執(zhí)教：戴蓉　點(diǎn)評(píng)：張新春

“方陣問題”教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)

執(zhí)教：戴蓉點(diǎn)評(píng)：張新春

教學(xué)實(shí)錄

（一）情境導(dǎo)入

師：我們學(xué)校要舉行全校的集體舞比賽，大家正在抓緊排練。四年級(jí)的同學(xué)特別想奪得冠軍，他們苦練舞蹈動(dòng)作，巧妙設(shè)計(jì)隊(duì)形?？?，這就是他們設(shè)計(jì)的隊(duì)形，這個(gè)隊(duì)形有什么特點(diǎn)？（這個(gè)隊(duì)形是正方形）怎么看出是個(gè)正方形？

生：有9行、9列。

師：像這樣的行數(shù)與列數(shù)相等的正方形隊(duì)列，我們把它叫做方陣。今天我們一起研究方陣中的數(shù)學(xué)問題。（板書課題：方陣問題）

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的生活中引出方陣問題，既拉近了與學(xué)生的距離，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

（二）探究建模

師：這個(gè)方陣每行每列都布滿了點(diǎn)，是個(gè)實(shí)心方陣。這個(gè)方陣總共有多少人？怎么計(jì)算？

生：9×9=81（人）。

師：原來四年級(jí)派出了81人的參賽隊(duì)伍，他們隊(duì)伍的最外層全站男同學(xué)，而里面全是女同學(xué)，如果不看里面的女同學(xué)，這也是一個(gè)方陣，是個(gè)什么方陣呢？

生：這個(gè)是空心方陣。

師：對(duì)，有實(shí)心就會(huì)有空心，這確實(shí)是個(gè)空心方陣。老師已經(jīng)把這個(gè)空心方陣畫在了紙上，請你們畫一畫、算一算，看看最外層一共站了多少名男同學(xué)。比比看誰的方法多，誰的方法好。

學(xué)生動(dòng)手，教師巡視。

師：誰上臺(tái)來說說你的算法？

學(xué)生在實(shí)物投影儀上展示自己的方法，教師板書學(xué)生得到的各種方法。

生1：9+8+8+7=32。

生2：9×2+7×2=32。

生3：（9+7）×2=32。

生4：（9-1）×4=32。

生5：7×4+4=32。

生6：9×9-7×7=32。

師：這么多種方法，到底哪個(gè)對(duì)？你有什么辦法驗(yàn)證？

生：老師，我們可以具體數(shù)一數(shù)。

師：好，我們跟著電腦一起來數(shù)一數(shù)。（板書：數(shù)數(shù)驗(yàn)證）咦，明明每邊是9人，4條邊，應(yīng)該是9× 4=36才對(duì)，為什么只有32個(gè)了呢？

生：因?yàn)?個(gè)角上的人被重復(fù)計(jì)算了。（板書：重復(fù)的，要減去）

師：這就是生4的算法，可這里還有這么多得數(shù)也是32的算式，他們是怎樣想的？他們的想法全對(duì)嗎？前后4人為一組共同探討一下吧。

學(xué)生討論后反饋，教師用課件演示每種方法。

師：真不錯(cuò)，你們不僅有自己的方法，還虛心地學(xué)會(huì)了別人的方法。大家比較一下：在這些方法中，你最喜歡哪種方法呢？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生找到正確答案以后再反思別的同學(xué)的方法，培養(yǎng)孩子們的反思意識(shí)，提高分析問題的能力。

師：大家都說得很好，無論你喜歡的是哪種方法，我們在求最外層總數(shù)時(shí)不僅要合理分組，還要注意把方陣4個(gè)角上的點(diǎn)處理好。重復(fù)的要減去，遺漏的要加上，每位同學(xué)至少要掌握好其中的一種方法。下面我們口頭解答幾道題。（課件出示）

