楊文霞,　韓　華,　彭斯俊

(武漢理工大學理學院 數(shù)學系, 武漢430070)

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信息大類專業(yè)《線性代數(shù)》課程教學改革的研究與實踐

楊文霞,韓華,彭斯俊

(武漢理工大學理學院 數(shù)學系, 武漢430070)

分析了《線性代數(shù)》課程的授課現(xiàn)狀與困境，探討了針對信息大類專業(yè)特點的教學內容改革，以及應用案例庫建設示范.提出應突出線性代數(shù)的思維和方法在信息大類學科中的應用、對概念的幾何直觀展示，以及加強MATLAB編程訓練，以培養(yǎng)和提高學生的線性代數(shù)思維，全面提升教學效果和學生素質.

線性代數(shù)； 教學改革； 數(shù)學實驗； MATLAB

1　引　　言

《線性代數(shù)》的理論和方法，在計算機、電子通信和自動化等信息大類學科中，其重要性和實用性日漸顯現(xiàn).對工科類專業(yè)而言，《線性代數(shù)》之美，來自它能對實際問題進行簡潔而嚴謹?shù)某橄髷?shù)學模型表達，而計算的集成化與證明的邏輯嚴謹性，更是該課程魅力所在.

我國高校近年對《線性代數(shù)》課程教學進行了大量探索和實踐.相關教學改革和研究主要集中在引入MATLAB軟件，增強實踐環(huán)節(jié)[1-2].2009年教育部啟動“用MATLAB和建模實踐改造《線性代數(shù)》課程”項目，各大高校的教學內容和教學形式改革實踐，均強調《線性代數(shù)》在工科專業(yè)的應用[3-5].湖南農業(yè)大學計算機學院自2013年以來，《線性代數(shù)》的教學改由本院教師授課，突出科學與工程計算的能力培養(yǎng)[6].

筆者除長期擔任《線性代數(shù)》的本科教學及雙語教學以外，亦從事“信息與計算科學”專業(yè)中和信息與計算相關的課程教學，長期講授的課程包括《數(shù)學實驗與數(shù)學軟件》、《數(shù)字信號處理》、《數(shù)字圖像處理》、《計算圖形學》、《算法與數(shù)據(jù)結構》等.因此筆者熟悉信息大類專業(yè)課程中所蘊含的《線性代數(shù)》理論知識和數(shù)學模型，并深刻體會到《線性代數(shù)》的理論在信息大類學科中的重要性.筆者認為，必須優(yōu)化信息大類專業(yè)的《線性代數(shù)》教學內容和教學模式，增強學生利用《線性代數(shù)》課程理論和方法解決工程實際問題的能力，引導和調動學生自主學習，培養(yǎng)學生科學思維和創(chuàng)新能力，最終達到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的.

2　《線性代數(shù)》課程的授課現(xiàn)狀及所面臨的困境

2.1授課學時與學生思維模式和學習習慣局限

目前國內高校《線性代數(shù)》課程約為32-48學時，教學內容包括行列式、矩陣及其運算、線性方程組解的理論、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型.由于課程理論性和邏輯性強，且課程各章的概念和定理交叉融匯，授課內容沒有壓縮空間.因此，教學時間非常緊張，留給教師講專業(yè)應用背景的展開余地非常少.

此外，我校信息大類專業(yè)的《線性代數(shù)》課程，多在大一上、下兩學期進行.這一階段的學生學習熱情高，對大學學習充滿期待，認真、勤奮.但獨立思考能力較差，學習中，偏重解題方法與解題技巧的掌握，尚不能站在理論高度理解數(shù)學問題，不能深入理解課程的理論精華.教學過程較多理論推導與證明，使學生感覺概念抽象，脫離現(xiàn)實，自我效能感低.課程甚至淪為學生心中的“感覺沒什么用，難但不得不學，因為是必修課，且研究生入學考試要考”的理論課程.他們在后續(xù)學習中也難以使用本課程作為基本理論工具，課程解決實際問題的價值沒有得到充分體現(xiàn).

