夏福秀

摘 要：幾何推理能力是學(xué)好初中平面幾何的基礎(chǔ)，是養(yǎng)成學(xué)生步步有據(jù)思考習(xí)慣的關(guān)鍵。如何在七年級(jí)初始階段就抓好幾何推理能力的培養(yǎng)呢？本文結(jié)合自己的數(shù)學(xué)課堂，從幾何學(xué)習(xí)的素材、三種語(yǔ)言的互譯談起，進(jìn)而強(qiáng)調(diào)了三種思考方法的推理訓(xùn)練，知識(shí)梳理和規(guī)范化的書寫強(qiáng)化，最后還談到今后學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意的幾個(gè)問題。本文對(duì)于幾何起始課程的教學(xué)有一定的借鑒和啟發(fā)作用。

關(guān)鍵詞：幾何推理能力、素材、語(yǔ)言、推理訓(xùn)練、知識(shí)梳理、規(guī)范書寫

幾何學(xué)習(xí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及推理能力有特殊的作用。幾何教學(xué)，一向都是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，從代數(shù)到幾何的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變是一個(gè)不易的過程。一是研究對(duì)象從數(shù)變?yōu)樾?，二是思維方法從以計(jì)算為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐酝评碚撟C為主，還要學(xué)會(huì)用標(biāo)準(zhǔn)的幾何語(yǔ)言進(jìn)行推理、描述與論證。我們發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生幾何推理能力差，面對(duì)許多不同的證明題束手無(wú)策，極大地影響他們的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和效果。因此，采取切實(shí)有效的措施，幫助學(xué)生尋找證題方法，探求規(guī)律，提高學(xué)生的幾何推理能力，是初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的一個(gè)重要教學(xué)任務(wù)。通過二十余年的教學(xué)實(shí)踐和探索，本人認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生初步的幾何推理能力，應(yīng)從以下幾方面努力：

1 幾何素材，了然于胸

推理論證的過程要符合客觀實(shí)際，論證要有充分的根據(jù)，不能主觀猜想，證明中的每一步推理論證的根據(jù)就是命題中給出的題設(shè)和已證事項(xiàng)，定義、公理和定理。這就要求學(xué)生首先要掌握好最基本的幾何語(yǔ)言材料。掌握好基本的語(yǔ)言材料是“運(yùn)用”的前提。“最基本的幾何語(yǔ)言材料”包括：各種幾何概念、定理；各種幾何符號(hào)；幾何概念、定理的推理格式等。

在教學(xué)概念時(shí)，要讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握定義。教學(xué)定理時(shí)要讓學(xué)生掌握定理的條件和結(jié)論，弄清適用范圍。比如，初一教學(xué)“平行線”概念時(shí)，要準(zhǔn)確呈現(xiàn)定義：“平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線”。要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：（1）在同一平面內(nèi)；（2）兩直線永不相交。又如，教學(xué)全等三角形的判定公理：“三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”，要讓學(xué)生弄清：已知是“三邊對(duì)應(yīng)相等”，結(jié)論是“兩個(gè)三角形全等”。另外，要讓學(xué)生掌握好基本幾何符號(hào)的使用，諸如垂直符號(hào)“⊥”，全等符號(hào)“≌”。

讓學(xué)生掌握單個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)的“推理格式”尤為重要。因?yàn)樗抢斫夂瓦\(yùn)用知識(shí)點(diǎn)的橋梁。其作用表現(xiàn)在：一是強(qiáng)化單個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)的理解；二是規(guī)范推理格式；三是便于單個(gè)知識(shí)點(diǎn)間進(jìn)行“組合”，為進(jìn)行復(fù)雜的邏輯推理打下基礎(chǔ)。因此在教學(xué)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，有必要及時(shí)給學(xué)生“推理格式”的指導(dǎo)和學(xué)習(xí)。

2 夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化互譯

幾何推理包括大前提、小前提和結(jié)論。大前提就是已學(xué)過的幾何定義、定理、公理等，也就是圖形的定義、性質(zhì)、判定等。小前提是指一種特殊的情況，結(jié)論就是得出的結(jié)果。

在幾何教學(xué)中，要高度重視基礎(chǔ)知識(shí)的掌握度。因?yàn)榛A(chǔ)知識(shí)的掌握程度，直接關(guān)系到學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)?；A(chǔ)知識(shí)掌握的好，學(xué)生在幾何推理中就會(huì)得心應(yīng)手，否則的話，學(xué)生將無(wú)從入手。

在幾何教學(xué)中，要強(qiáng)化文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的互譯訓(xùn)練。幾何語(yǔ)言的互譯訓(xùn)練是提高學(xué)生幾何素養(yǎng)的重要途徑。對(duì)于剛學(xué)幾何的學(xué)生，要特別注重加強(qiáng)幾何符號(hào)語(yǔ)言的培養(yǎng)與訓(xùn)練。教學(xué)時(shí)，不僅要求學(xué)生會(huì)用文字語(yǔ)言敘述，還要能正確畫出其對(duì)應(yīng)的圖形，且能熟練的用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)描述。

如文字語(yǔ)言：“在△ABC中，線段AD平分∠BAC.”畫出圖形（如圖）；

符號(hào)語(yǔ)言表示有：

∠DAB=∠DAC= ∠BAC，

∠BAC=2∠DAB=2∠DAC。

3 常見推理，訓(xùn)練到位

推理是根據(jù)已知判斷得出新判斷的思維過程。幾何中命題復(fù)雜，類型繁多，要培養(yǎng)學(xué)生分析與綜合的邏輯推理能力，特別要重視對(duì)問題的分析和推理。幾何推理常見的方法如下：

