楊昌義

對一道幾何題證法的賞析與思考

楊昌義

一位勤學(xué)的學(xué)生問了我八年級上冊某教輔資料上的一道題，題目是：已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點E在CA的延長線上，∠E=∠AFE。求證：EF⊥BC。

教科書上兩直線垂直的定義是：兩直線相交所成的四個角中，如果有一個是直角，那么這兩直線叫做互相垂直。利用定義證明兩直線垂直是基本的思維方法。但對剛學(xué)證明的學(xué)生來說，還是較為困難的。而本題待證的兩條線段EF與BC不相交，更增加了難度?？紤]到此題比較典型，我在接下來的課上將之作為例題給全班學(xué)生進行了詳細的分析講解，并板書了證明過程。

圖1

證明：如圖2，延長EF，交BC于G。因為∠BAC、∠EAF分別是△AEF和△ABC的外角，所以∠BAC=∠E+∠AFE，∠EAF=∠B+∠C。又因為AB=AC，所以∠B=∠C，且∠E=∠AFE，所以∠BAC=2∠E，∠EAF=2∠C。而∠BAC+∠EAF=180°，所以2∠E+2∠C=180°，所以∠E+∠C=90°，則∠EGC=180°-（∠E+∠C）=90°，所以EG⊥BC，即EF⊥BC。

圖2

我是利用三角形外角定理以及平角的定義得到∠E+∠C=90°，再利用三角形內(nèi)角和定理得到∠EGC=90°，從而得到結(jié)論。這一證明方法層次清晰，學(xué)生很容易理解和掌握。隨后，我讓大家思考有沒有別的證法。

大家一番沉思后，反應(yīng)敏銳的生1給出了新的證法。

證法1：如圖3（1），過點B作BD∥EF，交CA的延長線于D。則有∠D=∠AEF，∠ABD=∠AFE。因為已知∠AEF =∠AFE，所以∠D=∠ABD。又因為AB=AC，所以∠ABC=∠C。在△DBC中，因為∠D+∠DBC+∠C=180°，即∠D+∠ABD+∠ABC+∠C=180°，也即2∠ABD+2∠ABC=180°，所以∠ABD+∠ABC=90°，即∠DBC=90°，所以DB⊥BC。因為EF∥DB，所以EF⊥BC。

圖3（1）

賞析：此證法值得稱道的有兩點。第一，學(xué)生能靈活地將輔助線作到了已知圖形的外部，富有創(chuàng)新思維。而且這么添作輔助線后，我們從宏觀上可以將本題看作是從Rt△DBC衍生出來的一道題，給人以“一覽眾山小”之感。第二，這種證法不直接證明EF⊥BC，而是先證DB⊥BC，由BD∥EF間接得到EF⊥BC。這種思維對于初學(xué)證明的初中生來說也是一種創(chuàng)新，值得點贊！（當(dāng)然，此證法在得出∠D=∠ABD后，有AD=AB。又由已知AB=AC，所以AB= AD=AC。由此得出∠DBC為直角則更為簡捷，但此知識點湘教版安排在八年級下冊第一章，此時學(xué)生們尚未學(xué)過）

誰知一石激起千層浪，受作平行線輔助線的啟發(fā)，學(xué)生思維的閘門一下子打開，作出了如圖3（2）～圖3（4）的輔助線，其證法本質(zhì)上與證法2相同。但這種發(fā)散性思維對初學(xué)證明的學(xué)生來說是非?？少F的，值得贊賞。

圖3（2）

圖3（3）

圖3（4）

接著，喜歡獨立思考的生2另辟蹊徑，得到了新的證法。

證法2：如圖4，過A作AG∥EF，交BC于G，則有∠E=∠CAG，∠AFE=∠BAG。因為∠E=∠AFE，所以∠CAG=∠BAG，即AG是∠BAC的平分線。又AB= AC，所以AG⊥BC。因為EF∥AG，所以EF⊥BC。

圖4

賞析：此證法的思路與證法1類似，仍是利用“在同一平面內(nèi)，一直線垂直于兩平行線中的一條，必垂直于另一條”，但證明垂直時是利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)完成的，不能不說是邏輯思維上一個創(chuàng)新的亮點，值得給他一個大大的贊！

受此啟發(fā)，善于鉆研的生3也想出一招，其證法如下。

證法3：如圖5，過A作AD⊥EF于D。由于∠E=∠AFE，所以AE=AF，∠EAD=∠FAD。因為∠EAF=∠B+∠C，即∠EAD+∠FAD=∠B+∠C，而由AB=AC得∠B=∠C，所以2∠FAD= 2∠B，即∠FAD=∠B，所以AD∥BC。因為EF⊥AD，所以EF⊥BC。

圖5

賞析：此證法與上述證法思路實際上是一致的，但輔助線作法不同，作出的AD垂直于EF，再證AD與BC平行。這也算是一種新法吧，值得表揚！

思維活躍的生4又有了新法。她的證法是：

證法4：如圖6，延長EF交BC于G，過點F作FH∥EC，交GC于H，則有∠GFH=∠E，∠FHG=∠C。而AB=AC，所以∠B=∠C，因此有∠FHG=∠B，△FBH是等腰三角形。

又∠E=∠AFE，所以∠GFH=∠AFE。而∠AFE=∠BFG，所以∠GFH =∠BFG，因而FG⊥BH，即EF⊥BC。

圖6

賞析：此證法不僅直接證明EF⊥BC，也用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)來達到目的，實質(zhì)上是上述各種方法的綜合，既繼承又發(fā)展，新穎別致，值得贊賞！這也是同學(xué)們之間合作交流的功勞。

見大家討論得如此熱烈，一向比較沉穩(wěn)的生5坐不住了。他給出了自己的證法。

證法5：如圖7，過點E作EG∥AB，交CB的延長線于G，則∠G=∠ABC，∠GEF=∠AFE。

因為AB=AC，所以∠ABC=∠C，所以∠G=∠C，△EGC為等腰三角形。又因∠AFE=∠AEF，所以∠GEF=∠AEF，EF是頂角∠GEC的平分線，所以EF⊥BC。

圖7

賞析：這個證法盡管與證法4一致，但輔助線作得很妙，在原圖形之外構(gòu)造了一個大的等腰三角形，進而利用等腰三角形性質(zhì)，使證明過程簡捷而流暢。從宏觀上看，本題也相當(dāng)于是由等腰△EGC衍生出來的一道題目，使我們也有“登高遠望”之感，確實值得點一個大大的贊！

下課了，學(xué)生們還興致勃勃地切磋交流，想挖掘出更多更好的證法，教室里一片熱烈的景象。我被學(xué)生活躍的思維和濃厚的探究氛圍所感動。本節(jié)課，我只帶領(lǐng)學(xué)生討論了一道題，涉及的內(nèi)容卻如此豐富。學(xué)生們在交流各種證法的同時，規(guī)范了證明題的書寫格式，訓(xùn)思維得到了發(fā)散，創(chuàng)新意識也被激發(fā)。要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，題目在精不在多，教師要結(jié)合教學(xué)的重點和難點，多選取具有啟發(fā)性、典型性和規(guī)律性的題目。尤其要發(fā)揮一法多用和一題多解的作用，切實減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負擔(dān)，充分激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

（作者單位：永州市柳子中學(xué)）