2.2教學模式陷入兩難

關于黑板板書教學和多媒體教學的優(yōu)缺點爭論已經多年.對于線性代數(shù)課程，我校目前并不鼓勵使用POWERPOINT教學.原因在于本課程的公式書寫占用空間大，單張幻燈片版面放置的內容有限，如果教學使用不當，各種公式、推導一放而過，學生印象不深刻，師生互動更少，教學優(yōu)勢喪失.傳統(tǒng)的板書，可以帶動學生一起思考和推導，師生互動性強，學生注意力比較集中.但是課程需要經常書寫行列式、線性方程組、矩陣等等，耗時多，占用黑板面積大，容易拖延課程的進度，缺乏生動的二維和三維直觀表現(xiàn).傳統(tǒng)的板書教學和多媒體教學相結合似乎應該成為常態(tài)教學模式，但如何充分發(fā)揮和結合各自優(yōu)勢，需要反復實踐.

2.3課程的后續(xù)應用缺乏跟蹤與反饋機制

《線性代數(shù)》課程多為數(shù)學系的教師承擔，各專業(yè)的學生在上完數(shù)學基礎課后，更側重于和本專業(yè)的教師聯(lián)系，他們在遇到實際的專業(yè)問題時也很少和授課教師聯(lián)系.另一方面，承擔線性代數(shù)教學的教師面向全校授課，對一些具體的專業(yè)應用問題了解有限，因此本課程缺乏后續(xù)應用和反饋機制，直接影響教學效果和課程應用程度.

3　信息大類專業(yè)《線性代數(shù)》課程教學內容改革與實踐研究

信息大類專業(yè)有一些共同的后續(xù)課程，包括電路原理、信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理、計算機圖形學、計算機網(wǎng)絡、數(shù)字圖像處理、控制論等.這些課程最需要的是矩陣計算、線性方程組求解、向量空間與線性變換、特征值和特征向量等理論做支撐.我校目前理工科專業(yè)的《線性代數(shù)》課程學時為40學時，針對目前的課程教學困境，以及信息大類專業(yè)背景，我們有針對性的進行教學內容改革，調整《線性代數(shù)》課程的知識點和詳略側重.具體如下：

3.1精簡行列式教學，強調展開法則的遞歸思想與編程實現(xiàn)

目前現(xiàn)有的國內教材的章節(jié)安排，均從排列的逆序數(shù)開始，高階行列式的定義(n!項的代數(shù)和)非常繁瑣，而且在后續(xù)各章節(jié)沒有運用.行列式概念的引入，是在整個《線性代數(shù)》教學的初始階段，容易使學生產生《線性代數(shù)》課程太難的畏懼心理，誤以為能計算復雜的高階行列式才是學習目標.實際上，在將來的學習和工作中，基本不需要動手計算高階行列式.反之，行列式的按行(列)展開法則是一種遞歸思想，容易從計算機編程的角度實現(xiàn)，也可以推導出行列式的全部性質.由于對數(shù)學軟件和編程軟件的掌握，是信息大類專業(yè)學生所必須具備的基本能力，因此我們著重講解行列式的按行(列)展開公式，分析這個展開公式所蘊含的遞歸思想，引導、鼓勵學生編寫遞歸程序來計算行列式.而將排列的逆序數(shù)及n!項的代數(shù)和的內容，安排成自學環(huán)節(jié).筆者編寫的一個行列式的按第1行展開的遞歸定義函數(shù)，函數(shù)代碼如下

function detA=mydet(A)

[X,Y]=size(A);

if X～=Yerror(′輸入矩陣必須是方陣！′);

else

if X==1

detA=A;%當方陣為1個元素時，輸出它自身；

else%按照第1行展開

detA=0;%初始化

for j=1:X

submatrix=A(2:end,[1:j-1,j+1:end]);

%submatrix為A去掉第1行和第j列后剩下的(n-1)階矩陣.

detA=detA+A(1,j)*(-1)^(1+j)*mydet(submatrix); %行列式按照第1行展開的計%算公式；

mydet(submatrix)即元素a1j的余子式，此處為mydet即為遞歸.

end

end

在實際教學中，筆者引導學生使用MATLAB軟件進行編程，設計按任意行或任意列展開的遞歸函數(shù).通過以上講解及實踐環(huán)節(jié)學生的自我實現(xiàn)，學生對行列式的定義有了深刻的認識，而編程和動手能力也全面得到提升，學以致用，極大的提高學習熱情和成就感.

