劉自強

在小學數(shù)學教學中，常有一些疑難問題會引起教師的爭議、困惑。比如：對一些數(shù)學概念的理解與把握等知識性問題;對不同年段、學段教學要求的“度”的把握等技術性問題;對教師教學語言、學生作業(yè)格式的要求等規(guī)范性問題;因教學的階段要求以及學科概念與生活用語習慣混淆而引起的差異性問題，等等。這些問題往往在學生答題或質疑時產生，教師卻難以給出明確回答，甚至在同行之間引發(fā)爭議，時常辯論不休，但又莫衷一是，成為長期困擾一線教師的“沉疴痼疾”。國內教育教學刊物上雖然有過一些相關具體問題的探討，但多是零散討論，就題論題，沒能從根本上提高教師的分析、辨別能力。

針對上述問題，福州市小學數(shù)學學科教研工作室從為教研服務的立場出發(fā)，將此作為一個課題，向一線教師廣泛征集疑難爭議問題，并組織教研力量進行深入研究，力圖給出較為規(guī)范、有根據(jù)的回答。在此基礎上，我們還通過適當分類，歸納形成了解決類似問題的一些基本方法、策略或原則。以下通過舉例說明，與一線教師共享，希望有助于大家據(jù)此對有關問題進行分析，作出正確判斷。

一、登高望遠，準確把握數(shù)學知識

從教師自身來看，很多爭議是由于教師自身數(shù)學本體性知識的缺陷，對數(shù)學概念的本質及其產生的背景缺乏深刻的把握，以及小學教師職業(yè)帶來的思維“童化”——即伴隨著體驗兒童認知特點的過程，引起數(shù)學思維的退化現(xiàn)象。

問題1 三角形能叫三邊形嗎？反之，多邊形為什么不叫多角形？

簡答：在數(shù)學上，多邊形是用它的邊（線段）來定義的，其定義過程的邏輯順序是：

線段→折線→封閉折線→平面折線→多邊形→n邊形

所以，稱“多邊形”符合它的概念定義特征。另外，組成幾何體的基本元素是點、線、面，用“×邊形”“×面體”來命名相關幾何形體也更顯得簡潔、一致。

三角形的定義也是如此：“由三條線段首尾順次連接所組成的圖形……”按理叫它“三邊形”也無不可。

但是，雖然數(shù)學概念的定義要基于它的本質屬性，而它的命名卻既有一定的合理性（能刻畫概念特征，簡潔、系統(tǒng)），也有一定的偶然性（先入為主，沿用生活概念，約定俗成）。

采用“多邊形”命名主要源于前一種因素。其實類似于三角形，生活中人們通常稱四邊形、六邊形為“四角形”“六角形”?！吨袑W數(shù)學教師手冊》中就有“……多邊形，又叫多角形”的表述和“多角形，即多邊形”的解釋，可見兩種命名均可，但n≥4時，數(shù)學上習慣稱之為“n邊形”。

至于n=3時，數(shù)學上不采用“三邊形”這個名稱，更多的還是因為現(xiàn)實生活的約定俗成因素，即“三角形”名稱在生活中對人們的影響更強，所以《中學數(shù)學教師手冊》中特別指出：“……當n=3時，習慣上稱為三角形，而不說三邊形?！?/p>

所以，如果有學生質疑，可以告訴他：叫“三邊形”有道理，但是數(shù)學上尊重約定俗成。

由此引申到：課堂教學中讓小學生給數(shù)學概念“起名字”是否有意義？——我們認為，關鍵要看是否指向數(shù)學本質，引導學生關注概念的特征（本質屬性）。比如：有的老師在給三角形分類時，讓學生給各類三角形起名字，由此引導學生去關注各類三角形的不同特點，顯然很有意義。但如果只是形式上想體現(xiàn)讓學生“自主”，那就大可不必了。

問題2 “平角是一條直線”，“周角是一條射線”，對嗎？0°角與周角有什么區(qū)別？

簡答：新教材對角的定義是：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形。所以，我們要明確：角的圖形包括一個頂點、兩條邊以及它們叉開（旋轉過）的角度。那么：

（1）平角是一條射線（始邊）繞它的端點旋轉180度，使終邊和始邊在同一條直線上，方向相反時，所構成的圖形。它的要素包括：一個頂點，兩條邊以及一邊轉過的角度。平角是可以測量的，它等于180度。而直線是沒有端點、無限長、不可測量、沒有角度的。

