馬小然

摘 要：通過(guò)對(duì)波利亞《怎樣解題》這本書(shū)的深入研讀，以讀后感的形式，對(duì)波利亞的“怎樣解題表”進(jìn)行了介紹與分析，最后也介紹了波利亞的“怎樣解題表”在當(dāng)今的發(fā)展情況。

關(guān)鍵詞：怎樣解題表；波利亞；研究成果；發(fā)展

喬治·波利亞（George Polya），是本世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家和偉大的數(shù)學(xué)教育家，他復(fù)興了“探索法”，即數(shù)學(xué)啟發(fā)法，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)問(wèn)題求解（Problem Solving）與合情推理的一個(gè)全新時(shí)代，他的著作已影響了全世界數(shù)以百萬(wàn)計(jì)的數(shù)學(xué)教育工作者。文章對(duì)波利亞最具影響力的著作之一《怎樣解題》作重點(diǎn)介紹，并依據(jù)他的“怎樣解題表”提出自己的見(jiàn)解和看法。

一、波利亞的生平和主要數(shù)學(xué)研究成果

1.波利亞的生平

喬治·波利亞（George Polya），1987年12月13日誕生于布達(dá)佩斯，先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥根廷、巴黎等地求學(xué)。1921年在布達(dá)佩斯的約特沃斯·洛輪德大學(xué)獲哲學(xué)博士學(xué)位，學(xué)位論文的題目是“概率演算中的一些問(wèn)題及其有關(guān)的定積分”。1914年，波利亞接受德國(guó)數(shù)學(xué)家A·胡爾維茨（Hurwitz）的邀請(qǐng)，到蘇黎世的瑞士聯(lián)邦工學(xué)院任教；1920年升為副教授；1928年任教授；1938年任數(shù)理學(xué)院院長(zhǎng)。1940年，由于第二次世界大戰(zhàn)，移居美國(guó)，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授、美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士。1953年，在斯坦福大學(xué)退休。1953年至1956年，他受美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)之邀到過(guò)許多地區(qū)和學(xué)校講課、視察；1963年作為大克利夫蘭（Greater Cleveland）教育研究學(xué)會(huì)的顧問(wèn)，參與課程內(nèi)容的建議，深入調(diào)查，掌握了豐富的現(xiàn)實(shí)材料；1972年，波利亞參加了第2屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育會(huì)議；1980年被選為第4屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)榮譽(yù)主席。1985年9月7日，波利亞在加福尼亞的帕洛阿爾托（Palo Alto）病逝，享年97歲。

2.波利亞的主要數(shù)學(xué)研究成果

（1）概率論

波利亞早期的工作主要涉及幾何概率方面，有人認(rèn)為波利亞是第一個(gè)在論著中使用“中心極限定理”這一術(shù)語(yǔ)的人。波利亞還研究了概率論中的特征函數(shù)，提出所謂的“波利亞準(zhǔn)則”。他的一個(gè)典型例子是——罐子模型（the Polya urn sche-me），而他對(duì)概率論最重要的貢獻(xiàn)是他在1921年發(fā)表的有關(guān)隨機(jī)游動(dòng)的論文。他首創(chuàng)了術(shù)語(yǔ)“隨機(jī)游動(dòng)”（random walk）。

（2）函數(shù)論

雖然波利亞在概率方面有引人注目的成就，但他最深?yuàn)W、最艱難的工作卻是復(fù)變函數(shù)論，特別是全平面內(nèi)沒(méi)有奇點(diǎn)的單位函數(shù)的研究。在這領(lǐng)域有許多術(shù)語(yǔ)都是以他的名字命名的，如“波利亞峰”“波利亞表示”和“波利亞間隙定理”等。

在1957年，波利亞和舍恩伯格提出了一個(gè)有關(guān)冪級(jí)數(shù)的猜想：“能夠?qū)挝粓A映入凸區(qū)域的兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的阿達(dá)馬積，仍是一個(gè)具有相同性質(zhì)的冪級(jí)數(shù)。”這被稱(chēng)為波利亞-舍恩伯格猜想，后來(lái)被德國(guó)維爾茨堡的S.路什科威（Ruscheweyh）和英國(guó)約克的T.小希爾（Sheil-small）合作證明。在1919年的論文中，他還提出了一個(gè)猜想，被稱(chēng)為波利亞猜想，后來(lái)被證明不成立，可他卻導(dǎo)致了統(tǒng)計(jì)方法的重大進(jìn)展。

（3）組合數(shù)學(xué)

波利亞給出了同分異構(gòu)體的普遍適用的一般計(jì)數(shù)方法。他在這方面發(fā)現(xiàn)的主要定理現(xiàn)已被稱(chēng)為“波利亞計(jì)數(shù)定理”（Polyas enumeration theorem），被寫(xiě)入了組合數(shù)學(xué)教材中。

