☉西藏拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)　謝　穎

人教版與北師大版初中數(shù)學(xué)教科書“圖形與幾何”內(nèi)容習(xí)題難度的比較研究

☉西藏拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)謝穎

教科書既是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫的教學(xué)材料，也是教師授課與學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體.而習(xí)題是教材的重要組成部分，習(xí)題的配置在一定程度上反映了數(shù)學(xué)教材編者的價(jià)值取向與編寫風(fēng)格，因此，對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行研究是教材研究的一個(gè)重要方面.自新課程改革以來，“圖形與幾何”內(nèi)容作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的4個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，占有著非常重要的地位.基于此，以我國現(xiàn)行使用的人民教育出版社出版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（以下簡稱“人教版”）與北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（以下簡稱“北師大版”）兩個(gè)版本的教科書為例，通過對(duì)兩個(gè)版本教科書中“圖形與幾何”內(nèi)容的習(xí)題在認(rèn)知水平、習(xí)題背景和習(xí)題要求三個(gè)方面進(jìn)行比較研究，希望能為一線數(shù)學(xué)教師習(xí)題處理提供一些啟示.

一、研究設(shè)計(jì)

二、研究結(jié)果與分析

本研究對(duì)兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的各類習(xí)題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì).由于兩版教科書配置的習(xí)題都有一個(gè)題目中包含多次提問和一個(gè)題目下有若干小題的情況，因此，在對(duì)習(xí)題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)時(shí)，對(duì)于題目里如有多次提問的習(xí)題，根據(jù)習(xí)題性質(zhì)，是否含有并列關(guān)系，若含并列關(guān)系的為兩題，若不含并列關(guān)系，即按一個(gè)題目計(jì)算.根據(jù)習(xí)題的特點(diǎn)，按如下分類進(jìn)行比較.

例如，如圖（圖略），等邊三角形的邊長是6.求：（1）高AD的長；（2）這個(gè)三角形的面積.該題目中有2次提問，但每問均有聯(lián)系不含并列關(guān)系，按1題計(jì)算.又如，（1）等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)角是多少度？（2）等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是多少度？該題目中有2次提問，含有并列關(guān)系，按2題計(jì)算.按此標(biāo)準(zhǔn)分別統(tǒng)計(jì)兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域共有的練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題的數(shù)量及所占比例，結(jié)果如表1所示.

表1　兩版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域習(xí)題總量統(tǒng)計(jì)表

從表1中可以看出，在習(xí)題總量上，北師大版比人教版教科書多122個(gè)題目.但從習(xí)題類型上看，兩版教科書的習(xí)題均分為練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題，人教版中的三類習(xí)題分別占習(xí)題總量的29.7%、47.6%、22.7%；北師大版的三類習(xí)題分別占習(xí)題總量的21.1%、48.0%、30.9%.由此可見，兩版教科書習(xí)題在配置上有明顯差異，人教版中練習(xí)題的數(shù)量比北師大版多，說明人教版注重基礎(chǔ)性習(xí)題，而北師大版中復(fù)習(xí)題的數(shù)量多，說明北師大版更加注重于綜合性較強(qiáng)的習(xí)題.

1.習(xí)題認(rèn)知水平的比較

習(xí)題的認(rèn)知水平（E1），基于教科書中習(xí)題與正文、例題的關(guān)系和相關(guān)已有研究，在分析兩版教科書習(xí)題實(shí)際情況后，將習(xí)題與例題匹配或習(xí)題認(rèn)知要求的內(nèi)涵界定為作答方式、運(yùn)算或推理步驟及解題方法等數(shù)學(xué)特征.本文依據(jù)教科書習(xí)題與例題或示例在這些方面的相似程度，劃分為模仿、遷移和探究三個(gè)水平，其賦值標(biāo)準(zhǔn)界定如表2所示.

表2　習(xí)題認(rèn)知水平的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

在這3個(gè)層次中，水平1為較低認(rèn)知水平，水平2為較高認(rèn)知水平，水平3為高認(rèn)知水平.本文中根據(jù)學(xué)生解答某類習(xí)題所需要達(dá)到的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平層次，對(duì)習(xí)題的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的層次作如下界定.

