張新春

基數(shù)意義下自然數(shù)的運(yùn)算（一）

張新春

基數(shù)意義下的自然數(shù)的運(yùn)算是通過集合的運(yùn)算來定義的，因此，我們先簡(jiǎn)單介紹一下集合的運(yùn)算。

（1）設(shè)給定的集合A和B，由至少屬于集合A或者集合B之一的元素組成的集合，叫做A與B的并集。記作A∪B。

（2）設(shè)給定的集合A和B，由集合A和集合B的所有共同元素組成的集合，叫做A與B的交集。記作A∩B。

“交”與“并”是集合間兩種基本的運(yùn)算，它們都滿足交換律與結(jié)合律，即：

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

這些集合的運(yùn)算律都是可以證明的。我們以證明A∪B=B∪A為例。

我們知道A∪B和B∪A都是集合。元素x是A∪B的元素（通常記作：x∈A∪B）指的是x是A的元素或者x是B的元素（也就是x∈A或x∈B）。為了證明A∪B和B∪A這兩個(gè)集合相等，我們通常用這樣的思路：證明集合A∪B的每一個(gè)元素都在集合B∪A中，同時(shí)，集合B∪A的每一個(gè)元素都在集合A∪B中。

設(shè)x∈A∪B，則有x∈A或x∈B。（并集的定義）

于是x∈B或x∈A。1

從而x∈B∪A（并集的定義）

以上即證明了A∪B的任意一個(gè)元素都是B∪A的元素。

（你可能覺得很無聊，不就是把“或”字兩邊的內(nèi)容換一下位置嗎？的確是這樣，可數(shù)學(xué)有時(shí)候就是這樣的：定義是嚴(yán)格的，判斷需要根據(jù)定義并按照邏輯規(guī)則做出。根據(jù)定義，x∈A∪B是指x∈A或x∈B，x∈B∪A指的就是x∈B或x∈A，而“x∈A或x∈B”與“x∈B或x∈A”是一個(gè)意思，則正是我們所做的推理（使用了數(shù)理邏輯命題演算的公理進(jìn)行推理）。數(shù)學(xué)推理的最開始幾步往往看起來就是這樣簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單得甚至有點(diǎn)讓人覺得不可思議，或者讓人覺得多此一舉。當(dāng)你覺得某一步推理簡(jiǎn)單得不可思議時(shí)，你應(yīng)該提醒提醒自己，當(dāng)前要證明的這個(gè)結(jié)論，只能根據(jù)已有的定義、被假設(shè)為正確的公理、已經(jīng)被證明了的結(jié)論以及基本的邏輯規(guī)則來證明，而不能是想當(dāng)然，也不能依靠直觀圖形（直觀圖形只能幫助我們理解，不能代替證明）。于是，你就應(yīng)該追問：為了證明這個(gè)結(jié)論，我已知一些什么，我有些什么工具可以利用？當(dāng)你發(fā)現(xiàn)其實(shí)此時(shí)你可用的工具非常之少、少得不可思議時(shí)，你就會(huì)覺得那個(gè)剛才還看起來不可思議的證明其實(shí)非常精巧。歐幾里得從幾個(gè)定義、幾條公理和公設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出歐氏幾何的參天大樹，其最初幾步就是這么精巧。）

完全類似的，可以證明B∪A中的任一元素都是A∪B的元素，于是A∪B=B∪A。

下面我們要利用集合的并來定義加法。

我們知道，集合A∪B的基數(shù)并不等于集合A的基數(shù)與集合B的基數(shù)之和（回憶一下，所謂基數(shù)就是指一類互相等價(jià)的集合的標(biāo)志。說得這樣繞是為了數(shù)學(xué)定義的需要。數(shù)學(xué)中的新概念通常只能用已經(jīng)被定義了的概念來定義。如果允許我們?cè)谶€沒有定義自然數(shù)時(shí)就使用“個(gè)數(shù)”這樣的概念，我們一定會(huì)把這句話說成“所謂一個(gè)集合的基數(shù)就是這個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù)”）。事實(shí)上，如果我們用|A|表示集合A的基數(shù)，則有：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

這是所謂的容斥原理，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的“數(shù)學(xué)廣角”中有這樣的內(nèi)容。

這說明，我們不能簡(jiǎn)單地用兩個(gè)集合的并來定義加法。我們討論一種特殊情況，即兩個(gè)集合沒有共同元素的情況。

定義：若自然數(shù)a，b，c分別是集合A，B，C的基數(shù)，而A與B沒有公共元素（即集合A∩B是空集），且A∪B=C，則把c叫做a與b的和，記作c=a+b。而求自然數(shù)a與b的和的運(yùn)算，就叫做加法，a和b都叫做加數(shù)。

從以上的定義可以看出，加法是以兩個(gè)不相交的集合的并為基礎(chǔ)定義的。兒童用掰手指的辦法計(jì)算加法，其實(shí)就體現(xiàn)了這種定義加法的方式：比如計(jì)算4+5，先數(shù)出4個(gè)手指，再數(shù)出5個(gè)手指，然后一起數(shù)這些手指的個(gè)數(shù)，就得到4+5的和。

接下來討論加法的性質(zhì)，此時(shí)，討論的依據(jù)只有加法的定義和前面討論過的集合的相關(guān)性質(zhì)。

加法交換律：a+b=b+a。

我們要證明加法的交換律。就像以前討論的，此時(shí)的依據(jù)只有加法的定義與集合的性質(zhì)。

按加法的定義，所謂a+b，指的是一個(gè)基數(shù)為a的集合A與一個(gè)基數(shù)為b的集合B的并（A∪B）的基數(shù)。當(dāng)然，要求A∩B是空集。而b+a則指的是一個(gè)基數(shù)為b的集合B與一個(gè)基數(shù)為a的集合A的并（B∪A）的基數(shù)。當(dāng)然，也要求B∩A是空集。簡(jiǎn)單地說，a+b是A∪B的基數(shù)，b+a是B∪A的基數(shù)。由于集合的并滿足交換律，即有A∪B=B∪A，而相同的集合具有相同的基數(shù)，于是a+b=b+a。

同樣，由于集合的并滿足結(jié)合律，即（A∪B）∪C= A∪（B∪C），從而有：

加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

值得注意的是，按上面的方式定義了加法，并討論了加法的交換律之后，我們尚且不知道a+b+c是什么意思（別覺得奇怪，想想，加法定義不是只定義了a+b這樣兩個(gè)相加的情況嗎？或者說，按我們的定義，所謂加法，就是指兩個(gè)數(shù)相加，a+b+c還沒有什么意義）。我們想賦予a+b+c以意義，必須把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)相加的情況，于是至少有兩種方式，一是規(guī)定a+b+c=（a+b）+c，即先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；二是規(guī)定a+b+c=a+（b+c），而加法結(jié)合律則正好告訴我們：不管采用這兩種規(guī)定中的哪一種，最后的和都是一樣的。于是，我們就規(guī)定a+b+c=（a+b）+c。

1這里使用了邏輯推理的法則：“x∈A或x∈B”與“x∈B或x∈A”等價(jià)。這個(gè)推理法則是數(shù)理邏輯命題演算的公理?？蓞⒁娪嘘P(guān)數(shù)理邏輯書籍。