劉宏錦,　周金森,　劉利敏

(1.龍巖學(xué)院信息工程學(xué)院,福建龍巖364012；　2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州350117)

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λ-矩陣的等價(jià)和矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式

劉宏錦1，2,周金森1,劉利敏1

(1.龍巖學(xué)院信息工程學(xué)院,福建龍巖364012；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州350117)

設(shè)U(λ)與V(λ)都是m×m階的λ-矩陣.若U(λ)與V(λ)等價(jià),則對(duì)于任意的n階方陣A,分塊矩陣U(A)與V(A)的秩相等.利用此結(jié)論刻畫了冪零矩陣、零化多項(xiàng)式等.同時(shí),通過考慮兩個(gè)對(duì)角λ-矩陣等價(jià)的充要條件,使關(guān)于矩陣多項(xiàng)式秩的一些恒等式的討論有了新的統(tǒng)一的方法.

λ-矩陣； 等價(jià)； 矩陣多項(xiàng)式； 秩

矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式的問題一直受到關(guān)注. 最近發(fā)表的論文大都是利用多項(xiàng)式理論以及分塊矩陣的初等變換等方法,針對(duì)一些較為具體的問題研究矩陣多項(xiàng)式的秩的恒等式,得到了各種結(jié)論,如文獻(xiàn)[1-6].本文從新的觀點(diǎn)——λ-矩陣的等價(jià)來探討矩陣秩的等式,對(duì)一些已知結(jié)論給出統(tǒng)一的新證明方法，這種方法快速而簡(jiǎn)便.

1　λ-矩陣的等價(jià)

設(shè)P是數(shù)域,Pn×n和P[λ]分別表示P上的n階方陣和一元多項(xiàng)式的集合.設(shè)A∈Pn×n, rank(A)表示矩陣A的秩,E表示單位矩陣.

一個(gè)元素取自P[λ]的矩陣稱為λ-矩陣.λ-矩陣的初等變換指的是P[λ]上的以下三種變換：

(i)矩陣的兩行(列)互換位置； (ii)矩陣的某一行(列)乘以非零常數(shù)；

(iii)矩陣的某一行(列)加上另一行(列)的φ(λ)倍,這里φ(λ)∈P[λ].

與數(shù)字矩陣一樣,以上三種初等變換對(duì)應(yīng)三類初等λ-矩陣,除第3種情況外,其余2類與數(shù)字矩陣的初等矩陣相同,第3種初等變換對(duì)應(yīng)的初等λ-矩陣的形式如下

定義1[7]m×m階的λ-矩陣U(λ)稱為與V(λ)等價(jià),如果可以經(jīng)過一系列初等變換將U(λ)化為V(λ).

定理1[7]任意一個(gè)m×m階非零的λ-矩陣U(λ)都等價(jià)于

其中r≥1,di(λ) (i=1,2,…,r)是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,且

di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1).

稱Λ(λ)為U(λ)的標(biāo)準(zhǔn)形.

定義2[7]標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)稱為U(λ)的不變因子組.

將λ-矩陣U(λ)的不變因子d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)在P上分解為不可約因式之積

……

其中pi(λ)是首1的兩兩互素的不可約多項(xiàng)式,kij≥0,0≤k1j≤k2j≤…≤krj,j=1,2,…,t.

定理2[8]設(shè)U(λ)與V(λ)都是m×m階的λ-矩陣,則下列敘述等價(jià).

(i)U(λ)與V(λ)等價(jià)；

(iii)U(λ)與V(λ)有相同的標(biāo)準(zhǔn)形；

(iv)U(λ)與V(λ)有相同的不變因子組；

(v)U(λ)與V(λ)有相同的初等因子組.

其中pj(λ)是首1的兩兩互素的不可約多項(xiàng)式(j=1,2,…,t)且kij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,t),則

是U(λ)的初等因子組.

下面引理給出了判定兩個(gè)對(duì)角λ-矩陣等價(jià)的一個(gè)判定方法.

引理1設(shè)

其中

這里p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)為兩兩互素的首1的不可約多項(xiàng)式,ai,bi∈P,kij,lij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,t).則U(λ)與V(λ)等價(jià)的充要條件是

證由定理3,U(λ)與V(λ)有相同初等因子的充要條件是對(duì)任意j=1,2,…,t,都有

再由定理2,即可得證.

2　主要結(jié)果及其應(yīng)用

定理4若m×m階的λ-矩陣U(λ)與V(λ)等價(jià),則對(duì)任意n階方陣A∈Fn×n,都有

rank(U(A))=rank(V(A)).

證由定理2,存在初等λ-矩陣P1(λ),P2(λ),…Pl(λ),Q1(λ),Q2(λ),…,Qs(λ),使得

U(λ)=P1(λ)P2(λ)…Pl(λ)V(λ)Q1(λ)Q2(λ)…Qs(λ).

這樣對(duì)于任意n階方陣A,有

U(A)=Pl(A)…P2(A)P1(A)V(A)Q1(A)Q2(A)…Qs(A),

它是mn×mn階數(shù)字矩陣,其中U(λ)中的第(i,j)個(gè)元素uij(λ)化為uij(A)，是一個(gè)n階方陣.特別地,常數(shù)多項(xiàng)式a,化為n階方陣aE.注意到Pi(λ),Qj(λ)作為λ-矩陣是可逆矩陣,所以數(shù)字矩陣Pi(A),Qj(A)也是可逆矩陣.事實(shí)上,設(shè)Pi(λ)-1=Si(λ),則Pi(A)-1=Si(A). 因?yàn)樽蟪嘶蛴页丝赡婢仃嚥桓淖兙仃嚨闹?，所以定理成?