水平1：模仿，也稱概念、計(jì)算——操作性記憶水平.該層次的習(xí)題是考查學(xué)生對(duì)教科書中概念的理解和簡單的計(jì)算，只需要學(xué)生呈現(xiàn)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)事實(shí)或術(shù)語、基本概念等，能對(duì)概念進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延，并利用概念的定義進(jìn)行簡單的識(shí)別活動(dòng)，要求學(xué)生具備最低層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平就可以完成解答.

水平2：遷移，也稱領(lǐng)會(huì)——說明性理解水平.該層次的習(xí)題所要求的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平超越了前面僅依賴記憶的認(rèn)知水平.解答這類習(xí)題需要學(xué)生徹底理解所提問題的原理和問題中涉及的概念，對(duì)所給信息進(jìn)行篩選、提煉和簡單的推理，使問題得到解決，這不僅需要對(duì)運(yùn)算、概念有徹底的理解，還需要確定題目所給的哪些信息對(duì)解決問題是有用的，包括與例題相近的習(xí)題.

水平3：探究，也稱分析——探究性理解水平.該層次的習(xí)題需要學(xué)生具備高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平.解答這類習(xí)題需要學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，并把分析過程綜合起來，創(chuàng)造性地解決問題.該類習(xí)題學(xué)生之前沒有接觸過或沒有現(xiàn)成的解決方案，包括開放題、探究問題，不同于例題的非常規(guī)問題等.

基于此，統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題認(rèn)知水平的數(shù)量，如表3所示.

表3　習(xí)題認(rèn)知水平的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過對(duì)比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題處在模仿、遷移和探究三個(gè)習(xí)題認(rèn)知水平上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為395、561、98，各自占的百分比分別為37.47%、53.23%、9.30%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題處在模仿、遷移和探究三個(gè)習(xí)題認(rèn)知水平上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為357、757、62，各自占的百分比分別為30.36%、64.37%、5.27%.在“模仿”和“探究”水平上人教版比北師大版分別高7.11和4.03個(gè)百分點(diǎn)，而在“遷移”水平上北師大版卻比人教版高出11.14個(gè)百分點(diǎn).

兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題認(rèn)知水平層次差異不大.練習(xí)題與習(xí)題的背景主要是單一的概念、運(yùn)算法則，對(duì)某種數(shù)學(xué)技能和性質(zhì)的應(yīng)用等，在習(xí)題認(rèn)知水平上以模仿和遷移的題目為主；而復(fù)習(xí)題要求學(xué)生對(duì)知識(shí)、技能進(jìn)行分析、綜合、復(fù)習(xí)與運(yùn)用，創(chuàng)造性地解決相關(guān)綜合性強(qiáng)的題目，靈活性更高，綜合性更強(qiáng)，供每章復(fù)習(xí)時(shí)使用.人教版中的復(fù)習(xí)題包括復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用和拓廣探索；北師大版中的復(fù)習(xí)題包括知識(shí)技能、數(shù)學(xué)理解和聯(lián)系拓廣，在認(rèn)知水平上更注重于遷移和探究的綜合應(yīng)用較多.整體來看，該知識(shí)領(lǐng)域中習(xí)題的總體認(rèn)知水平主要以模仿和遷移為主，較低認(rèn)知水平（概念、計(jì)算—模仿）與中認(rèn)知水平（領(lǐng)會(huì)—遷移）、較高認(rèn)知水平（分析—探究）的習(xí)題，呈“頭重后輕”的形式，凸顯出“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)的特點(diǎn)，同時(shí)也反映了我國教科書中習(xí)題選擇和編排的層次性，這點(diǎn)既滿足新課程改革的教學(xué)要求，也非常符合我國的水平結(jié)構(gòu)化考試要求.

2.習(xí)題背景的比較

關(guān)于習(xí)題背景（E2），根據(jù)我國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出學(xué)生的現(xiàn)實(shí)主要包括數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、生活現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，［2］基于此和學(xué)生能否直接感知，以及習(xí)題是否要求學(xué)生從背景中提取數(shù)學(xué)信息或數(shù)學(xué)化，將教科書習(xí)題背景劃分為無背景、生活背景和科學(xué)背景三個(gè)水平，其賦值標(biāo)準(zhǔn)界定如表4所示.