可見平角與直線是不同的概念，平角不是一條直線，但是我們可以說“平角的兩邊在同一條直線上”。

（2）由上可知，一個角一定有一條始邊和一條終邊，看一個角不能只看終邊或只看始邊。所以，周角不是一條射線，而是射線繞它的端點旋轉360度后所成的圖形，這時它的兩條邊重合。0°角（也稱零角）同樣要看作是兩條邊重合，因此不能認為是一條射線。零度角與周角的區(qū)別在于：零度角的邊沒有轉動。

可見，對于這類問題，教師自身要加強學習，努力提升學科本體知識水平，從更高的視角來分析、把握有關知識，才能撥開迷霧見真理。

二、階段區(qū)別，關注知識后續(xù)發(fā)展

數(shù)學知識是一個系統(tǒng)的整體，但很多數(shù)學內容在小學是分階段、由低到高、螺旋上升編排的，往往在一個階段內只學習某一知識的一部分，在后續(xù)的教學中再逐步加深和拓寬。這就給一線教師的教學及評價帶來了“如何把握教學要求的度”的問題。

問題3 二年級上學期教學《角的初步認識》時，認識銳角和鈍角，是以直角為標準，說“銳角比直角小”“鈍角比直角大”。加上“大于0度”“比平角小”這樣的補充說明，是不是更嚴謹？

簡答：這是關于整體認識和階段把握的問題。新課標第一學段要求：結合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。即只要學生能從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征，以及根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。由于二年級學生還沒有學習有關角的度量的知識，所以此時只要學生能把一個角與直角進行比較，知道它是哪一種角即可。

第二學段要求：知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的關系。因此，到了四年級上學期學習“角的分類”時，在學習了“角的度量”的基礎上進一步認識銳角和鈍角，這時才可以要求學生根據(jù)角的度數(shù)來區(qū)分銳角和鈍角，明確鈍角大于直角而小于平角，銳角小于直角。

由于小學生直觀感知的角是有公共端點的兩條射線組成的圖形，所以不宜介入“零度角”這個概念，此時研究零度角也沒有意義。而且，認識周角時還是以直觀演示的方式來突破“兩邊重合”這個難點，添上零度角只會給學生增添無謂的干擾。

問題4 數(shù)平行四邊形個數(shù)時要不要包括長方形？

簡答：這個問題要分學段來看。根據(jù)新課標，第一學段對平行四邊形的學習要求為“能辨認”“會（用它）拼圖”，都是直觀層面的;第二學段才要求“認識”，即會描述其特征以及與相關對象間的區(qū)別和聯(lián)系。可見，在第二學段學習了平行四邊形與長方形（正方形）的關系之后，數(shù)平行四邊形個數(shù)時要包括長方形（同樣，數(shù)長方形個數(shù)時要包括正方形），而在第一學段則不應要求學生做這樣的聯(lián)系。

但也有這樣的個例：一名三年級學生在數(shù)平行四邊形個數(shù)時包括了長方形，他說：“爸爸告訴我，長方形也是平行四邊形。”我們認為，個別學生在數(shù)學上的這種不同發(fā)展，是應該允許和肯定的，這樣更有利于學生的后續(xù)學習。

所以，對于不同階段學習要求上的差異，我們既要認真鉆研新課標和教材，從總體上把握好“度”，也要注意對特殊情況的妥善處理，使之更有利于后續(xù)學習的銜接。為此，在評價方面可以靈活掌握，但不必鼓勵所有學生都達到那樣超前的認識。

三、恰當規(guī)范，著重基于數(shù)學本質

為了便于數(shù)學學習、交流和運用，數(shù)學教學中有許多格式等方面的標準要求，我們不妨統(tǒng)稱為“規(guī)范”。由于各種原因，這些規(guī)范在給數(shù)學教學和評價提供方便的同時，也帶來了一些爭議和不必要的麻煩。對此，我們必須明確：嚴謹是數(shù)學的特征之一，所以“規(guī)范”是必要的，它有利于促進學生的邏輯思維發(fā)展和培養(yǎng)學生良好的學習習慣。其次，我們認為數(shù)學學習主要追求的是數(shù)學的本質，而非形式，所以“規(guī)范”不應是生硬和一成不變的。從一些數(shù)學規(guī)定不斷被優(yōu)化、簡化的歷史發(fā)展過程，可以看出數(shù)學也是在動態(tài)發(fā)展的。在小學數(shù)學教學中，我們要基于數(shù)學的本質來看待規(guī)范要求，使“規(guī)范”與“寬容”相輔相成，更好地促進學生發(fā)展。

