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        微專題:“圓”中常見定理及常見輔助線

        2016-09-09 05:51:00江蘇江陰市青陽第二中學(xué)孫海峰
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年16期
        關(guān)鍵詞:課堂教學(xué)

        ☉江蘇江陰市青陽第二中學(xué) 孫海峰

        微專題:“圓”中常見定理及常見輔助線

        ☉江蘇江陰市青陽第二中學(xué)孫海峰

        近期,閱讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》(下)刊發(fā)的系列“一題一課”的文章,受益匪淺,恰逢筆者所在學(xué)校大力推行中考復(fù)習(xí)課“微專題”設(shè)計(jì),筆者結(jié)合讀刊心得和自己的教學(xué)實(shí)踐設(shè)計(jì)的“圓中常見定理及常見輔助線”受到驗(yàn)收組專家的一致好評,現(xiàn)成文簡單介紹,并對“微專題”的設(shè)計(jì)思路給出兩點(diǎn)思考,不當(dāng)之處,還請各位專家和同行批評指正.

        “圓”是中考的必考內(nèi)容,也是中學(xué)階段幾何學(xué)習(xí)的核心知識.由于教育部2013年審定的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》刪掉了“圓”中的部分內(nèi)容,只保留了最“母體”的知識和定理:比如垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論、切線的性質(zhì)定理和判定定理、切線長定理等,導(dǎo)致部分一線教師對“圓”這一章內(nèi)容的教學(xué)有所淡化,這是極其嚴(yán)重的錯(cuò)誤;當(dāng)然也出現(xiàn)了一個(gè)更為極端的現(xiàn)象,有的教師把已經(jīng)刪掉的內(nèi)容又搬回了課堂.對于上述兩種極端,在教學(xué)中應(yīng)該引起一線教師的足夠重視.

        一、原題呈現(xiàn)

        如圖1,半圓O的直徑AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,則AD的長為().

        說明:所選試題為2013年四川省內(nèi)江市的一道中考選擇題,題目的題干敘述簡潔,清晰明了,圖形也比較簡單,但是所考查的知識卻幾乎涵蓋與“圓”相關(guān)的所有知識,比如垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論,是一個(gè)不錯(cuò)的題目,符合“好的題目”(章建躍語)的特點(diǎn),重要的是符合“微專題”的“微”這一典型特點(diǎn).

        圖1

        圖2

        二、解法探究

        解法1:連接BD,連接OD和BC交于點(diǎn)E(如圖2).

        因?yàn)锳B是直徑,所以AD⊥BD.

        因?yàn)锳D平分∠BAC,所以點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn).

        根據(jù)垂徑定理可得:E為BC的中點(diǎn),且OD⊥BC.

        因?yàn)锳B是直徑,所以AC⊥BC.又因?yàn)锳B=10cm, AC=6cm,所以BC=8cm,進(jìn)而BE=BC=4cm.

        總結(jié):通過上述求解過程可以看出,整個(gè)求解過程共添加了三條輔助線:連接BD和BC,都是因?yàn)锳B是直徑(直徑所對的圓周角為90°),連接OD,是因?yàn)镈是弧BC的中點(diǎn),是為了構(gòu)造垂徑定理的基本圖形.

        解法2:連接OD,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,過點(diǎn)O 作OF⊥AC,垂足為F(如圖3),則△AFO≌△OED(AAS).

        所以O(shè)E=AF=3cm,DE=OF=4cm.

        在Rt△AED中,AE=AO+OE=8cm,DE=4cm,所以AD=4cm.

        總結(jié):可以看出,不管是方法1還是方法2,都是把AD放在直角三角形中,借助勾股定理的逆定理進(jìn)行求解的.解法2也添加了三條輔助線,其中OF也是為了構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,OD是為了構(gòu)造一條半徑,而DE是為了構(gòu)造直角三角形和全等三角形而添加的.

        圖3

        圖4

        解法3:需要用到角平分線的性質(zhì),在此略去求解過程,只給出添加輔助線后的圖形(如圖4).

        添加的兩條輔助線(由于用到了其他知識,所以輔助線的條數(shù)少了)在解法1中已經(jīng)說明.