表4　習(xí)題背景的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

在這3個(gè)層次中，水平1為無背景水平，水平2為生活背景水平，水平3為科學(xué)背景水平.本文中根據(jù)教科書呈現(xiàn)的習(xí)題內(nèi)容背景對(duì)習(xí)題背景層次作如下界定.

無背景：在△ABC中，∠C=90°，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面積；（2）斜邊AB；（3）高CD.（人教版八年級(jí)下冊28頁習(xí)題17.1第7題）.分析：此題背景只是三角形圖形，所以歸為“無背景”水平習(xí)題.

生活背景：某地地震過后，河沿村中學(xué)的同學(xué)用下面的方法檢測教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜邊中拴一條線繩，線繩的另一端掛一個(gè)線錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過三角尺的直角頂點(diǎn)，同學(xué)們由此確信房梁是水平的.他們的判斷對(duì)嗎？為什么？（圖略）（人教版八年級(jí)上冊第82頁習(xí)題13.3第9題）分析：河沿村中學(xué)的同學(xué)檢測教室的房梁是否水平，屬于與學(xué)生熟悉的生活問題，所以歸為“生活背景”水平習(xí)題.

科學(xué)背景：收集歐幾里得和《原本》的有關(guān)資料，并與同伴進(jìn)行交流（北師大版八年級(jí)上冊171頁習(xí)題7.3第3題）.分析：歐幾里得是著名的數(shù)學(xué)家，《原本》是一部世界數(shù)學(xué)名著，所以歸為“科學(xué)情景”水平習(xí)題.

基于此，統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題背景的數(shù)量，如表5所示.

表5　習(xí)題背景的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過對(duì)比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題背景處在無背景、生活背景和科學(xué)背景三個(gè)習(xí)題背景水平上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為850、199、5，各自占的百分比分別為80.65%、18.88%、0.47%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題背景處在無背景、生活背景和科學(xué)背景三個(gè)習(xí)題背景水平上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為894、267、15，各自占的百分比分別為76.02%、22.70%、1.28%.在“生活背景”和“科學(xué)背景”水平上北師大版比人教版分別高3.82和0.81個(gè)百分點(diǎn)，而在“無背景”水平上人教版卻比北師大版高出4.63個(gè)百分點(diǎn).

3.習(xí)題要求的比較研究

習(xí)題要求（E3）更多關(guān)注的是如何解決問題，運(yùn)用事實(shí)、概念和程序等，通過訓(xùn)練、鞏固，形成能力，學(xué)以致用.結(jié)合習(xí)題的特有功能，界定習(xí)題要求的賦值標(biāo)準(zhǔn)如表6所示.

表6　習(xí)題要求的賦值標(biāo)準(zhǔn)界定表

在這3個(gè)層次中，水平1為知道水平，水平2為應(yīng)用水平，水平3為探究水平.本文中根據(jù)習(xí)題情境對(duì)習(xí)題要求層次作如下界定.

知道：下列各圖中，∠1和∠2是不是對(duì)頂角？（圖略）（人教版七年級(jí)下冊第7頁習(xí)題5.1第一題的第一小問）分析：因?yàn)榇祟}只需辨別哪兩個(gè)角是對(duì)頂角，屬于概念性識(shí)記問題，所以歸為“知道”水平的習(xí)題.

應(yīng)用：如圖，一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道，如果公路一側(cè)鋪設(shè)的管道與縱向聯(lián)通管道的角度為120°，那么，為了使管道對(duì)接，另一側(cè)應(yīng)以什么角度鋪設(shè)縱向聯(lián)通管道？為什么？（圖略）（人教版七年級(jí)下冊第23頁習(xí)題5.3第5題）分析：因?yàn)榇祟}是利用兩平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問題，所以歸為“應(yīng)用”水平的習(xí)題.

探究：（1）大家知道（3，4，5），（5，12，13），（8，15，17）都是勾股數(shù)組，有人說它們中好像一定有一個(gè)是偶數(shù)，你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？說明你的理由.（2）除此之外，你還能發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)具有哪些規(guī)律？與同伴進(jìn)行交流.（北師大版八年級(jí)上冊第19頁復(fù)習(xí)題第14題）分析：此題需要根據(jù)勾股數(shù)組發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出結(jié)論，并根據(jù)規(guī)律論證結(jié)論，屬于“探究”性水平的習(xí)題，

基于此，統(tǒng)計(jì)出人教版與北師大版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題要求的數(shù)量，如表7所示.