1、順向推理法：即從已知條件出發(fā)，分析在此條件下會(huì)得到哪些結(jié)論，然后再把這個(gè)結(jié)論作為條件，經(jīng)過分析又能得出哪些結(jié)論，直到所得結(jié)論與要證明的結(jié)論相符為止。例1：

如圖：已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠DCB

求證：BE∥CF

分析：由AB∥ CD可以得出：∠ABC=∠DCB，

又由BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，可以得出

∠EBC=（1/2）∠ABC， ∠FCB= （1/2）∠DCB，

即可得出：∠EBC=∠FCB

則BE∥CF

2、逆向推理法：即從要證明的結(jié)論出發(fā)，分析要得到這個(gè)結(jié)論需要什么樣的條件，然后再把這個(gè)條件作為結(jié)論，分析要得到這個(gè)結(jié)論又需要什么條件，這樣層層推理，直到所需條件與已知條件相吻合。

如圖：已知 平行四邊形 ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，

求證：OA=OC

分析：要證OA=OC，需證△ABO≌△CDO，

而要證△ABO≌△CDO，需要得出∠BAO=∠DCO

或∠ABO=∠CDO及邊AB=CD，這些條件都可以通過平行四邊形的性質(zhì)得到。當(dāng)然此題也可通過證明△AOD≌△COB，道理同上。

3、分析——綜合法。即先順向推理，再逆向推理，或者是先逆向推理再順向推理直到順推（或逆推）的結(jié)論正好是逆推（或順推）的條件時(shí)，解題思路也就水到渠成。

如對(duì)例1，可分析如下：要證BE∥CF，必須得出∠EBC=∠FCB，而這個(gè)條件，又如何得出呢？我們可以回過頭來(lái)，再?gòu)囊阎獥l件出發(fā)，由AB∥ CD可以得出：∠ABC=∠DCB，

又由BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，可以得出

∠EBC=（1/2）∠ABC， ∠FCB= （1/2）∠DCB，

即可得出：∠EBC=∠FCB

4 知識(shí)梳理，精準(zhǔn)及時(shí)

無(wú)論是順推還是逆推還是分析——綜合法，對(duì)于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鏈接能力，都提出了更高的要求。這就要求我們教師在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)于有關(guān)的知識(shí)要做好系統(tǒng)梳理，給學(xué)生一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。例如，常見的證明兩個(gè)角相等的方法有：

（1）對(duì)頂角相等；

（2）垂直定義（只針對(duì)于兩個(gè)角都是直角）；

（3）角平分線的定義；

（4）兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等；

（5）同角或等角的余角或補(bǔ)角相等；

（6）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

（7）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓心角或圓周角相等；……

又如，輔助線的作法應(yīng)用問題。如果有直徑出現(xiàn)，往往構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是直角。過圓心作弦的垂線從而運(yùn)用垂徑定理，有中點(diǎn)出現(xiàn)常構(gòu)造出三角形或梯形的中位線等等。

5 過程清晰，書寫規(guī)范

幾何推理證明的分析和書寫是一個(gè)重要而學(xué)生又難以掌握的過程，它需要教師較長(zhǎng)時(shí)間的引導(dǎo)和幫助，才能逐步形成學(xué)生自己的技能和技巧。對(duì)于初學(xué)幾何的學(xué)生，可用填充形式來(lái)訓(xùn)練學(xué)生證題的書寫格式和邏輯推理過程，使書寫規(guī)范，推理有理有據(jù)，訓(xùn)練的時(shí)間久了，學(xué)生也就在潛移默化中轉(zhuǎn)入了獨(dú)立書寫這樣一個(gè)規(guī)范的過程當(dāng)中。例如：

請(qǐng)?jiān)谙旅骖}目的證明中的括號(hào)內(nèi)，填入適當(dāng)?shù)睦碛伞?/p>

已知，如圖EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。

解：∵EF∥AD，（ ）

∴∠2= （ ）

又∵∠1=∠2，（ ）

∴∠1=∠3，（ ）

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC+ =180 o（ ）

∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= 。

教師在教學(xué)中要反復(fù)強(qiáng)調(diào)這樣一個(gè)模式：要證什么→需要什么→題目有了什么→還缺什么→需補(bǔ)什么，按照這種模式反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生是能夠?qū)W好幾何推理證明的。

6 其他注意事項(xiàng)

1.教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、討論、探究、證明幾個(gè)環(huán)節(jié)，因?yàn)檫@是一個(gè)完整的推理逐步發(fā)展的過程。

2.要提高對(duì)已知條件的分析能力。在實(shí)際教學(xué)中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題時(shí)往往漏掉題中個(gè)別已知條件或不能將已知條件與所學(xué)定理、性質(zhì)相聯(lián)系致使尋找不到解題思路。

3.要注重培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，使學(xué)生善于觀察，探索幾何圖形的各種共性與個(gè)性，分析圖中動(dòng)態(tài)因素，并由這些特性與因素作出推斷，然后進(jìn)一步找出已知與未知之間的聯(lián)系。

4.加強(qiáng)對(duì)幾何題證明的一題多解。培養(yǎng)學(xué)生能從多角度、全方位進(jìn)行思考的意識(shí)與習(xí)慣，開拓幾何證明思路。另外解完題后注意進(jìn)行反思和點(diǎn)評(píng)，是解題思路達(dá)到最優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生思維的簡(jiǎn)潔性的有效方法。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力并非一日之功。初中數(shù)學(xué)教師只有不斷總結(jié)、完善幾何知識(shí)的教學(xué)方法，善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、探索規(guī)律，才能不斷提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，發(fā)展他們的思維能力、推理能力和創(chuàng)造能力；才能全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為今后學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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