學生有意義的學習，使其加深對基本原理和概念的理解，以達到建構知識與提高學生分析問題和解決問題能力的一種特定教學方法，是一種理論與實際有機結合的重要教學形式．在高等數(shù)學的教學過程中融入數(shù)學文化，并結合專業(yè)以及生產(chǎn)、生活中的案例進行教學，不僅使學生更加明確學習和生活的目標和意義，還可以使學生受到數(shù)學文化的熏陶、感染和激勵，從而達到提高高等數(shù)學教學質量，提升學生數(shù)學素養(yǎng)的目的．

極限思想是高等數(shù)學的基本思想，高等數(shù)學就是用極限來研究函數(shù)的一門學科．極限作為一條主線，貫穿于高等數(shù)學的始終．學生對極限理論的理解與掌握，直接影響到其對微積分理論和級數(shù)理論的學習效果，進而間接影響到數(shù)學素養(yǎng)的提升．數(shù)列極限的定義、函數(shù)極限的定義與定義具有高度抽象性和深刻性，這部分內容的學習即使對于數(shù)學專業(yè)的學生而言都是非常困難的，更何況其他非數(shù)學專業(yè)的學生．本文結合教學實踐，對極限理論浸潤數(shù)學文化的案例教學進行探討，希冀對各專業(yè)大學一年級的極限理論教學有所助益．

1極限概念教學前的文化浸潤

1.1有限與無限

有限和無限是相互對立的2個概念．直覺上講，無限就是數(shù)不完．極限理論是以無限概念為基礎的[3]147．

有限與無限，具有很多美好的詩歌意境．適當利用詩歌營造數(shù)學文化氛圍，從教育心理學的角度，可以引發(fā)無意注意，激發(fā)有意注意．

1.1.1有限的詩歌意境南宋抗金名將岳飛的《滿江紅》中“三十功名塵與土，八千里路云和月”，“三十”與“八千”刻畫的是有限，言簡而意賅；北宋詞人李之儀的《卜算子》中“我住長江頭，君住長江尾，日日思君不見君，共飲長江水”，“頭”與“尾”描述的也是有限，言短而情長．

1.1.2無限的詩歌意境唐代詩人陳子昂著樂府詩名篇《登幽州臺歌》：“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”．其中，“前不見古人，后不見來者”二句，生動描繪出時間的無限，即時間的正負無窮．德國18世紀著名詩人席勒曾寫過這樣的詩：“空間有三個維度．它的長度綿延無窮，永無間斷；它的寬度遼闊廣遠，沒有盡頭；它的深度，下降至不可知處”[3]150．該詩從長度、寬度和深度3個維度直觀地刻畫了空間的無限．

1.2極限簡史

因為極限是微積分的理論基礎，因而高等數(shù)學教材基本上都是按著極限——連續(xù)——微分學——積分學——微分方程——無窮級數(shù)這樣的邏輯順序來組織教學內容的．但事實上，微積分誕生于17世紀，而嚴格的極限理論卻是到19世紀才建立起來的．讓學生知曉這種數(shù)學理論的學術形態(tài)與歷史形態(tài)的巨大差異，能給他們帶來很大的震撼與觸動，有助于打破僵化、固化的思維，提升數(shù)學素養(yǎng)．

從古至今，人們對極限概念的認識經(jīng)歷了2 000多年的漫長歷程．

1.2.1樸素的極限觀古希臘的安蒂豐最早表述了“窮竭法”，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內接正多邊形的面積“窮竭”圓面積的思想，這是世界上最早的極限思想．古希臘數(shù)學家歐多克索斯改進了安蒂豐的窮竭法，將其定義為：任意給定2個正的量，在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重復這個過程，可以使剩下的量變得任意?。⒎e分學的先驅——阿基米德進一步完善了“窮竭法”，并將其廣泛應用于求解曲面面積與旋轉體體積．

