☉浙江省紹興市上虞區(qū)竺可楨中學(xué)　徐　駿

巧用極端化情形解決與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的取值范圍問題

☉浙江省紹興市上虞區(qū)竺可楨中學(xué)徐駿

在近幾年的中考中，以平面直角坐標(biāo)系為背景的與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的取值范圍問題層出不窮.此類問題以能力立意，常涉及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，能有效地考查學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中所表現(xiàn)出來的思維水平，因而備受各地中考命題者的青睞.解答此類問題需用極端化思想對(duì)條件的某種極端狀態(tài)進(jìn)行考查，進(jìn)而探明解題方向.盡管此類試題對(duì)解答過程往往不作要求，但對(duì)初中生的思維能力要求較高，不少學(xué)生遇到這類題目往往束手無策.本文以近5年中考試題為例進(jìn)行歸類剖析，供參考.

一、點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上

圖1

圖2

解析：易得B（0，2），k=-4，直線BC的解析式為y= -2x+2.

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是先利用軸對(duì)稱性設(shè)法尋求兩個(gè)角相等時(shí)的極端情形，即求出一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某條直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合圖形得出符合角度大小關(guān)系的相應(yīng)坐標(biāo)的取值范圍.

綜上，當(dāng)0＜a＜2或

二、點(diǎn)在圓上

例2（2014年天津市，有改動(dòng)）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），E、F分別為OA、OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α.若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是_______.

圖3

解析：易證AE′⊥BF′.如圖4，點(diǎn)P在以D為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)D、E、P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P為⊙D與射線DE的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值最小.因?yàn)镋P=DP-DE=-1，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最小值為

圖4

圖5

如圖5，點(diǎn)E′在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)直線AE′與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D′重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值最大.

在Rt△AOE′中，OE′=1，OA=2，所以∠OAE′=30°，

點(diǎn)評(píng)：本例是典型的定弦對(duì)定角問題，即如果三角形有一邊固定，且該邊所對(duì)的角大小不變但位置不固定，此時(shí)可以構(gòu)造這個(gè)三角形的外接圓.容易想到當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，若P為O（A的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離最大，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取到最小值.要使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的值最大，直線AE′需在x軸上方，且與x軸正方向的夾角最大，然而最大角度的確定又需根據(jù)從動(dòng)點(diǎn)P所在直線AE′與圓的相切位置相關(guān)聯(lián)，這是解決本例的突破口.

三、點(diǎn)在直線上

1.構(gòu)造圓

例3（2016年江蘇徐州）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（0，-），C（2，0）.M（s，t）為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍.

圖6

圖7

在線段OB上取點(diǎn)N，使得∠BAN=30°，于是∠ANB=

以N為圓心，NB為半徑作圓，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M1、M2，則∠AM1B=∠AM2B=60°.

過點(diǎn)N作NH⊥M1M2于點(diǎn)H，連接NM1，則NH=.又故從而

點(diǎn)評(píng)：本例主要探究直線（拋物線的對(duì)稱軸）上滿足∠AMB=60°的點(diǎn)M，由“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半”把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題.而在點(diǎn)與圓的位置關(guān)系中，則以點(diǎn)在圓上作為解題的突破口.要善于利用張角和圓周角的大小關(guān)系，即某一條弦所在直線同側(cè)的圓內(nèi)角大于圓周角，圓外角小于圓周角，從而確定線段M1M2上的點(diǎn)滿足題意.

圖8

2.構(gòu)造基本圖形

例4（2016年浙江紹興、義烏）如圖8，在矩形ABCO中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P 在BC邊上，直線l1：y=2x+3，直線l2：y=2x-3.我們把直線l1和直線l2上的點(diǎn)所組成的圖形稱為圖形F.已知矩形ANPQ的頂點(diǎn)N在圖形F上，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)點(diǎn)N在直線l1上時(shí)，N（x，2x+3）.

①若點(diǎn)N在點(diǎn)A的上方（x＞0），如圖9，顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離最大.

圖9

圖10

（2）當(dāng)點(diǎn)N在直線l2上時(shí)，N（x，2x-3）.