（4）等周問(wèn)題

在1945年統(tǒng)一解決了各種特征值的等周不等式以及特征值的估計(jì)問(wèn)題。

（5）幾何與數(shù)論

早在1913年，波利亞就證明了一個(gè)重要結(jié)論：“一條皮亞諾（Peano）曲線，它通過(guò)一個(gè)區(qū)域的每一個(gè)點(diǎn)至多三次?！北娝苤?，這樣的曲線必須有至少三個(gè)重點(diǎn)，但波利亞證明了，這樣的曲線不必須有更高重?cái)?shù)的點(diǎn)。

二、解讀“怎樣解題表”

1.簡(jiǎn)介“怎樣解題表”

《怎樣解題》這本書(shū)是圍繞“怎樣解題表”來(lái)寫(xiě)的，而“怎樣解題表”是由多個(gè)帶有啟發(fā)性的問(wèn)題與五點(diǎn)建議構(gòu)成的，對(duì)于以上問(wèn)題與建議的描述類(lèi)似于解決問(wèn)題思維過(guò)程的“慢鏡頭”，能夠讓別人對(duì)解題的具體思維過(guò)程進(jìn)一步明確。波利亞的“怎樣解題表”具體步驟如下：

第一步：首先將具體問(wèn)題搞清楚，即明確問(wèn)題。首先了解未知數(shù)指的什么？明確已知數(shù)據(jù)與相關(guān)條件，弄清楚是否能夠滿足條件？如果將未知數(shù)確定了，能否得到充分的條件？或者確定條件是否是多余的、矛盾的或者是不夠充分的。根據(jù)以上思維過(guò)程，用圖表示出來(lái)，并將相應(yīng)的符合引入進(jìn)來(lái)。將各相關(guān)條件分開(kāi)后，是否能夠?qū)⑵溆谜Z(yǔ)言表述出來(lái)？

第二步：將已知數(shù)與未知數(shù)的關(guān)系確定。若難以將兩者的直接關(guān)系確定，那么就需要對(duì)輔助問(wèn)題列入考慮范圍。此時(shí)便可獲得求解計(jì)劃，即擬定計(jì)劃。你是否曾經(jīng)碰到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題？你是否曾經(jīng)碰到過(guò)內(nèi)容類(lèi)似但形式不同的問(wèn)題？你是否碰到過(guò)與該問(wèn)題相關(guān)的問(wèn)題？你能否想起能夠解答此問(wèn)題的定理？再次明確未知數(shù)，并嘗試回想以往碰到過(guò)的類(lèi)似問(wèn)題中的未知數(shù)或類(lèi)似未知數(shù)。你面前有一個(gè)與此問(wèn)題相關(guān)的且已經(jīng)得到解題答案的問(wèn)題，你能否對(duì)其充分利用起來(lái)，包括利用該問(wèn)題的解題方法、解答結(jié)果？要想充分利用它，需要將哪些輔助元素引入進(jìn)來(lái)？你能否將此問(wèn)題進(jìn)行重新復(fù)述？你能否采用其他方法將其重新復(fù)述？

將思路轉(zhuǎn)回到定義上：如果無(wú)法找到方法來(lái)解決當(dāng)前問(wèn)題，則可以預(yù)先對(duì)類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行解答。你能否想到一個(gè)相對(duì)容易解決的類(lèi)似問(wèn)題？比如普遍性較強(qiáng)的問(wèn)題、相對(duì)特殊的問(wèn)題、類(lèi)比問(wèn)題等。你能將此類(lèi)問(wèn)題的其中某部分進(jìn)行解決嗎？將問(wèn)題中條件的某部分固定，將其余部分刪除，能否進(jìn)一步確定問(wèn)題的未知數(shù)？刪除后對(duì)此問(wèn)題能夠起到怎樣的影響？你能否在問(wèn)題的已知數(shù)據(jù)中得到關(guān)鍵的信息？你還能列出有利于進(jìn)一步確定未知數(shù)的哪些數(shù)據(jù)信息？如果解題需要，你能否將問(wèn)題中的未知數(shù)或數(shù)據(jù)等信息進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整？或者將兩者均進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，是否能夠使未知數(shù)與調(diào)整后的新數(shù)據(jù)相關(guān)性更大？你是否對(duì)問(wèn)題中的所有數(shù)據(jù)均充分利用起來(lái)？你是否對(duì)整個(gè)條件均利用了？你是否對(duì)此問(wèn)題所涉及的所有概念均全面考慮到了？

第三步：將你的計(jì)劃付諸實(shí)踐，即實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。將你以上所有的求解計(jì)劃付諸實(shí)踐，并對(duì)每一步進(jìn)行詳細(xì)檢驗(yàn)。你是否能夠確定該步驟的正確性？你是否能夠?qū)υ摬襟E的正確性給予相關(guān)證明？