利用定理可得到如下冪零矩陣(推論1)、零化多項(xiàng)式(推論2)的刻畫.

推論1設(shè)A是n階方陣,則At=O的充要條件是

的秩為(t-1)n，其中式中分塊矩陣的主對(duì)角線上有t個(gè)A.

證這是因?yàn)槿缦聝蓚€(gè)λ-矩陣等價(jià)

推論2設(shè)A是n階方陣,f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+bm,則f(A)=O的充要條件是

的秩為(m-1)n.

證由于f(λ)=λm+b1λm-1+…+bm-1λ+bm的伴侶陣的特征矩陣

設(shè)不全為零的fi(λ)∈P[λ](i=1,2,…,s), 用(f1(λ),f2(λ), …,fs(λ)),[f1(λ),f2(λ), …,fs(λ)]分別表示f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式和最小公倍式,記

d(λ)=(f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)),m(λ)=[f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)].

引理2設(shè)fi(λ)(i=1,2,…,s)在數(shù)域P上的分解式為

其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)為兩兩互素的首1的不可約多項(xiàng)式,kij≥0 (i=1,2,…,t; j=1,2,…,s).則

推論3[1]設(shè)A∈Pn×n,fi(λ)∈P[λ],fi(λ)≠0 (i=1,2,…,s,s≥2),那么下面的秩等式成立

證這里只證(i),(ii)類似可證.設(shè)fi(λ)(i=1,2,…,s)在數(shù)域P上的分解式為

其中p1(λ),p2(λ),…,pt(λ)為兩兩互素的首1不可約多項(xiàng)式.取

這里

……,

i=1,2,…,s,j=1,2,…,t.由引理2,

…………,

因?yàn)?/p>

其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ)是兩兩互素的首1不可約多項(xiàng)式,a,b∈P.令

其中p1(λ),p2(λ),…pt(λ),q1(λ),q2(λ),…,qs(λ),u1(λ),u2(λ),…,um(λ)仍是兩兩互素的首1不可約多項(xiàng)式,c∈P.若記

則

由引理1,U(λ)與V(λ)的初等因子組相同,所以U(λ)與V(λ)等價(jià).再由定理4,即有

推論5[3]設(shè)A∈Pn×n,f1(λ),f2(λ),…,fs(λ)是數(shù)域P上的s個(gè)兩兩互素的多項(xiàng)式.則下列矩陣多項(xiàng)式秩等式成立

推論6[4]設(shè)A∈Pn×n,正整數(shù)m,t滿足m>t≥2,則At=Am當(dāng)且僅當(dāng)

3　結(jié)束語

利用本文的主要結(jié)論定理4不僅能刻畫冪零矩陣、零化多項(xiàng)式,還可以給出冪等矩陣、對(duì)合矩陣、矩陣可對(duì)角化等的判定.λ-矩陣等價(jià)的充要條件是它們的初等因子組相同,由引理1,兩個(gè)對(duì)角λ-矩陣等價(jià)的形式可以是多樣的,所以利用定理4可以給出豐富的矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式.

[1]左可正.關(guān)于矩陣多項(xiàng)式秩的二個(gè)恒等式[J] .山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2011，46(4):90-97.

[2]胡付高，曾玉娥.一類矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式與應(yīng)用[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2008，43(8):51-54.

[3]徐國(guó)進(jìn)，胡付高，李發(fā)來.一類矩陣多項(xiàng)式秩的恒等式[J] .大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(2):127-129.

[4]楊忠鵬，陳梅香，林國(guó)欽.關(guān)于矩陣方冪的秩恒等式的注記[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，3(1):24-28.

[5]楊忠鵬，林國(guó)欽，陳梅香.矩陣多項(xiàng)式秩的和的恒等式及其應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(1):149-152.

[6]胡付高.一類矩陣多項(xiàng)式的秩特征[J] .大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23(3):164-166.

[7]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù) [M].3版.北京高等教育出版社，2003:330-334.

[8]林亞南.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2013:210-222.

The Equivalence of Lamda Matrices and Rank Identities of Matrix Polynomials

LIUHong-jin1，2,ZHOUJin-sen1,LIULi-min1

(1. School of Information Engineering, Longyan University, Longyan Fujian 364012, China；2. School of Mathematics and Computer Science, Fujian Normal University, Fuzhou 350117, China)

Let U(λ)andV(λ)bemtimesmlamda-matrices.IfU(λ)andV(λ)areequivalent,thentherankoftheblockmatrixU(A)isequaltotherankoftheblockmatrixV(A)foranyntimesnmatrixA.Wedescribethenilpotentmatrices,zeroizedpolynomialandsoonbyusingtheconclusionasabove.Meanwhile,wegiveanewanduniformmethodwhendealingwiththerecentconclusionsabouttherankidentitiesofmatrixpolynomialsbyconsideringthenecessaryandsufficientconditionofequivalencebetweenthetwodiagonallamda-matrices.

lamda-matrix; equivalence; matrix polynomial; rank

2016-03-24；[修改日期]2016-04-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471269; 11526107)；福建省自然科學(xué)基金(2016J01002; 2015J05010)

劉宏錦(1982—)，男，碩士，講師，從事代數(shù)及其表示論研究.Email:hjliu005@sina.com

O151.21

C

1672-1454(2016)03-0097-05