問題5 在解答如：“媽媽買了15個蘋果，吃了8個，還剩幾個？”這樣“已知總體求部分”的問題時，學生列成加法算式“8+7=15”是否可以？

簡答：低年級學生受“想加算減”習慣的影響，常常會經歷這樣一個過程，但是對這種做法不應鼓勵，否則將不利于減法概念的建立，也不利于逆向思維的培養(yǎng)。

遇到這種情況，教師應讓學生認識到解題的基本規(guī)范，那就是：算出的答案必須是題目所要求的。同時，可以引導他們先將所求用括號表示：（ ）+8=15，然后根據(jù)逆運算關系列出減法算式，這樣更能體現(xiàn)對學生思維過程的引導。

問題6 對于“怎樣簡便就怎樣算”這類題目，解題時有什么具體要求？

簡答：計算是比較主觀的過程，肯定應該允許學生存在各自的差異性。從這個意義上說，學生根據(jù)自己的計算習慣靈活選擇的算法、順序，只要正確都是可以的。

但是，教學中教師也必須和學生達成評價共識，從更寬闊的視野予以規(guī)范要求。那就是“簡便”應當表現(xiàn)為：（1）符合運算法則和運算定律;（2）便于口算或簡化計算過程。例如：計算125×88，可以有125×8×11，125×80+125×8，125×11×8等不同的計算過程轉化。其中第三種先算“125×11”這一步，對于個別人也許覺得簡便，但顯然沒有普遍性。前兩種都是先轉化成能口算出整十整百的數(shù)，對所有人來說都簡便。作為平時練習，應該要有這樣的引導，讓學生自覺地對計算式題進行分析，選擇較簡便的計算過程，還可以設計較大數(shù)字，凸顯簡便計算的好處，引導學生形成自覺運用有關定律、性質進行簡便計算的意識，提高運算能力。但在考查時，則可適當?shù)胤艑捯螅o學生更多的靈活性。

除了可以定論的規(guī)范要求之外，更多的是一些介于黑白之間的“灰色區(qū)域”，似乎是A面、B面都有道理，這種情況下只要不會傷及數(shù)學的本質，我們就應采取寬容的態(tài)度，不要用太多人為“規(guī)矩”框住學生，影響他的數(shù)學思考。也就是說，對于規(guī)范要求問題，應本著：

確實需要規(guī)范的，平時教學要從嚴;應該規(guī)范但無礙數(shù)學本質的，考試評價可從寬。

四、嚴謹命題，聯(lián)系實際避免歧義

教學中很多爭議往往是從對學生答題的評價過程產生的。除了上述各種情況外，有相當部分是由于題目設計時表述不夠嚴謹，條件限定不夠明確，或者由于題目情境聯(lián)系生活實際時，數(shù)學語言與生活語言的差異造成的。

例如：判斷題“正方體的6個面都是長方形”雖然是真命題，但是從試題設計的目的性來看卻是劣質題，劣在其檢測的目的不明確——是要考查學生對正方體概念的理解，還是對正方形和長方形關系的把握？不如改成：（判斷題）“有兩個面是正方形的長方體一定是正方體”或“有兩個相鄰的面是正方形的長方體一定是正方體”，這樣檢測目的明確，既無歧義，又有思維含量，有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力。

可見，設計題目時要仔細斟酌推敲，盡量避免歧義;一旦出現(xiàn)答題爭議，要多從題目自身的嚴謹性上去分析。另外，還要注意數(shù)學學科知識與生活概念、習慣用語之間的差別。

數(shù)學教育的核心在于培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。因此，對教學中存在的疑難、爭議問題的分析，應本著著眼核心目標，以是否關乎數(shù)學本質，是否有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的提升和后續(xù)學習的發(fā)展為準則?；谶@樣的理念，我們就容易作出正確判斷，達成共識。