樸素直觀的極限觀在我國古代的文獻中就有記載．《莊子·天下篇》中記載了惠施的一段話，將其稱為“截杖問題”：一尺之棰，日取其半，萬世不竭[4]．意思是說，一尺長的木棒，每天截下去它的一半，這個過程可以永遠進行下去．這里“棰”是木字旁，意思是木棒，有人將其誤寫為“錘”，就不對了．當然，這段話的正確性要建立在物質無限可分的前提條件下．我國三國時期魏國數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中用“割圓術”求圓的面積，即作圓的內接正六邊形，然后逐漸倍增邊數(shù)，依次算出內接正6邊形、正12邊形、……、正192邊形的面積．“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”——這是“割圓術”所反映的樸素的極限思想．劉徽的“割圓術”與安蒂豐的“窮竭法”不謀而合[5]41．

1.2.2神秘的極限觀——第2次數(shù)學危機17世紀，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學，將變量和函數(shù)引入數(shù)學，使描述運動和變化成為可能．17世紀下半葉，英國的數(shù)學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茲在前人大量工作的基礎上，分別在研究力學與幾何學的過程中創(chuàng)立了微積分．然而，他們的微積分中涉及的極限概念十分含糊不清，常常不能自圓其說．如牛頓在1704年發(fā)表了《曲線的求積》一文，其中確定了的導數(shù)（他當時稱為流數(shù)），牛頓的方法意譯如下：當增長為時，冪成為，即，它們的增量分別為和，這2個增量與的增量的比分別為1與．然后讓增量消失，則它們的最后比將為1∶，從而對的變化率為．其中：叫作“瞬”，表示的無窮小增量．這里既可以做分母，又可忽略，即既不等于零，又等于零．這一缺陷被英國著名的唯心主義哲學家貝克萊主教抓住，他在《分析學家》中對微積分的基礎進行了強有力的批評，嘲笑是“消失的量的幽靈”，從而引發(fā)了數(shù)學史上的第二次危機．直到19世紀嚴格的極限理論建立，第二次數(shù)學危機才消除．

1.2.3嚴格的極限理論為了克服無窮小帶來的困難，在18~19世紀，數(shù)學家提出了許多方案．第1個為補救第2次數(shù)學危機提出真正有見地的意見的是法國數(shù)學家達朗貝爾，他給出了極限的較明確的定義：一個變量趨于一個固定量，趨于程度小于任何給定量，且變量永遠達不到固定量．可惜的是達朗貝爾也沒有把它公式化，這就使得他的極限概念仍是描述性的、通俗的．但是他所定義的極限已初步擺脫了幾何和力學的直觀原型．因此，達朗貝爾的極限概念被看作是現(xiàn)代嚴格極限理論的先導．

到了19世紀，數(shù)學家開始轉向微積分基礎的重建．許多微積分中的重要概念，如極限、函數(shù)的連續(xù)性和級數(shù)的收斂性等都被重新考慮．1817年，捷克數(shù)學家波爾查諾首先拋棄無窮小概念，用極限觀念給出導數(shù)和連續(xù)性的定義，并得到判別級數(shù)收斂的一般準則，還建立了確界存在原理，可惜他的工作被長期埋沒．

嚴格的極限理論是由法國數(shù)學家柯西初建，由德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯完成的．

1821年，柯西在《分析教程》中寫道：當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個定值叫做所有其它值的極限．可見，柯西使極限概念明確地成為算術的，而擺脫了長期以來的幾何說明．他提出了極限理論的方法，把整個極限用不等式來刻畫．他引入“l(fā)im”來表示極限，并且用希臘字母表示任意小的差，但更多時候用表示任意小的差．以極限定義為基礎，柯西給出了無窮小和無窮大定義，澄清了無窮小的概念，把無窮小量從難圓其說的尷尬境地中解脫出來[5]42．

在19世紀末，魏爾斯特拉斯完成了數(shù)學分析算數(shù)化的2個規(guī)劃：（1）邏輯地構造實數(shù)系；（2）從實數(shù)系出發(fā)去定義極限概念、連續(xù)性、可微性、收斂和發(fā)散．規(guī)劃的第2部分是由引進精確的語言而完成的，現(xiàn)今的高等數(shù)學教材上函數(shù)在有限點處的極限定義正是同樣的語言．這一語言給出了極限的準確描述，消除了歷史上各種模糊的用語，諸如“最終比”、“無限地趨近于”等．

