王虞燕，　邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

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無窮求和的計(jì)算Ⅱ

王虞燕，邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

綜合利用裂項(xiàng)法,特殊函數(shù)法和圍道積分得到了一些無窮求和的值.

圍道積分； 無窮求和； 特殊函數(shù)

1　引　　言

無窮求和的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本運(yùn)算，也是理論物理專業(yè)必須要求熟練掌握的一項(xiàng)(解析)計(jì)算能力.文獻(xiàn)[1-8]利用冪級(jí)數(shù)，積分恒等式，范德蒙行列式, 傅里葉級(jí)數(shù)，特殊函數(shù)，泊松求和，交換次序等方法，得到了一些無窮求和的值.理論物理中實(shí)際出現(xiàn)的無窮求和形式多種多樣，我們要學(xué)會(huì)分析其表達(dá)式的特點(diǎn)，有針對(duì)性的選擇最適合的方法來計(jì)算.所以掌握的方法越多越好，除了文獻(xiàn)中的眾多方法，本文將介紹裂項(xiàng)法, 特殊函數(shù)法和圍道積分法，來計(jì)算一些無窮求和的值.

2　裂項(xiàng)法

定義一個(gè)數(shù)列an，前兩項(xiàng)是a1=2,a2=8，遞推關(guān)系式是

an=4an-1-an-2.

(1)

與這數(shù)列有關(guān)的無窮求和是

(2)

f(x)-2x=4xf(x)-x2f(x).

(3)

由此得到

(4)

(5)

假設(shè)存在以下裂項(xiàng)式關(guān)系

(6)

(6)式兩邊取正切函數(shù),計(jì)算得到

(7)

用待定系數(shù)法求解(7)式中的遞推方程，假定

bn=Aα2n+C.

(8)

(8)式代入(7)式，計(jì)算得到

(9)

比較(9)式中α的各項(xiàng)系數(shù)，得到

(10)

(10)式代入(8)式，得到

(11)

(12)

3　特殊函數(shù)法

首先介紹一個(gè)特殊函數(shù)，兩重對(duì)數(shù)函數(shù)(Dilogarithms)[10]，它在單位圓盤和邊界上定義為

(13)

它在單位圓盤之外值由解析延拓確定，即在全復(fù)平面上定義的.它滿足以下函數(shù)方程

(14)

取z=(1+itanθ)/2, 0<θ<π/3，代入(14)式，比較實(shí)部，得到

(15)

取z=exp(iθ), 0<θ<π/2，以下角度θ 都在這個(gè)取值范圍內(nèi)，不再一一說明.那么由

(16)

代入(14)式, 對(duì)比實(shí)部得到

(17)

由文獻(xiàn)[10]

(18)

所以

(19)

或者

(20)

4　圍道積分法

取一個(gè)復(fù)變函數(shù)為

(21)

圍道取為第一象限半徑為無窮大的四分之一圓，兩個(gè)垂直相交的半徑落在實(shí)軸和虛軸上，繞過邊界上各極點(diǎn), 實(shí)軸上的積分貢獻(xiàn)是

(22)

虛軸上的積分貢獻(xiàn)是

(23)

實(shí)軸上的極點(diǎn)z=n求和貢獻(xiàn)是

(24)

虛軸上的極點(diǎn)z=ni求和貢獻(xiàn)是

(25)

原點(diǎn)的極點(diǎn)貢獻(xiàn)是

(26)

令ω=exp(iπ/4)，以上貢獻(xiàn)之和等于f(z)在極點(diǎn)z=aω處的留數(shù)乘以2πi,由此得到

(27)

由對(duì)數(shù)伽瑪函數(shù)微商ψ(z)的積分表達(dá)式[9]

(28)

得到

(29)

由此得到

(30)

對(duì)(30)式中的參數(shù)a作各種操作，如展開級(jí)數(shù)，求和，積分等，還能得到其他無窮求和表達(dá)式，篇幅所致，不再詳述.

5　結(jié)　　論

無窮求和的計(jì)算方法，一般由它的表達(dá)方式確定，如何取舍，取決你掌握方法的廣度以及深度.這一點(diǎn)，在理論物理實(shí)際解析計(jì)算中，尤其重要.本文中的第一類無窮求和，試探為裂項(xiàng)；第二類無窮求和，由于分母上是自然數(shù)的平方，分子上是三角函數(shù)，與兩重對(duì)數(shù)函數(shù)的定義非常相像，所以聯(lián)想到它的函數(shù)方程；第三類無窮求和，要試探猜到復(fù)變函數(shù)形式以及路徑積分的圍道.這些技巧和經(jīng)驗(yàn)，都需要在實(shí)際問題中反復(fù)磨練.

[1]耿彥如. 一種無窮級(jí)數(shù)的求和方法[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,29(8): 59-60.

[2]程海來. 一類無窮級(jí)數(shù)的求和[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29(3): 112-114.

[3]于彬. 一類無窮級(jí)數(shù)的求和[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(2): 177-180.

[4]楊傳富, 趙培標(biāo). 積分恒等式及其在無窮級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010，13(3): 9-11.

[5]宣體佐. 也談幾個(gè)無窮級(jí)數(shù)的求和問題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1985,11: 44.

[6]莫頌清. 一組無窮級(jí)數(shù)求和的另一種方法[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1985,11:44.

[7]邱為鋼. 一類無窮級(jí)數(shù)和的計(jì)算方法[J ].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,13 (2) :74-75.

[8]蔣明明，邱為鋼. 一類無窮級(jí)數(shù)和的計(jì)算方法Ⅱ[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2008 ,14 (3) :91-92.

[9]王竹溪，郭頓仁. 特殊函數(shù)概論[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2000.

[10]Leonard Lewin. Polylogarithms and associated functions[M]. Newyork, North Holland：1981.

Evaluation of Some Infinite Sums Ⅱ

WANGYu-yan，QIUWei-gang

(School of Science, Huzhou Teacher’s College, Huzhou Zhejiang 313000, China)

Some infinite sums are evaluated by the splitting term method, special function method and contour integration method.

contour integration; infinite sums; special function

2015-01-19；[修改日期] 2016-01-22

高等學(xué)校數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)研究項(xiàng)目(JZW-15-Sl-03)； 國家自然科學(xué)基金(11475062)

邱為鋼(1975-),男，博士，副教授，從事數(shù)學(xué)物理教學(xué)研究.Email:wgqiu@hutc.zj.cn

O172.2

C

1672-1454(2016)03-0102-04