第四步：對(duì)問(wèn)題的答案進(jìn)行再次驗(yàn)算，即回顧。你能否對(duì)自己做出的論證進(jìn)行檢驗(yàn)？你是否能夠采用其他方法將問(wèn)題結(jié)果導(dǎo)出？你能夠一眼就能將其認(rèn)出？你能否將此問(wèn)題的結(jié)果或者解題方法轉(zhuǎn)移到對(duì)其他問(wèn)題的解答上？

2.對(duì)“怎樣解題表”的認(rèn)識(shí)

從“怎樣解題表”中我們可以看出，波利亞把數(shù)學(xué)題的求解過(guò)程分為四個(gè)階段。第一階段，對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生明確的認(rèn)識(shí)，明確未知數(shù)；第二階段，了解各個(gè)項(xiàng)之間的聯(lián)系，已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，并把我們的解題思路擬定成一個(gè)計(jì)劃；第三階段，將我們的計(jì)劃付諸實(shí)踐；第四階段，對(duì)以上解答過(guò)程進(jìn)行回顧，進(jìn)行再次驗(yàn)算與討論。細(xì)細(xì)想來(lái)，通常我們?cè)趯?shí)際解答問(wèn)題過(guò)程中，為了獲得問(wèn)題的解答方法，思維中也涉及了以上某些問(wèn)題，只是對(duì)解題思維沒(méi)有進(jìn)一步關(guān)注。而在波利亞的總結(jié)下，對(duì)我們?cè)诮獯饐?wèn)題過(guò)程中所用的思維方式與思維過(guò)程產(chǎn)生強(qiáng)烈的應(yīng)用意識(shí)。如此一來(lái)，一方面，能夠進(jìn)一步提升我們解答問(wèn)題的能力；另一方面，還可以使我們的思維受到良好的訓(xùn)練，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

（1）明確問(wèn)題

波利亞強(qiáng)調(diào)：“回答一個(gè)你尚未弄清楚的問(wèn)題是愚蠢的，去做一件你不愿干的事情是可悲的?！币虼?，我們?nèi)ソ獯鹨粋€(gè)問(wèn)題之前，首先應(yīng)該熟悉這個(gè)問(wèn)題。如何來(lái)熟悉這個(gè)問(wèn)題呢？從問(wèn)題的敘述開(kāi)始，觀察揣摩整個(gè)問(wèn)題，使其清楚而鮮明，并把問(wèn)題牢記在大腦里，直到我們不再看著問(wèn)題，也可以把問(wèn)題重新敘述出來(lái)。而在這張表的一開(kāi)始，波利亞就提出了許多問(wèn)題。如：“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？……”他教我們?nèi)绾蝸?lái)弄清問(wèn)題。

（2）擬定計(jì)劃

這是“怎樣解題表”的主要部分，在這一部分，波利亞主要從聯(lián)想和轉(zhuǎn)換兩個(gè)方面教我們擬定出計(jì)劃。

①聯(lián)想。聯(lián)想是波利亞“怎樣解題表”的核心所在，它能夠?qū)θ说穆?lián)想行為產(chǎn)生啟發(fā)。那么什么是聯(lián)想？我們又應(yīng)該怎樣去聯(lián)想？那就讓我們?cè)俅位仡櫼幌虏ɡ麃啞霸鯓咏忸}表”中的啟發(fā)性問(wèn)題與建議吧：“你是否曾經(jīng)碰到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題？你是否曾經(jīng)碰到過(guò)內(nèi)容類(lèi)似但形式不同的問(wèn)題？你是否碰到過(guò)與該問(wèn)題相關(guān)的問(wèn)題？你能否想起能夠解答此問(wèn)題的定理？再次明確未知數(shù)，并嘗試回想以往碰到過(guò)的類(lèi)似問(wèn)題中的未知數(shù)或類(lèi)似未知數(shù)。你面前有一個(gè)與此問(wèn)題相關(guān)的且已經(jīng)得到解題答案的問(wèn)題，你能否對(duì)其充分利用起來(lái)，包括利用該問(wèn)題的解題方法、解答結(jié)果？要想充分利用它，需要將哪些輔助元素引入進(jìn)來(lái)？你能否將此問(wèn)題進(jìn)行重新復(fù)述？你能否采用其他方法將其重新復(fù)述？……”聯(lián)想不僅是思維的開(kāi)始，而且貫穿于整個(gè)思維過(guò)程中，只有通過(guò)由此及彼、由表及里的廣泛的多層次的聯(lián)想，思維才能一步步深入，最終使問(wèn)題得到解決。這種有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想的方法是我們每位教師都應(yīng)該學(xué)習(xí)的，只有啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生積極思維，廣泛聯(lián)想，由表及里、由淺入深地思考，并不斷總結(jié)和改進(jìn)，才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得最大的收獲。