（1）一個(gè)空心方陣，每邊站26人，最外層一共可以站多少人？

（2）一個(gè)空心方陣，每邊站100人，最外層一共可以站多少人？

（3）一個(gè)空心方陣，每邊站41人，最外層一共可以站多少人？

師：在剛才解決問題的過程中，同學(xué)們都選用了兩種方法，看看跟誰的相似？能不能找到這兩種方法的解題規(guī)律呢？

（板書：每邊個(gè)數(shù)×4-4=最外層總數(shù)，（每邊個(gè)數(shù)-1）×4=最外層總數(shù)）

設(shè)計(jì)意圖：通過一組題目的練習(xí)，孩子們體會(huì)所用的方法，找出規(guī)律，逐步建模。

師：真厲害，一下子得出兩個(gè)規(guī)律，下面我們來搶答一組題目，比一比誰最會(huì)運(yùn)用規(guī)律。（課件出示）

（1）一個(gè)正五邊形隊(duì)形，每邊10人，最外層一共多少人？

（2）如果是一個(gè)正三角形隊(duì)形，每邊10人，最外層一共多少人？

（3）如果是正8邊形隊(duì)形呢？如果是正10邊形隊(duì)形呢？如果是正100邊形隊(duì)形呢？正n邊形呢？

（4）如果是一個(gè)正n邊形隊(duì)形，每邊10人，最外層一共多少人？

（5）如果是一個(gè)正n邊形隊(duì)形，每邊a人，最外層一共多少人？

板書：a×n-n=C，（a-1）×n=C。

師：請你告訴大家a表示什么？（每邊的個(gè)數(shù)）n表示什么？（邊數(shù)）C代表什么？（最外層總數(shù)）那就是說這兩個(gè)規(guī)律不僅可以計(jì)算方陣問題，還可以幫我們求出所有的正多邊形隊(duì)形的最外層總數(shù)。

師小結(jié)：同學(xué)們，我們今天一起找到了多種解決方陣問題的方法，通過比較和應(yīng)用發(fā)現(xiàn)了其中最好的方法，又探索挖掘到了解決所有正多邊形隊(duì)形最外層總數(shù)的規(guī)律，讓我們?yōu)樽约旱某錾憩F(xiàn)喝彩！

設(shè)計(jì)意圖：在建模的基礎(chǔ)上逐步發(fā)散提高，最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求一個(gè)正多邊形隊(duì)形最外層總數(shù)，可以運(yùn)用求空心方陣最外層總數(shù)的方法。

（三）應(yīng)用提高

師：為了準(zhǔn)備這次比賽，我們的大隊(duì)干部們可忙壞了。他們在操場上用鮮花擺成了一個(gè)雙層空心方陣，一共用了多少盆鮮花呢？這個(gè)問題能難倒你們嗎？（課件出示右圖）想一想怎樣解決？說說你的想法。

生1：（10-2）×2×4=64（盆）。

生2：10×2×4-2×2×4=64（盆）。

生3：（10+8）×4-2×4=64（盆）。

生4：10×10-6×6=64（盆）。

生5：6×2×4+4×4=64（盆）。

生6：10×2×2+6×2×2=64（盆）。

設(shè)計(jì)意圖：孩子們靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)嘗試解決雙層空心方陣問題，領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。

師：同學(xué)們太棒了，今天我們一起解決了方陣中求外層總數(shù)的問題，并通過它探尋出了求正多邊形隊(duì)形最外層總數(shù)的規(guī)律。然而在方陣問題中并不是只需要求外層總數(shù)，還有許多其它情況。看這道題：20盆花圍成一個(gè)正方形，每邊盆數(shù)相等，4個(gè)頂點(diǎn)都有花，每邊各擺幾盆花？誰能快速告訴我每邊各擺幾盆花？

生：5盆？4盆？6盆？

師：到底是幾盆呢？同學(xué)們課后可以繼續(xù)思考，下節(jié)課我們再來研究！

設(shè)計(jì)意圖：將這道逆向思維的題目作為本節(jié)課的延伸，放到第二課時(shí)來教學(xué)，既不干擾本節(jié)課的建模，又讓孩子們意猶未盡、回味無窮。

點(diǎn)評(píng)

方陣問題屬于“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了植樹問題的基本方法，會(huì)解決簡單的植樹問題的基礎(chǔ)上教學(xué)的?！皵?shù)學(xué)廣角”的重要目標(biāo)在于讓學(xué)生積累分析問題、解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。

這節(jié)方陣問題一課的教學(xué)有如下幾個(gè)特點(diǎn)。

1.從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。模型是基本的數(shù)學(xué)思想，從具體的實(shí)際問題出發(fā)，將其中一些非本質(zhì)的、次要的因素忽略掉，留下本質(zhì)的、主要的因素并對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)的分析和處理，這就是數(shù)學(xué)模型的思想。本課教學(xué)中，教師從一個(gè)具體的集體舞比賽排隊(duì)形的問題出發(fā)，將其抽象成方陣問題并進(jìn)行數(shù)學(xué)處理。這種教學(xué)處理的好處是明顯的。學(xué)生熟悉、有興趣，研究起來順手，有經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，學(xué)生也能認(rèn)識(shí)到，無論是排隊(duì)形還是擺花，具體的對(duì)象不重要，空心方陣的模型才是重要的。

本課中也存在一個(gè)可以進(jìn)一步討論的問題，那就是如何看待多樣的解決問題的方法，如何評(píng)價(jià)各種方法的意義，是否有必要找到一種相對(duì)基本的方法。

（作者單位：長沙市芙蓉區(qū)育才小學(xué)長沙市教育科學(xué)研究院）