☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學李莎莉

復習課要有“復習味”
——以“一元二次方程根的判別式”復習為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學李莎莉

根據(jù)教學內(nèi)容的不同，我們常將數(shù)學課分為新授課、復習課、試卷講評課和練習課.初中階段，復習課是僅次于新授課的一種課型，到了初三下學期，復習課更是成為了“主打”課型.為幫助學生獲取中考的最大利益，中考前夕，幾乎所有的學校都會安排較長的時間集中復習.在這一階段，復習課的主要任務就是幫助學生將已經(jīng)遺忘的知識喚醒，培養(yǎng)他們應用數(shù)學知識分析問題與解決問題的能力.顯然，復習課主要是重復“學生學過的知識”，加深學生對這些知識的印象，使其在腦海中留存更長的時間.然而，在近期的一次隨堂聽課中，一位老師將“一元二次方程根的判別式”復習課上出了濃濃的“新授味”，偏離了復習的主旨，耗時不少，復習成效卻并不好.現(xiàn)結(jié)合這節(jié)課的“前半段”及對此的優(yōu)化談談筆者的感悟，希望能給你帶來一些啟示.

一、教學片斷及簡析

1.教學片斷

投影三個方程如下：

（1）2x2-3x=0；

（2）3x2-2x+1=0；

（3）4x2+x+1=0.

教師：這三個方程有什么共同特征？

學生（齊）：都是一元二次方程.

教師：對！一元二次方程的一般形式是什么？

學生1：ax2+bx+c=0（a≠0）.

教師：你能說出這三個方程中a、b、c的取值分別是多少嗎？

學生2：方程（1）中，a=2，b=-3，c=0.

學生3：方程（2）中，a=3，b=-2，c=1.

學生4：方程（2）中，a=4，b=1，c=1.

教師：很好！這些方程都有解嗎？

一些學生開始動筆求解.

教師：如果不解這三個方程，你能判斷它們解的情況嗎？

學生（齊）：能！

教師：根據(jù)什么來判斷呢？

學生5：根的判別式Δ=b2-4ac.

（教師板書：Δ=b2-4ac）

教師：好的！接下來，請自己先判斷一下，然后將結(jié)果在小組中交流一下.

學生活動：自主判斷方程根的情況，并將判斷的結(jié)果在小組中交流.

5分鐘后，教師組織學生開展交流.

學生5：方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根.

教師：你是怎么判斷的？

學生6：利用根的判別式，Δ=（-3）2-4×2×0=9＞0，所以這個方程有兩個不相等的實數(shù)根.

教師：據(jù)此，我們可以歸納：當b2-4ac＞0時，方程ax2+ bx+c=0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根.（教師板書）

學生7：在方程（2）中，Δ=（-2）2-4×3×1=0，所以方程（2）應該有兩個相等的實數(shù)根.

（教師板書：當b2-4ac=0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根）

學生8：在方程（3）中，Δ=12-4×1×1=-3＜0，所以方程（3）沒有實數(shù)根.

（教師板書：當b2-4ac＜0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數(shù)根）

在經(jīng)歷了近10分鐘的探索與交流后，“根的判別式”的應用要點被教師板書在黑板上.接下來，教學進入典型例題講評環(huán)節(jié).

2.片斷簡析

按照知識梳理的順序，這則片斷可以分為兩個階段：第一階段，歸納給出的三個方程的共同特征，梳理出一元二次方程的一般形式，并剖析每個方程中對應字母a、b、c的取值；第二階段，學生應用根的判別式判斷方程根的情況，教師引導學生歸納出判別式的三個應用要點，并進行板書.整個教學過程，花了近10分鐘的時間，在中考一輪復習中，花這么長時間做“這么一點事”，實在有點不值.首先，一元二次方程的一般形式應該在前面課時中已經(jīng)進行了復習，在這里再拿出來強調(diào)，完全沒有必要；其次，三個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項幾乎一眼就能看穿，讓學生結(jié)合一般形式進行分析實屬多余之舉，吃力不討好；再者，這里給出的三個方程，并不是都需要用到根的判別式來判定根的情況的，比如方程（1），目測可得解為x=0，x=，拿這樣的方程來討論根的情況，要么是低估了學生的能力，要么是低估了根的判別式的價值；最后，基礎(chǔ)掃描環(huán)節(jié)，應該側(cè)重于知識的應用，而非知識點的歸納，我們應在教學中讓學生說說怎么用這個知識的，上面的教學片段中，教師則側(cè)重于從題目歸納出知識點，有點本末倒置的味道，何況，學生對根的判別式有著較為深刻的認知，幾乎每位學生都能準確地說出根的判別式的應用點.因此，不管是從教學時間的損耗上，還是從教學成效上看，教師的板書價值都不大.投影的快速展示，可能比教師的“一筆一畫”要來得有效.