②轉(zhuǎn)換。這里說(shuō)的轉(zhuǎn)換，就是書(shū)中所說(shuō)的“變化問(wèn)題”“題目變更”，這個(gè)步驟可以充分地表現(xiàn)出解題的過(guò)程，解題的策略和形式都盡可能地表達(dá)清晰，并合理地運(yùn)用到了教學(xué)實(shí)踐中。波利亞強(qiáng)調(diào)：“解題中的成功有賴于選擇正確的方面，有賴于從好接近的一側(cè)攻擊堡壘。為了找出哪個(gè)方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn)，我們變化問(wèn)題。”在波利亞的“怎樣解題表”中，提出促使我們進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換的多個(gè)啟發(fā)式問(wèn)句或建議，將當(dāng)前問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)似問(wèn)題或已經(jīng)獲得解題答案的問(wèn)題，對(duì)相類(lèi)似的問(wèn)題充分考慮，首先解決普遍性較強(qiáng)的問(wèn)題、相對(duì)特殊的問(wèn)題或類(lèi)比問(wèn)題。以上啟發(fā)性問(wèn)題均涉及當(dāng)前問(wèn)題的轉(zhuǎn)換。“如果不‘變化問(wèn)題我們幾乎不能有什么進(jìn)展”——這就是波利亞的結(jié)論。

（3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的環(huán)節(jié)，它對(duì)解題者的耐心具有極高的要求。在計(jì)劃的擬定階段，首先需要列出一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題大綱，而在計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)階段，則應(yīng)對(duì)每一個(gè)解題細(xì)節(jié)進(jìn)一步充實(shí)，并對(duì)每一個(gè)解題細(xì)節(jié)進(jìn)行耐心對(duì)比、檢查，直到?jīng)]有其他隱藏的含糊問(wèn)題為止。

（4）回顧

很多時(shí)候，我們解答完某一問(wèn)題，得到論證結(jié)果后，通常不進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證就著急寫(xiě)下答案。此時(shí)，我們很容易將解答問(wèn)題的最后一個(gè)重要步驟忽略，也就是回顧環(huán)節(jié)。通過(guò)此環(huán)節(jié)，我們對(duì)當(dāng)前問(wèn)題的思維過(guò)程進(jìn)行有效重復(fù)，并對(duì)問(wèn)題結(jié)果進(jìn)行重新考慮與驗(yàn)證，不但可以鞏固這方面的知識(shí)，還可以提高我們的解題能力，特別是當(dāng)我們的論證冗長(zhǎng)而復(fù)雜的時(shí)候更是如此。

在“怎樣解題表”中，波利亞給出了許多指引我們回顧問(wèn)題的問(wèn)句和建議：“你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出它來(lái)？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？……”這些都是幫助我們回顧問(wèn)題的非常好的向?qū)А?/p>

三、“怎樣解題表”的發(fā)展

近十幾年來(lái)，通過(guò)不斷的反思和對(duì)解題活動(dòng)的深入研究，“問(wèn)題解決”和“數(shù)學(xué)思維”已經(jīng)取得了全新的進(jìn)展，中國(guó)式的“問(wèn)題解決”也逐漸形成，這些都已成為波利亞的超越。

中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)一直以來(lái)對(duì)解題訓(xùn)練和解題研究均非常重視。在20世紀(jì)80年代的教育教學(xué)觀點(diǎn)中，美國(guó)的“問(wèn)題解決”影響力越來(lái)越大，很多教育學(xué)者分析并利用到教學(xué)實(shí)踐中。波利亞的解題方式成為教育世界中的重要指導(dǎo)思路，很多學(xué)者為此專(zhuān)門(mén)成立了教育小組和開(kāi)展各種學(xué)術(shù)研討。20世紀(jì)90年代，張奠宙教授組織了“數(shù)學(xué)教育高級(jí)研討班”，并提出“提倡問(wèn)題解決”作為促進(jìn)中國(guó)教學(xué)教育改革“突破口”的設(shè)計(jì)。“怎樣解題表”在我國(guó)的廣泛傳播，有力地推動(dòng)了中國(guó)特色解題研究，并逐漸形成“中國(guó)的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”特色。其具體表現(xiàn)如下：重視數(shù)學(xué)解題思路的過(guò)程性；注重?cái)?shù)學(xué)的解題方式與研究方法；利用解題的策略性研究；應(yīng)用問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究；將情景解題、開(kāi)放性試題進(jìn)行合理運(yùn)用；提倡探究性學(xué)習(xí)，進(jìn)行“問(wèn)題教學(xué)”“情景教學(xué)”和“開(kāi)放性教學(xué)”。

參考文獻(xiàn)：

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