①若點(diǎn)N在直線AB的上方（x＞3）.

如圖11，顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離最小.過點(diǎn)N作y軸的垂線，垂足為D，交CB的延長線于點(diǎn)E.

圖11

圖12

如圖12，顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離最大.

如圖13，顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離最小.

混沌序列作為偽隨機(jī)序列,要有良好的相關(guān)性能,自相關(guān)值需近似于δ函數(shù),以利于擴(kuò)頻碼的檢測與同步；而互相關(guān)值需接近于0[13],以有效地抑制不同擴(kuò)頻碼之間的干擾,這對(duì)通信中的多址應(yīng)用十分重要[14]。理論中無限長度的混沌序列能滿足上述條件,但實(shí)際上混沌序列使用時(shí)都需要截短處理,這樣會(huì)影響混沌序列的相關(guān)性。除此之外,混沌序列的初值也會(huì)影響序列的相關(guān)性,經(jīng)過大量測試后發(fā)現(xiàn)復(fù)合混沌序列在初值為0.76時(shí)的相關(guān)性能較好,所以以此初值產(chǎn)生的混沌序列來進(jìn)行測試。

圖13

圖14

如圖14，顯然當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離最大.

過點(diǎn)N作y軸的垂線，垂足為D，交BC于點(diǎn)E.

3.構(gòu)造直角三角形

例5（2015年浙江紹興、義烏）如圖15，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，?OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，且OC⊥AC.P、Q分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，連接AC，PQ，B1是點(diǎn)B關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn).過點(diǎn)B1作B1F∥x軸，與對(duì)角線AC、邊OC分別交于點(diǎn)E、F.若B1E∶B1F=1∶3，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為m，求點(diǎn)B1的縱坐標(biāo)，并直接寫出m的取值范圍.

圖15

圖16

（1）若點(diǎn)B1在線段FE的延長線上.

如圖17，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)B1到x軸的距離最大.

圖17

圖18

如圖18，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)B1到x軸的距離最小.

圖19

如圖20，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)B1到x軸的距離最大.

過點(diǎn)B1作B1H⊥x軸于點(diǎn)H，則B1H2+AH2=B1A2，即（3-m）2+（4-m）2=4，整理得7m2-50m+75=0，解得m1=5（不合題意，舍去），m2=.

圖20

圖21

如圖21，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B在x軸上，即（3-m）=0，解得m1=3.

故當(dāng)點(diǎn)B1在線段FE上時(shí)，滿足題意的m的取值范圍為≤m≤3.

通過上述問題的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)，求解與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的取值范圍問題的前提是先要定性分析動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑，需牢牢抓住圖形的幾何特征，研究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中保持不變的關(guān)系.如例5用參數(shù)法的思想找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可借助中間變量m，使橫坐標(biāo)（x）與縱坐標(biāo)（y）之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去m，得出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是線段.若從動(dòng)點(diǎn)看某兩定點(diǎn)的張角為定值，尤其當(dāng)該張角為直角（如例2）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是圓弧.解決此類問題的關(guān)鍵是要善于把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題來解決，或利用軸對(duì)稱性獲取兩個(gè)角相等時(shí)的極端情形（如例1），或?qū)ふ覄?dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為相切（如例2）或相交（如例3）時(shí)的極端情形，或考慮動(dòng)點(diǎn)之間的相互關(guān)聯(lián)，從其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在所在邊上的極端位置入手（如例4和例5），進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算.在探索規(guī)律的過程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，并結(jié)合相似三角形、勾股定理等知識(shí)，最終運(yùn)用合情推理解決問題.在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解題思路的探索過程，幫助學(xué)生更深入地認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生以不同的視角深度剖析問題，從而促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

1.徐駿.盤點(diǎn)近幾年中考中與“從動(dòng)點(diǎn)”的“路徑”相關(guān)的一類長度問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（11）.

2.翁海芳.借助始末位置，確定取值范圍［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（7）.

*基金項(xiàng)目：北京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃一般課題“基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究”（課題編號(hào)：DBB15077），作者系該課題主持人.