以上即是極限理論的簡史．極限理論的嚴格化對微積分基礎的建立有著十分重大的意義，它使微積分的發(fā)展達到了一個全新的、廣闊的境界．

上官星雨小心翼翼地唱，她有著天籟一般的好嗓子，李離聽著，不由得上前一步，將她空出來的左手拉起來。這個可憐的姑娘，她的姓氏，會給她帶來才華天分，也會帶來血光劍影吧，誰知道，她在逃出長安之前，經(jīng)受過多少孤單與恐懼。她歌聲甫歇，余音纏繞在山洞里，久久不散，等最后一絲歌聲消失掉的時候，她手中的火把也燒到了盡頭，李離趕緊松開她的手，將自己滅掉的火把又重新點燃起來。

2浸潤數(shù)學文化的極限案例教學

極限理論是高等數(shù)學學科體系建立的基石，而數(shù)列的極限是極限知識結構體系中最為簡單的部分．因此，高等數(shù)學教材中極限定義都是先數(shù)列而后函數(shù)．雖然現(xiàn)在的大一新生在高中都學習過簡單的極限定義和極限計算，但高等數(shù)學中的極限定義具有高度抽象性和深刻性，這部分內容對于各個學科專業(yè)的學生而言都是非常難于理解的．因而，數(shù)列極限的定義為極限理論教學的重中之重，只要學生理解了數(shù)列極限，函數(shù)極限的理解自然迎刃而解．

為避免不必要的重復，以下略去教學設計與實施中的多數(shù)常規(guī)部分，而重點對浸潤到極限概念教學中的數(shù)學文化以及案例教學部分作以簡要介紹．

2.1數(shù)列的極限

列舉幾個有代表性的數(shù)列，學生觀察、判斷它們的斂散性以及收斂數(shù)列的極限：（1）

數(shù)列（3）的數(shù)學文化背景為分形幾何中的Koch雪花（見圖1）[6]．在分形幾何中，Koch雪花可通過遞歸的方法生成．設正三角形的周長為，即周長（見圖2）．將每邊三等分，以中間三分之一段為邊向外做正三角形，每一條邊生成４條新邊，新邊長為原來連長的，故六角星總周長（見圖3），依次進行下去，得，…．

本節(jié)課的目的是要尋求精確的、定量化的數(shù)學語言來刻畫數(shù)列極限的定義，關鍵問題是如何用數(shù)學語言刻畫“無限接近”．按照由特殊到一般的研究問題的方向，以數(shù)列（5）為例，令，借助刻畫與接近的程度，再引入任意小的正數(shù)來限制與接近的程度，進而通過歸納得到數(shù)列極限的語言．

定義1[7]20若存在，對于任意（無論它多么?。?，總存在，當時，恒有成立，則稱收斂于，或稱為的極限，記作或（）．

表1　極限定義中自變量變化趨勢與因變量變化趨勢的刻畫

此外，數(shù)列極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性以及收斂數(shù)列的局部保號性的證明，都采用了化一般為特殊的解決問題的方式，即構造與性質和命題有關的特殊的．

2.2函數(shù)的極限

簡單地說，通常的函數(shù)與數(shù)列相比，不同之處在于函數(shù)的自變量在數(shù)軸上是連續(xù)取值的，而數(shù)列的自

變量是在數(shù)軸上的正整數(shù)點處離散取值的．函數(shù)的極限分自變量趨于有限值時函數(shù)的極限與自變量趨于無

窮大時函數(shù)的極限２種，通常的高等數(shù)學教材都是先介紹自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義，而后才是自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義．為了利于將抽象的數(shù)學符號語言所代表的新知識與學習者認知結構中已有的語言建立非人為和實質性的聯(lián)系，激發(fā)有意義的學習，在實踐中調整了2種極限的教學順序，采用類比法進行函數(shù)極限概念的教學．

