張　勤，　叢籥蘇

(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 南京 211189； 2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院,南京 211189)

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用特征值刻畫分式線性迭代數(shù)列的漸近性態(tài)

張勤1，叢籥蘇2

(1.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 南京 211189； 2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院,南京 211189)

利用分式線性迭代數(shù)列系數(shù)矩陣的特征值，刻畫這類數(shù)列的斂散性及收斂速度.

分式線性迭代數(shù)列； 特征值； 漸近性態(tài)

1　引　　言

分式線性迭代數(shù)列是由Riccati差分方程

(1)

定義的數(shù)列，是最簡單的非線性迭代數(shù)列之一.在一些動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)控制問題中，分式線性迭代數(shù)列有重要的應(yīng)用[1].

分式線性迭代數(shù)列 (1)可以化簡為

(2)

至今已有許多文獻(xiàn)研究分式線性迭代數(shù)列，得到了很多結(jié)論[1-4]. 文[1-3]分別介紹了求解差分方程(1)的不同方法.文[3-4]分別用迭代數(shù)列系數(shù)矩陣的特征值和迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)刻畫了分式線性迭代數(shù)列的斂散性.文[4]還利用迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)描述了分式線性迭代數(shù)列的收斂速度.本文利用文[1]中介紹的方法求解差分方程(2)，結(jié)合迭代數(shù)列系數(shù)矩陣的特征值與迭代函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，得到數(shù)列(2)的由系數(shù)矩陣特征值表示的通項(xiàng)，并由此證明本文定理，一個(gè)利用數(shù)列(2)系數(shù)矩陣特征值描述的關(guān)于數(shù)列(2)的斂散性以及收斂速度的結(jié)論，統(tǒng)一并完善了文[3-4]中結(jié)論.

2　主要結(jié)論以及證明

(3)

證系數(shù)矩陣A的特征方程為λ2-(a+d)λ+(ad-b)=0, 特征值為

(4)

(5)

因?yàn)棣甩?det(A)=ad-b≠0, 所以

再由xn=k+1/tn可知(3) 式成立.

若交換(4)式中λ,μ的記號(hào)，相應(yīng)地交換(5)式中k和h的記號(hào)，由證明過程容易知道，(3)式仍成立. 下面這個(gè)數(shù)值例子也可以驗(yàn)證這一點(diǎn).

兩個(gè)表達(dá)式是一致的.所以引理成立.

(i) 當(dāng)系數(shù)矩陣A有共軛復(fù)數(shù)特征值時(shí)，數(shù)列(2)發(fā)散；

(ii) 當(dāng)系數(shù)矩陣A有相同的特征值λ時(shí)，數(shù)列(2)收斂到不動(dòng)點(diǎn)k=λ-d，且xn-k=O(1/n)；

(iii) 當(dāng)系數(shù)矩陣A有相異的實(shí)數(shù)特征值λ,μ時(shí)，若λ=-μ，則數(shù)列(2)發(fā)散；若|q|=|μ/λ|<1, 則迭代數(shù)列(2)收斂到不動(dòng)點(diǎn)k=λ-d，且xn-k=O(qn).

證若x1或某個(gè)xn是迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，顯然數(shù)列(2)收斂到這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；若實(shí)數(shù)x1不是迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，實(shí)數(shù)a,b和d保證迭代有意義，且任意的xn不是不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)數(shù)列(2)收斂時(shí)，極限值是迭代函數(shù)的實(shí)數(shù)不動(dòng)點(diǎn).

若A的特征值為共軛復(fù)數(shù)，則由(4)，(5)兩式可知，不動(dòng)點(diǎn)方程無實(shí)根，故數(shù)列(2)發(fā)散；

若A有相異的實(shí)數(shù)特征值λ=-μ,由(4)式可知a=-d，數(shù)列(2)具有如下特殊的形式

3　應(yīng)用舉例

高等數(shù)學(xué)試題及競賽題中，經(jīng)常出現(xiàn)判別分式線性迭代數(shù)列斂散性和求分式線性迭代數(shù)列極限的題目，利用本文的結(jié)論，這類試題可以得到圓滿的解答.

當(dāng)a<0時(shí)，矩陣A的特征值為共軛復(fù)數(shù)，數(shù)列xn發(fā)散；

本文介紹的方法和結(jié)論，還出現(xiàn)在優(yōu)化控制等研究領(lǐng)域，能在解決經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的實(shí)際問題中發(fā)揮作用，參見文獻(xiàn)[1].

[1]Mitchell, Douglas W. An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2000, 24: 615-622.

[2]Brand, Louis. A sequence defined by a difference equation[J]. The American Mathematical Monthly, 1955， 62(7):489-492.

[3]李穎，周敏，倪谷炎. 基于特征值理論求分式線性遞推數(shù)列極限[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30(5): 74-77.

[4]趙煥光,項(xiàng)凌云. 遞推數(shù)列極限的初等求法和收斂漸近性[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2013,16(5)：3-6.

Characterization of Asymptotic Behavior of the Rational Recursive Sequence Using Eigenvalues

ZHANGQin1，CONG Yue-su2

(1.DepartmentofMathematics,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China；2.SchoolofCivilEngineering,SoutheastUniversity,Nanjing211189,China)

Theconvergenceandconvergencerateoftherationalrecursivesequenceischaracterizedbyeigenvaluesofthecoefficientmatrix.

therationalrecursivesequence;eigenvalue;asymptoticbehavior

2016-01-20；[修改日期] 2016-03-15

張勤(1963—),女，碩士，副教授，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué).Email:zhangqin@seu.edu.cn

O171

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1672-1454(2016)03-0114-03