        解法4:我們還可以利用高中所學(xué)知識(二倍角公式)來解決上述問題,在此略去.

        下面對上述四種解法,特別是解法1和解法2進(jìn)行簡單的總結(jié),同時(shí)也對這個(gè)微專題給出一個(gè)小結(jié):

        圓中常見的定理  圓中常見的輔助線垂徑定理及其推論  連接圓心和弦的中點(diǎn)圓周角定理及其推論  構(gòu)造直徑所對的圓周角

        說明:對于現(xiàn)行教材中與“圓”相關(guān)的另外兩個(gè)重要定理(切線的判定定理和性質(zhì)定理),在下一個(gè)微專題復(fù)習(xí).

        下面給出一個(gè)對應(yīng)課堂練習(xí):

        如圖5,⊙O是△ABC的外接圓,∠B=60°,⊙O的半徑為4,則AC的長等于().

        圖5

        圖6

        圖7

        下面只給出該題添加輔助線的方式(如圖6和圖7),其中圖6對應(yīng)著圓周角定理及其推論;圖7對應(yīng)著垂徑定理及其推論.

        下面再給出兩個(gè)對應(yīng)的課下練習(xí),主要是為了引出下一個(gè)“微專題——切線的判定定理及性質(zhì)定理”,做到課堂教學(xué)的“承前啟后”.

        題1:如圖8,AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H,過CD延長線上的一點(diǎn)E作⊙O的切線,切點(diǎn)為F.若∠ACF=65°,則∠E=_______.

        題2:如圖9,AB是⊙O的直徑,OD垂直于弦AC于點(diǎn)E,且交⊙O于點(diǎn)D,F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn).若∠CDB= ∠BFD,求證:FD是⊙O的一條切線.

        圖8

        圖9

        三、兩點(diǎn)思考

        1.“微專題”要“微”

        從上述題目的選擇(一道選擇題)就可以看出“微”是其一個(gè)顯著特點(diǎn),切記長篇大論,更不要選擇一個(gè)連讀完題干都要花很長時(shí)間的題目.本題整個(gè)題干僅有十余字,讀來簡潔易懂,不會產(chǎn)生歧義.

        其中,另外一個(gè)“微”體現(xiàn)在“一題一課”上,避免了課堂教學(xué)的“滿堂灌”,一節(jié)課下來,老師講了很多題,不要說理解題意,更不用說會做了,一節(jié)課下來讀完題干都困難.“一題一課”“微專題”是一個(gè)很好的糾偏方法,應(yīng)該大力提倡.

        最后,“微專題”應(yīng)該要做到課堂教學(xué)時(shí)間的把控,最好不要超過15分鐘,時(shí)間過長就違背了“微專題”設(shè)計(jì)的初衷.

        2.“微專題”要“?!?/p>

        “微專題”設(shè)計(jì)的另外一個(gè)顯著特點(diǎn)就是一定要“?!?比如本專題定位于“圓”中重要的定理和常見的輔助線,沒有夾雜過多的教學(xué)目標(biāo),僅僅涉及與“圓”相關(guān)的兩個(gè)重要定理(垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論),顯得很“單純”,符合“追求簡潔”的課堂教學(xué)的理念.

        此外,“微專題”的“?!边€體現(xiàn)在選題的專業(yè)上,所選題目應(yīng)該考查該問題的核心知識點(diǎn),重點(diǎn)突出,所選題目應(yīng)該具有典型性、代表性,同時(shí)具有一定的推廣性,能夠起到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果,使學(xué)生再遇到類似問題的時(shí)候,可以順利求解,起到借鑒的作用.

        四、結(jié)語

        微信、微博到現(xiàn)在席卷教育界的微課,這都體現(xiàn)了信息技術(shù)對我們的生活方式和學(xué)習(xí)方式的改變.作為一線教師,在課堂教學(xué)中,也應(yīng)該做到與時(shí)俱進(jìn),不斷將新的技術(shù)融入到我們的課堂教學(xué)中,開發(fā)出適合當(dāng)下的校本課程.

        我們?yōu)椤拔n}”所作的研究還處于起步階段,歡迎更多的老師參與進(jìn)來,設(shè)計(jì)出更多、更好的典型案例.

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