定義2[7]20若存在，對于任意，存在，當時，恒有，則稱為時的極限，記作或（）．

定義3[7]23若存在，對于任意，存在，當時，恒有，則稱為時的極限，記作或（）．

定義4[7]26若存在，對于任意，存在，當時，恒有，則稱為時的極限，記作或（）．

將定義2與定義4合并起來，即可得到自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義．

定義5[7]28若存在，對于任意，存在，當時，恒有，則稱為時的極限，記作或（）．

2.2.2自變量趨于有限值時函數(shù)的極限依舊從特例出發(fā)，引導學生應用類比思維，依據(jù)因變量的刻畫方式自行探究與發(fā)現(xiàn)自變量的刻畫方式：．由于的過程中≠，因而自變量的精確刻畫方式為（見表1），得到自變量趨于有限值時函數(shù)極限的定義．

定義6[7]30若存在，對于任意，存在，當時，恒有，則稱為當時的極限，簡稱在點的極限，記作或（）．

3結語

極限思想是人們在認識數(shù)學世界過程中逐步形成的，它使人們對數(shù)學世界的認識實現(xiàn)了由有限到無限的質的飛躍．高等數(shù)學教學的首要任務是培養(yǎng)學生的極限思想，從而為進一步培養(yǎng)微積分思想打下基礎．

浸潤數(shù)學文化的極限概念案例教學，通過有限與無限的詩歌意境、極限簡史的介紹和具有數(shù)學文化背景的具體案例的引入，引起學生的無意注意，激發(fā)有意注意與有意后注意[8]．進行數(shù)列極限概念教學，并以此為基礎，通過類比法進行函數(shù)極限概念教學，化難為易，使學生在理解抽象的數(shù)學符號語言的同時，將數(shù)學思想、數(shù)學方法和文化背景內化為自身的數(shù)學素養(yǎng)．

[1] 包長明．如何培養(yǎng)中學生的數(shù)學素養(yǎng)[J]．吉林省教育學院學報：中學教研版，2009（6）：59-59

[2] 顧沛．數(shù)學文化課中的素質教育[C]//大學數(shù)學課程報告論壇2006年論文集．北京：高等教育出版社，2007：58-63

[3] 張順燕．數(shù)學的美與理[M]．北京：北京大學出版社，2004：147-150

[4] 湯炳興．在概念教學中“學數(shù)學 做數(shù)學 用數(shù)學”[J]．數(shù)學教育學報，2002，11（4）：38-41

[5] 王曉碩．極限概念發(fā)展的幾個歷史階段[J]．高等數(shù)學研究，2001（9）：40-43

[6] 李心燦．高等數(shù)學應用205例[M]．北京：高等教育出版社，1997：31-33

[7] 同濟大學數(shù)學系．高等數(shù)學（上冊）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：20-31

[8] 夏鳳琴．教育心理學[M]．北京：高等教育出版社，2013：80-83

The case teaching of limit concept infiltrated with mathematical culture

ZHANG Xiao-guang，WANG Xin-xia，WANG Chun，REN Qiu-ping，ZHANG Ya-ping

（School of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China）

Infiltrating mathematical culture into the teaching of higher mathematics is an effective means to cultivate students' good mathematical accomplishment. Introducing poetry，mathematics history into the sequence limit concept teaching together with specific cases with mathematical culture background，then using analogy method for the function limit concept teaching，will help to reduce the abstract degree of limit concept，and enhance students' mathematical accomplishment.

mathematical accomplishment；mathematical culture；limit；case teaching；analogism

O171∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.015

2016-01-03

黑龍江省高等教育教學改革項目（JG2013010493）；黑龍江省高等教育學會“十二五”高等教育科研項目（14G106）；黑龍江科技大學教學研究項目（JY14-133）

張曉光（1974-），女，黑龍江哈爾濱人，副教授，碩士，從事數(shù)學教學論研究．E-mail：zxgwwm@sohu.com

1007-9831（2016）04-0053-06