二、優(yōu)化設(shè)計及意圖

（一）優(yōu)化設(shè)計

1.例題設(shè)計

例1下列一元二次方程中有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）.

A.2x2-x+1=0B.x2+2x-19=0

C.4x2-4x+1=0D.x2+x+1=0

例2關(guān)于x的方程kx2-4x-=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是__________.

例3若關(guān)于x的方程x2-2x+kb+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖像可能是圖1中的（）.

圖1

2.教學過程設(shè)計

學生自主解答，然后在學習小組中交流解題的結(jié)果、所用到的知識和解題的注意點.接下來，教師組織學生進行全班交流，結(jié)合具體的題目剖析一元二次方程根的判別式的應用價值.對于例2和例3這些具有一定的綜合性的問題，我們將會做具體詳細的解題思路的分析，明確一元二次方程根的判別式在什么時間上、以什么方式進入到解題過程中，以及在解題過程中發(fā)揮怎樣的作用，從而使學生將這一知識與其他數(shù)學知識“捆綁”在一起，不再孤立看待.

（二）設(shè)計意圖

中考前的復習，時間緊，任務重.我們的教學，絕不能停留在“過去的知識簡單重復講”的境地，必須要對課堂教學的內(nèi)容進行整合，要重點關(guān)注數(shù)學基礎(chǔ)知識在應用上的創(chuàng)新.在例題的選擇與設(shè)計上，要將單一知識置于整個數(shù)學知識系統(tǒng)去觀察分析它的價值，從學生分析問題和解決問題的能力上優(yōu)化提升的角度，去選擇和設(shè)計具有一定綜合性的數(shù)學問題作為例題.上面的三道例題，都具有一定的綜合性，例1是一元二次方程根的判別式自身的綜合，這里出現(xiàn)的四個方程囊括了這一知識的三個常見應用點；例2是一元二次方程根的判別式與一元一次方程的解的綜合，解題必須用到分類討論思想，這讓例題的難度得到了一定的提升；例3是一元二次方程根的判別式和一次函數(shù)圖像的綜合，通過判別式的應用可以得出k、b的符號，進而對各個圖像進行判斷，數(shù)與形的結(jié)合讓例題教學不再是在單一的知識上行進.

接下來說說教學過程的設(shè)計，學生先進行自主解答，這是他們頭腦內(nèi)進行的“自覺的革命”，沒有任何“外力”的干擾，知識的提取與應用都成為學生自己的事情，這是完全符合中考要求的，也是我們?nèi)粘＝虒W必須堅持的.至于后續(xù)的交流，無論是小組內(nèi)的，還是全班的，都只是讓學生知曉自己思考的結(jié)果對與錯，以及思維過程的成與敗，教師的適度引導和學生間的互助，將會有力地推動學生的思維能力和解題能力不斷提升.

三、幾點思考

1.“碎片化”復習打斷了學生思維的連續(xù)性

無論是獲取新知，還是解答例題，教師都應給予學生獨立思維的時間和空間.數(shù)學問題的解決，有時需要合作，但在當下這種教學與考試體制下，更多的還是需要學生的獨立思考.走進考場，誰都不可以替代孩子們?nèi)ニ伎?，去解題.所以，數(shù)學課，尤其是中考前的復習課，應將更多的時間留給學生去回憶、去思考、去解題、去整理、去完善.我們絕不能，也不應該將學生的思維活動進行碎片化處理，通過有一搭無一搭的對話來替代學生思考，以教師引領(lǐng)、優(yōu)生幫忙、軟件演示的方式替代每一名學生思考，這不僅是復習課不能出現(xiàn)，恐怕新授課也不能出現(xiàn).上面的教學片斷中，教師的用心是良苦的，他自始至終牢牢掌控著學生思維的進程，沒有容許學生出現(xiàn)一點出格的思維或想法，甚至連“（1）2x2-3x＝0”這樣一個完全可以直接解就能發(fā)現(xiàn)解的情形的方程，也要引導學生從根的判別式角度給出解題過程.為了將課時復習主線凸顯出來，這位教師是動了心思的，然而，這樣的教學對學生的成長是不利的，尤其不利于學生思維的可持續(xù)發(fā)展.在問題解決過程中，學生的思維是延續(xù)的，而教師采用的這種分段式教學，讓學生分段感知一元二次方程的這些基礎(chǔ)知識，從一般形式，到各項系數(shù)，再到判別式，最后到應用，每一次成果的展示都切斷了學生的思維，讓學生停下來，享受著教師總結(jié)出的豐碩成果.聽課過程中，就一個感覺，學生學得累，教師教得更累，這樣的片斷式教學，還是整合一下，批量教學呈現(xiàn)的效果可能會更好！