3.2以實例為驅動的矩陣概念的引入和矩陣運算，強化線性變換和正交變換理論講解

對信息大類專業(yè)的學生而言，傅里葉變換(包括連續(xù)信號和離散信號)、Z變換和拉普拉斯變換、仿射變換等，都需要用到“線性變換、正交變換”的理論，而我校目前的教學內容中對此涉及甚少，也很少說明它的意義.因此我們對信息大類專業(yè)的《線性代數(shù)》課程教學內容進行論證與改革，強化線性變換的定義及實際意義、正交變換性質和作用的講解，并以需求為動力，先提出實際應用實例，激勵學生的興趣和好奇，然后展開問題，介紹了信息大類領域的應用實例.例如：在數(shù)字信號處理中的應用——離散信號的傅里葉變換的矩陣表示形式及正交變換的意義；在計算機圖形學中的應用——仿射變換、齊次坐標系所體現(xiàn)的《線性代數(shù)》思維；在文獻檢索技術中的應用、在圖論和網(wǎng)絡分析中的應用——鄰接矩陣和狀態(tài)轉移矩陣；在信息保密中的應用——希爾密碼等.

3.3加強二維和三維空間中的《線性代數(shù)》理論可視化研究，重視信息大類專業(yè)線性課程教學實踐環(huán)節(jié)設計

如前所述，《線性代數(shù)》課程的學習難點，普遍集中在向量的線性關系與線性表示、向量空間的抽象概念、特征值與特征向量的實際含義、正交變換的性質與意義等.將抽象概念形象化，以空間點、線、面的圖形展現(xiàn)，可以加強在理論學習中對抽象概念的理解.我們使用多媒體教室授課，但不僅僅局限于播放幻燈片，而是利用MATLAB強大的圖形顯示和動畫制作功能，在課堂上給學生進行幾何直觀展示，增強了學生對很多抽象概念的具體認識.如引入計算機圖形學的齊次坐標系和仿射變換思想，推導出圖形旋轉、平移、拉升、錯切變換的矩陣表示形式及變換結果的圖形演示.圖形的直觀性，有助于充分理解線性變換和正交變換的作用、聯(lián)系與區(qū)別.

由于信息大類專業(yè)對算法與程序設計、科學計算要求非常高，我們針對以上大類專業(yè)，增加《線性代數(shù)》課程中MATLAB實驗教學的探索與實踐，構建實驗教學平臺，實施實踐創(chuàng)新訓練計劃，并進行網(wǎng)絡化管理.在8個學時的實踐環(huán)節(jié)，不僅滿足于使用MATLAB現(xiàn)成的函數(shù)如det(求行列式)，inv(求矩陣的逆)，rref(求行最簡形)等，而是對其中所蘊含的計算方法進行分析與實現(xiàn).引導學生編程實現(xiàn)高斯消元法的算法、行列式的三角化算法，引導同學們思考這些算法所需要的計算量，和信息大類的后續(xù)課程，如“數(shù)據(jù)結構與算法”、“數(shù)值分析”等實現(xiàn)無縫銜接，讓學生掌握了一個科學計算工具，在后續(xù)課程的學習中發(fā)揮更大的作用.

4　基于《線性代數(shù)》理論的信息大類專業(yè)后續(xù)課程的數(shù)學模型求解案例庫研究

為培養(yǎng)學生的數(shù)學思維及學術研究動力，我們對信息大類的后續(xù)課程及工程實際中的問題，制作數(shù)學模型案例庫，展現(xiàn)該課程在各自領域的精彩應用，這一部分研究內容不局限于《線性代數(shù)》的課堂教學，而是通過建立課程長效反饋與討論機制，使學生在后續(xù)學習專業(yè)內容時，不斷運用《線性代數(shù)》知識進行求解.限于篇幅，現(xiàn)僅列舉三個案例如下.