表7　習(xí)題要求的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過對(duì)比可知：人教版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題處在知道、應(yīng)用和探究三個(gè)習(xí)題要求水平上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為155、799、100，各自占的百分比分別為14.71%、75.81%、9.48%；而北師大版教科書“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題處在知道、應(yīng)用和探究三個(gè)習(xí)題要求水平上的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為152、949、75，各自占的百分比分別為12.93%、80.70%、6.37%.在“知道”和“探究”水平上人教版比北師大版分別高1.78和3.11個(gè)百分點(diǎn)，而在“應(yīng)用”水平上北師大版卻比人教版高出4.89個(gè)百分點(diǎn).

三、研究結(jié)果與建議

1.兩版教科書“圖形與幾何”內(nèi)容習(xí)題難度比較研究結(jié)論

兩個(gè)版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題在習(xí)題要求上各部分所占的比例差別不是太大.兩版本教科書中的習(xí)題在習(xí)題要求上比較側(cè)重的是“應(yīng)用”、“知道”和“探究”水平明顯較低.兩個(gè)版本教科書中屬于“探究”習(xí)題要求的題目在數(shù)量較少的基礎(chǔ)上，主要出現(xiàn)在小節(jié)習(xí)題的最后或單元復(fù)習(xí)題的最后，而極少出現(xiàn)在章節(jié)的“練習(xí)題”、“課堂練習(xí)”等部分的習(xí)題中，這是從具體題目上看得出的結(jié)果.

綜上所述，根據(jù)公式E=0.34E1+0.32E2+0.34E3，結(jié)合以上數(shù)據(jù)分別求得兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題難度量化值為：

為了更加直觀清晰地顯示兩版教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題要求（E）的分布情況，特繪制柱形圖如圖1所示：

圖1　兩版教科書“圖形與幾何”內(nèi)容習(xí)題難度的比較研究

從總量化上看，北師大版教科書略難，人教版教科書略易.事實(shí)上，依據(jù)前述習(xí)題難度確立的原則和標(biāo)準(zhǔn)，就習(xí)題認(rèn)知水平而言，90%以上的習(xí)題能夠通過模仿例題或在理解知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上得到解決，僅有少量習(xí)題與例題不相似，屬于探究水平的習(xí)題不到10%；就習(xí)題背景水平而言，兩版教科書中無背景習(xí)題占絕大多數(shù)，僅有20%左右的習(xí)題屬于生活背景題，還有少量涉及科學(xué)背景，這充分說明了兩個(gè)版本教科書中“圖形與幾何”領(lǐng)域的習(xí)題在背景素材的選用上更多地突出了幾何學(xué)特點(diǎn)；就習(xí)題要求水平而言，兩版教科書中習(xí)題要求知道所需事實(shí)、概念和程序，以及選擇或應(yīng)用事實(shí)、概念和程序解決有預(yù)設(shè)程序或途徑的常規(guī)問題占90%以上，極少數(shù)題要求探究，占比低于10%.

2.教科書使用建議

基于習(xí)題設(shè)置特點(diǎn)，為學(xué)生提供分層練習(xí).注重課后練習(xí)、精選習(xí)題、有效訓(xùn)練是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效方案.作為教師要對(duì)教科書中的習(xí)題應(yīng)該加以靈活的運(yùn)用，針對(duì)具體的知識(shí)內(nèi)容，設(shè)置出能夠促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展并引起學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣的問題情境.選擇合理的教學(xué)方式能夠讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)并能獲得思維能力.對(duì)習(xí)題進(jìn)行有效開發(fā)、分層練習(xí)，在保證習(xí)題質(zhì)量的基礎(chǔ)上，確保習(xí)題的數(shù)量，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān).

因此，教師要立足于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合本地、本校的實(shí)際需求，對(duì)教科書進(jìn)行靈活地處理，及時(shí)調(diào)整教學(xué)活動(dòng).因地制宜地開發(fā)有利于學(xué)生自主、合作、探究等形式學(xué)習(xí)的教輔，制作適合學(xué)生自主交流、動(dòng)手操作及小組合作中使用的教具等.

參考文獻(xiàn)：

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