2.“新授式”板書延緩了數(shù)學知識的網(wǎng)絡化

板書是課堂教學的重要組成部分，不同的課型教學的重心不同，板書也應有著較大的差異.新授課應側(cè)重于課時核心知識的展示，板書的最大作用是將抽象歸納出結(jié)論，力求共享；復習課應重在多種數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)，要關(guān)注知識“單體”的板書，更要關(guān)注知識“單體”之間的聯(lián)系，以便形成網(wǎng)絡化知識體系.顯而易見，新授課的板書應該有新授課的特點，復習課板書也就應該有復習課的特點.我們絕不可以用新授課的板書來代替復習課的板書.在我們的復習課上，要力圖通過箭頭、連線、框格等將知識“單體”鏈接起來，形成彼此關(guān)聯(lián)的、有效的知識網(wǎng)絡.在上面的教學片斷中，教師過于重視知識“單體”的呈現(xiàn)，先后將一元二次方程根的判別式的三個應用點完整地書寫在黑板上，占了半面黑板，給其他的與本課有關(guān)聯(lián)的知識留下了極小的版面.在教師接下來的教學中，筆者發(fā)現(xiàn)他并沒有形成知識網(wǎng)絡的意識，一節(jié)課結(jié)束，黑板上除了學生板書的過程，就留下了開頭板書的幾個知識點.很顯然，教師所用的就是新授式板書，他仍然是將知識“單體”作為教學的重點在加以回顧，對該知識與其他知識間的關(guān)聯(lián)視而不見，這將大大延緩數(shù)學知識的“網(wǎng)絡化”進程.而筆者所進行的優(yōu)化，則將很多與本節(jié)課有關(guān)聯(lián)的知識推上了教學的“前臺”，在例1到例3的解答與交流中，我們不僅要板書一元二次方程的根的判別式，還要將其他與此有關(guān)聯(lián)的知識一并板書.當教學進入小結(jié)提升環(huán)節(jié)時，原本孤立的知識通過帶箭頭和不帶箭頭兩種線串在一起，知識“單體”被緊密鏈接在一起，至此，一幅能夠引發(fā)學生產(chǎn)生定向聯(lián)想的知識結(jié)構(gòu)圖已經(jīng)成形.

3.“綜合性”設(shè)例凸顯了數(shù)學知識的整體性

不管是新授課，還是復習課，數(shù)學知識都是教學的主要內(nèi)容.而對數(shù)學知識的教學，我們應該把每一個知識都置于整體知識的體系中，要努力“引導學生感受數(shù)學的整體性”.就以本文所說的復習課為例，單一的知識我們在新授學習中已經(jīng)獲得了，而且絕大多數(shù)同學掌握得比較好，此時，我們就沒有必要再在每個個體上花太多時間和精力，要從整體的角度選擇一些融合了多種數(shù)學知識的問題作為教學的例題，并以例題的解答和交流來引導學生完成數(shù)學知識的梳理，讓那些原本隱藏著的知識“銜接點”暴露出來，真真正正地成為學生分析問題和解決問題的重要“抓手”.當然，這需要教師充分理解即將復習的內(nèi)容，知曉這一內(nèi)容與其他知識之間有著怎樣的聯(lián)系，至少這些聯(lián)系之間的“親疏遠近”，最終篩選出聯(lián)系最緊密的、在中考中出現(xiàn)次數(shù)多的、能夠在課堂上讓學生順利產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的知識，這就是接下來選題的方向.茫茫題海，有了方向，我們就可以做出相應的選擇，有原題可以選擇原題.如果沒有適合的原題，我們就改編，從加強知識的縱橫聯(lián)系的角度，將所選擇的知識點巧妙地融合到設(shè)計的例題中，以求實現(xiàn)“解一題，會一類，通一片”的復習目標.這就是筆者選擇例1至例3作為教學例題的原因所在，為了規(guī)避“簡單化”復習帶來的“知識牢牢記住，能力一帶而過”的現(xiàn)象，我們不僅重視例題設(shè)計的綜合性，還重視教學過程的綜合性，我們將學生獨立思考、小組合作交流、教師引領(lǐng)展示都融合到例題教學過程之中，使例題教學成為一個多人參與、多元互動的立體化教學體系，學生收獲知識是我們的期待，但我們更期待通過復習能全面提升學生分析問題和解決問題的能力，只有這個目標實現(xiàn)了，我們的復習才是真正有效的.H