高迎 石夫磊

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淺談選擇公理及其等價命題

高迎 石夫磊

首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)信息學(xué)院，北京 100070

對選擇公理的背景知識及其在數(shù)學(xué)中的地位與作用以及若干等價命題作了比較系統(tǒng)的論述．

選擇公理；集合；函數(shù)；代數(shù)

引言

1904年，策莫羅（E．Zermelo）最早提出選擇公理：對于任何一個由非空集合所組成的集而言，其必定存在選擇函數(shù)。選擇公理應(yīng)用在幾乎所有的數(shù)學(xué)分支中。可以毫不夸張地說，如果沒有選擇公理，那么數(shù)學(xué)絕對不是今天這個樣子。

1918年，謝賓斯基關(guān)于選擇公理提出了寶貴的意見，他建議數(shù)學(xué)家們研究與其有關(guān)的各種命題的推理強(qiáng)度。后來，隨著研究力度的逐步加大，越來越多的等價形式被數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)[1-2]。

1938年，哥德爾證明了，在系統(tǒng)的每一模型中都存在一個內(nèi)模型，選擇公理以及廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在其上是成立的。哥德爾的貢獻(xiàn)是巨大的，他打消了人們對于選擇公理的疑慮。

1958年，弗蘭科爾曾經(jīng)寫道：“繼歐幾里德之后研究最多的數(shù)學(xué)公理莫過于選擇公理了”。

到1963年，H. 拉賓（H．Rubin）和J. 拉賓兩個人合作，他們一共收集了關(guān)于選擇公理的100多種等價形式。

1 選擇公理的廣泛應(yīng)用

大多數(shù)的代數(shù)學(xué)家以良序定理的形式使用選擇定理是在1935年佐恩發(fā)表它的引理之前，然而，那個時候極大性還是與選擇公理相關(guān)的最主要的代數(shù)概念。跟良序定理差別不大，這一概念也越來越多地被用于代數(shù)學(xué)領(lǐng)域。1918年以后，隨著代數(shù)的抽象化程度越來越高，群論、環(huán)論、布爾代數(shù)以及格論也越來越離不開良序定理，并在線性代數(shù)和域論中發(fā)現(xiàn)了它的新應(yīng)用[3]。

除此之外，選擇公理在其他很多的領(lǐng)域都有著極其廣泛的應(yīng)用。例如，1927年，寇尼利用選擇公理研究并解決了博弈論和地圖染色問題。再比如，1929年，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫證明了所謂的Hahn-Banach定理。然而他在證明當(dāng)中使用的就是良序定理。選擇公理的廣泛應(yīng)用可見一斑。

2 選擇公理及部分等價命題

選擇公理在我們的現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用相當(dāng)廣泛，而且對于整個近代數(shù)學(xué)也具有深遠(yuǎn)而重大的影響，因此，探索研究它的等價形式也一直沒有間斷過，下面我們先看兩個定義。

由此，我們可以敘述以下五個等價命題。

定理2.1 下面列出的五個命題是等價的：

良序定理（Zermelo定理）：對于一個任何集合而言，它一定可以被編成良序集。

選擇公理及部分等價命題證明

證明：為證（1）、（2）、（3）、（4）、（5）互相等價，只需證明，，，，，。

所以有如下結(jié)論

由題意可知，要根據(jù)枚舉定理而去證明 Zorn 引理。為此，我們假設(shè)是一個任意給定的非空偏序集，并且中的任意一個鏈都具有上界.我們需要證明中一定存在極大元.第一，我們根據(jù)枚舉定理可以知道序數(shù)存在而使有，所以根據(jù)良序定理而把中的一切元枚舉如下：

3 結(jié)論與展望

選擇公理其實(shí)是一個頗具爭論的命題，在歷史長河中，很多人提出過質(zhì)疑，但是大多數(shù)數(shù)學(xué)家是接受這一命題的，所以總而言之，關(guān)于這個命題其實(shí)是沒有確定的結(jié)論的，但是，我們可以發(fā)現(xiàn)，它的作用是極其深遠(yuǎn)的，可以從中得出很多有用的結(jié)果，反正使用這條公理是沒有什么邏輯矛盾的。

選擇公理就好像是謎一般的一個命題，雖然表面上看是淺顯易懂的，然而它卻有著相當(dāng)奇妙的功能，甚至我們可以從中得出超乎常理的結(jié)果。有些人相信選擇公理，投贊成的一票，而另外也有一部分人對它抱有懷疑的態(tài)度。關(guān)于選擇公理的研究相信會一直持續(xù)下去[4]。

[1]汪芳庭.公理集論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1995.

[2]蕭文燦.集合論初步[M].北京：商務(wù)印書館，1950.

[3]張錦文.集合論與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)淺說[M].上海：上海教育出版社，1980.

[4]張錦文.集合論淺說[M].北京：科學(xué)出版社，1984.

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1009-6434（2016）03-0063-03