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        常數(shù)變易法求解常微分方程

        2016-10-14 12:37:48李治遠(yuǎn)朱桂玲
        高師理科學(xué)刊 2016年4期

        李治遠(yuǎn),朱桂玲

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        常數(shù)變易法求解常微分方程

        李治遠(yuǎn),朱桂玲

        (云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650500)

        深入探討了常數(shù)變易法求解一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程,并將所探討的結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié),給出了每種解法的特點(diǎn)和使用條件.

        常微分方程;常數(shù)變易法;二階非線性

        常數(shù)變易法是求解微分方程的一種特殊方法,常數(shù)變易法在解決某些方程特解時(shí)簡(jiǎn)便易用[1-7].本文主要分析了用常數(shù)變易法求解一階和二階非線性常微分方程,輔以典型的例題,指出了利用常數(shù)變易法求解這2類非線性常微分方程的條件,分析其中的原因并給出相應(yīng)的解決方法.

        1常數(shù)變易法求一階非線性常微分方程

        1.1基本類型I

        一階非線性常微分方程的一般形式為

        表示,則由于式(2)是可分離變量的常微分方程,可以用常數(shù)變異法來求解,因而可求出方程(1)的解.

        1.2基本類型II

        設(shè)方程(4)的通解為

        將式(6)代入式(5)即可得方程(4)的通解.

        1.3基本類型III

        這是伯努利方程.

        基本類型IV

        1.5基本類型V

        2常數(shù)變易法求二階非線性常微分方程

        基本類型I

        的一個(gè)不恒為零的解.

        以下相應(yīng)推論均可用此方法得到,不再一一證明.

        2.2基本類型II

        的通積分為

        2.3基本類型III

        的通積分為

        2.4基本類型IV

        的通積分為

        基本類型V

        的通積分為

        [1] 徐澄波,張光天.微積分(下冊(cè))[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,1988

        [2] 譚信民.一階非線性常微分的三種可積類型[J].韶關(guān)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1996,17(4):13-19

        [3] 湯光榮.常微分方程專題研究[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1994:103-115,157-198

        [4] 陳肖石,湯光榮.利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程[J].西江大學(xué)學(xué)報(bào),2000(2):12-15

        [5] 李廣民,于力.一類二階非線性微分方程的求積問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),1996,12(1):73-77

        [6] 王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1983

        [7] 彭向陽.二階二次微分方程的解[J].長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),1999,13(2):18-20


        The method of constant variation for solving ordinary differential equation

        LI Zhi-yuan,ZHU Gui-ling

        (School of Machematic and Statistics,Yunnan University,Kunming 650500,China)

        Discusses deeply the method of constant variation for solving the first order nonlinear ordinary differential equation and the second-order nonlinear ordinary differential equation,explores the results by systematically analyze,compare and summary,and gives the characteristics and conditions of each method finally.

        ordinary differential equation;method of constant variation;second-order nonlinear

        O175.1

        A

        10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.002

        2015-11-28

        國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11561075)

        李治遠(yuǎn)(1992-),男,河南信陽人,在讀碩士研究生,從事時(shí)間序列分析及其應(yīng)用研究.E-mail:534838410@qq.com

        1007-9831(2016)04-0005-06

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