案例1餐廳就餐人員流動問題

假設我校南湖校區(qū)、鑒湖校區(qū)、馬房山校區(qū)各有1間餐廳，這3間餐廳在競爭中求發(fā)展.我校就餐人員在這三間餐廳流動.假設在一個學期內，就餐總人數(shù)不變.請同學們根據(jù)自己的實際調查，大致得出：上一周在某校區(qū)就餐的同學，下一周分別在以上三校區(qū)餐廳就餐的流動情況，并要求：

(i) 試用矩陣運算，構造數(shù)學模型，描述每周在各餐廳的就餐人數(shù)的流動關系；

(ii) 是否存在初始學生用餐人數(shù)，使得每周在各校區(qū)用餐的人數(shù)比例穩(wěn)定不變？若有，請求出該比例.它是線性代數(shù)中的什么知識點的應用？

(iii) 請列出MATLAB代碼求解，并給出對問題2的求解答案;

(iv) 在構造就餐流動情況時，你們考慮了哪些因素？請分析原因和合理性.

那么可以寫成矩陣相乘的形式xn=Axn-1=AAxn-2=…=Anx0，此處矩陣

對第2問的求解，假設存在初始用餐比例x，則有x=Ax，根據(jù)特征值和特征向量的定義，即說明此時A有一個特征值為1，而用餐人員比例即屬于特征值1的特征向量.矩陣A一定有特征值1嗎？我們當然可以求出該矩陣的所有特征值.但通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，A矩陣的每一列之和為1，即

這說明AT有特征值1，根據(jù)特征值的性質，AT和A具有相同的特征值，故A必有特征值1.

對于第3問，可以使用MATLAB指令eig求出A的特征值和特征向量.

案例1和同學們的學習生活息息相關，本案例能激發(fā)學生學習數(shù)學，使用數(shù)學的熱情.對于問題1的求解，同學們在構造模型時，能充分體會到矩陣乘法運算的定義，以及以矩陣作為計算工具的整體性和簡潔性.而構造餐廳流動關系，讓同學們知道了方陣的冪的含義；第2問能加深對方陣的特征值和特征向量的性質與含義的理解，而第4問屬于開放性討論題目，有助于學生自主學習，培養(yǎng)分析問題的能力.

案例2希爾密碼問題

1929年，希爾(Lester S. Hill)提出以矩陣變換的方法，建立數(shù)字和字母間的對應關系，使得密碼學進入以數(shù)學方法處理問題的階段.假定每一字母對應一個非負整數(shù)，以英文字母為例，首字母a對應數(shù)字1，倒數(shù)第二個字母y對應數(shù)字25，最后一個字母z對應數(shù)字0.希爾密碼的基本思想是：將明文用相應的數(shù)字代替，變成了一個n維列向量x，并確定一個n階的可逆矩陣A(此矩陣稱為密鑰)，用A左乘向量x，即可得到加密后的報文y=Ax.解密時，只需用A-1左乘向量y，即得到解密后的報文x=A-1y.例如：設明文為our marshal was shot，密鑰矩陣為

明文17個字符，將明文形成對應的矩陣為

則加密后的密碼為

問題：為了使數(shù)字與字符間可以互換，明文和密文必須均使用取自0-25之間的整數(shù).而使用y=Ax計算得到的數(shù)字可能超出該范圍，那應如何處理？在解密時要用到逆矩陣，在求A的逆矩陣時可能會出現(xiàn)分數(shù)，如何解決？

分析希爾密碼的加密和解密，可以讓我們更好地理解矩陣乘法、逆矩陣的意義和用法.但實際使用時，則需對密鑰矩陣及加密、解密過程進行特殊處理.針對本案例需要解決的問題，我們布置成課外思考題，同時提供相關文獻，讓同學們找出能構成密鑰矩陣A的元素所必須滿足的條件，并使用窮舉算法編程，求出A中所有能使用的數(shù)字.希爾密碼問題使同學們意識到矩陣理論及逆矩陣在信息學、軍事通信中均有重要的應用，對信息大類專業(yè)中經常需要用到的“求?！焙汀扒笥唷边\算有了更好的理解.

案例3線性方程組的解與空間平面的關系

已知線性方程組

試討論λ為何值時，方程組有唯一解、無窮多個解、無解，并分別用空間平面的關系表示.

分析通過對含參數(shù)線性方程組的分析，得知：

(i) 當λ≠1且λ≠-2時，R(A)=R(B)=3方程組有唯一解；

(ii) 當λ=1時，R(A)=1，R(B)=2，方程組無解；

(iii) 當λ=-2時，R(A)=R(B)=2<3，方程組有無窮多個解.

含參數(shù)的方程組的求解問題，是線性代數(shù)學習的一個重要組成部分.我們設計程序，分別給出不同的λ時三個空間平面的位置關系，加深了對問題的三維直觀和幾何理解.通過該例子，讓學生理解了方程組的解和空間平面的關系，并學會使用MATLAB來繪制空間曲面，舉一反三，學生的學習熱情和成就感都有較大上升.圖1是λ分別取1,-2,-1時的三個平面方程的圖形，圖形的空間位置關系一目了然.

(a) λ=1,唯一解；　(b) λ= -2,無窮多解；　(c)λ= -1,無解圖1　方程組的解與三個空間平面的位置關系

MATLAB程序示范如下：

x=-5:0.1:5;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y); %生成平面網(wǎng)格數(shù)據(jù)

lbd=[1 -2 -1];

fori=1:3

lambda=lbd(i); %三個參數(shù)對應于無解 無窮多解和唯一解

Z1=-lambda*X-Y+1; %方程1所對應的平面

Z2=-X-lambda*Y-2; %方程2所對應的平面

Z3=(-X-Y+lambda+3)/lambda;%方程3所對應的平面

figure;mesh(X,Y,Z1);holdon;

mesh(X,Y,Z2);holdon;mesh(X,Y,Z3) %在同一個坐標系中繪出三個平面的圖形

end

5　結　　論

對信息大類專業(yè)《線性代數(shù)》的教學改革與實踐，一方面是為了提高《線性代數(shù)》的教學質量和教學效果，引導和調動學生自主學習，增強學生利用該課程理論和方法解決工程實際問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才.另一方面，本改革對授課教師提出更高的要求，避免年復一年的重復以往《線性代數(shù)》課程相對固定的授課內容，提升教師隊伍的綜合素質，真正實現(xiàn)教學相長.實踐旨在建立“授課、數(shù)學實驗探索、科學計算與專業(yè)案例分析的一體化“教學體系，并建立課程長效反饋機制與調整策略，為培養(yǎng)全面發(fā)展高素質本科生提供有效支撐和借鑒.此外，本研究的課件、程序集、專業(yè)數(shù)學模型案例庫等，可推廣到全校非數(shù)學專業(yè)的《線性代數(shù)》課程教學，并且可為其他工科數(shù)學課程的實踐研究提供思路和基礎.

[1]趙小艷，李繼成.MOOC環(huán)境下大學數(shù)學教學方法思考[J].大學數(shù)學，2015，31(3):46-48.

[2]但琦，楊廷鴻，吳松林，等.論大學數(shù)學實驗課的教學設計[J].大學數(shù)學，2010，26(5):1-5.

[3]黃玉梅. 非數(shù)學專業(yè)線性代數(shù)實踐性教學研究[J]. 西南師范大學學報(自然科學版)， 2010，35(6):201-205.

[4]李紹剛,段復建,陳利霞.《線性代數(shù)》中Matlab實驗教學的探索與實踐[J].長春大學學報，2010，20(6):21-24.

[5]劉波，戴小鵬，沈岳，王奕. MATLAB融入《線性代數(shù)》的教學改革與實踐[J].軟件， 2014，35(2)：150-152.

Research and Practice on Teaching Reform in Linear Algebra Course for Information Majors

YANGWen-Xia,HANHua,PENGSi-Jun

(Department of Mathematics, School of Science, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

We analyze the current teaching situation and difficulties in linear algebra course, and carry out the reforms on teaching contents and application cases in information majors. Our innovation put emphasis on practical applications to information majors. By stressing geometric visual interpretation of concepts and programming training with MATLAB, we aim to culture the students’ ability of using linear algebra and enhance the teaching effect concurrently.

linear algebra; teaching reform; mathematical experiment; MATLAB

2015-11-06；[修改日期]2016-04-08

武漢理工大學教學研究課題(w2015055)；湖北省教學研究項目(2015109)

楊文霞(1978-),女，博士，副教授，從事圖像處理與智能計算研究.Email:wenxiayang@163.com

O151； G642

C

1672-1454(2016)03-0065-06