☉江蘇省張家港市護(hù)漕港中學(xué)　孫　彪

多元方法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉江蘇省張家港市護(hù)漕港中學(xué)孫彪

解決初中數(shù)學(xué)難題可以采用豐富多樣的解決方法，在解決不同的數(shù)學(xué)問題中要靈活采用多元解題方法，從而確保解題效率和質(zhì)量的提升.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先需要對問題中涉及的知識進(jìn)行觀點(diǎn)的提煉，接下來有效地將觀點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方法，根據(jù)解題的需要選擇恰當(dāng)?shù)慕鉀Q辦法，進(jìn)行數(shù)學(xué)解題方法的總結(jié)和調(diào)整，通過不斷的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)和深入學(xué)習(xí)，知識遷移能力也會得到很大程度的提升，這樣在初中數(shù)學(xué)解題中也會更加得心應(yīng)手.

一、消去法

在解決初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會遇到兩種及其以上未知的相關(guān)數(shù)量關(guān)系，在解答這類數(shù)學(xué)問題時(shí)可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q設(shè)法消去某些數(shù)量關(guān)系和相關(guān)元素，從而快速解決問題，這種解題方法就是消去法，消去法在應(yīng)用過程中可以是代入消去或者加減消去.利用消去法解決初中數(shù)學(xué)難題的關(guān)鍵在于設(shè)法將未知數(shù)量變少，通過適當(dāng)?shù)淖兓ゾ哂幸欢P(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系，從而使原本復(fù)雜的問題變得簡單.

例1小明買產(chǎn)品，有兩種買的方案：買A產(chǎn)品1個(gè)，B產(chǎn)品3個(gè)，C產(chǎn)品4個(gè)，D產(chǎn)品5個(gè)，E產(chǎn)品6個(gè)，這種方案要花1876元；買A產(chǎn)品1個(gè)，B產(chǎn)品5個(gè)，C產(chǎn)品7個(gè)，D產(chǎn)品9個(gè)，E產(chǎn)品11個(gè)，這種方案要花2984元，求每種產(chǎn)品各多少元（不用方程解）？

試題解析：在看到這一數(shù)學(xué)題目之后，如果不深入分析可以采用的解題方法肯定會被題目中大量的數(shù)量關(guān)系難住，從而阻礙解題的步伐.首先，對這一題目進(jìn)行分析之后能夠發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)題目當(dāng)中蘊(yùn)含著多種數(shù)量關(guān)系，并且它們是相互關(guān)聯(lián)的，因此在解題時(shí)可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q減少數(shù)量關(guān)系，這時(shí)就可以應(yīng)用消去法.其次，對每一種方案進(jìn)行相應(yīng)的列式計(jì)算后得到方案一：A+ 3B+4C+5D+6E=1876（元）；方案二：A+5B+7C+9D+11E= 2984（元），采用加減消去法，方案二減去方案一得到2B+ 3C+4D+5E=1108（元），方案一再減去上式得A+B+C+D+ E=768（元），則B=768-A-C-D-E，代入第一種方法得428+C+2D+3E=2A化掉了B，同理逐步化掉其他字母得出其一，全題可解.

二、配方法

配方法在初中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用，但實(shí)際應(yīng)用中往往是將不構(gòu)成完全平方公式的多項(xiàng)式通過拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法，將原來多項(xiàng)式中的一部分構(gòu)成一個(gè)能夠應(yīng)用公式進(jìn)行解決的完全平方公式，從而提高解題效率.配方法在一元二次方程的解決當(dāng)中應(yīng)用最為廣泛，其一般步驟是：第一，將方程的兩邊同時(shí)除以本方程的二次項(xiàng)系數(shù)，將系數(shù)化為1；第二，采用移項(xiàng)的方法將方程的右邊只剩下常數(shù)項(xiàng)，左邊是一次項(xiàng)及二次項(xiàng)；第三，進(jìn)行配方，即方程的兩邊同時(shí)加上左邊一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將其變成一個(gè)完全平方公式；第四，分情況討論，如果常數(shù)項(xiàng)大于或者等于零，那么可以直接采用開平方法解出答案，反之，則證明原方程無解.配方法對于解決數(shù)學(xué)問題非常重要，不僅僅能夠用于解決一元二次方程的問題，還廣泛應(yīng)用在其他領(lǐng)域.

例3分解因式：x4+4.

試題解析：x4+4=x4+4x2+4-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2x+ 2）（x2-2x+2）.

以上解法中，在x4+4的中間加上一項(xiàng)，使得三項(xiàng)組成一個(gè)完全平方式，為了使這個(gè)式子的值與x4+4的值保持不變，必須減去同樣的一項(xiàng).由此可知，配方法在因式分解當(dāng)中的應(yīng)用.

例4若三角形的三邊長是a，b，c，且滿足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，試判斷三角形的形狀.

試題解析：因?yàn)閍2+2b2+c2-2ab-2bc=0，所以（a2-2ab+ b2）+（b2-2bc+c2）=0，即（a-b）2+（b-c）2=0.因?yàn)椋╝-b）2≥0，（b-c）2≥0，所以a=b，b=c，即a=b=c.故該三角形是等邊三角形.在借助配方法后，能夠輕松判定集合圖形的形狀，可見配方法應(yīng)用之廣.

三、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，叫作換元法.通俗的說，換元法就是把一個(gè)括號里的式子換成和題目中的字母不同的任何字母.換元法的應(yīng)用條件為：式子比較復(fù)雜；一個(gè)整體多次出現(xiàn)；另外的未知數(shù)能用這個(gè)整體來表示.換元法能夠?qū)⒃緩?fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單，同時(shí)也是轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用換元法能夠鍛煉數(shù)學(xué)思維，突破數(shù)學(xué)解題當(dāng)中題目過長或者數(shù)量關(guān)系過多的難題.

例5已知（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，求未知數(shù)x.

例題解析：為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我們可以將x2-1看作一個(gè)整體，設(shè)x2-1=y①，那么原方程可化為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，當(dāng)y=1時(shí)，x2-1=1，即x2=2，解得x=±；當(dāng)y=4時(shí)，x2-1=4，即x2=5，解得x=±，故原方程的解為以上解題方法叫作換元法，在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到了解方程的目的，在使用換元法之后，原本復(fù)雜的解題步驟能夠得到化解，在今后解決類似問題的過程中也會得心應(yīng)手.

例6（x2+x）2+（x2+x）=6，求未知數(shù)x.

例題解析：在解決這一方程問題時(shí)同樣也會用到換元法，（x2+x）2+（x2+x）=6，可以設(shè)x2+x=y，則原方程可化為y2+y=6，解得y1=-3（舍去），y2=2，當(dāng)y=2時(shí)，x2+x=2，解得x1=-2，x2=1，所以原方程的解為x1=-2，x2=1.在解決這一問題時(shí)涉及了分類討論的方法，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方是大于或等于0的，所以得到的第一個(gè)解為負(fù)數(shù)就需要將其舍去，那么這個(gè)問題就得到了兩個(gè)解，而不是四個(gè).

四、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是一種求解未知數(shù)的有效方法，運(yùn)用這一方法解題主要是通過將一個(gè)多項(xiàng)式用另一種含有特定系數(shù)的式子表示出來，因此會得到恒等式，按照恒等式的性質(zhì)得到一個(gè)能滿足方程或者方程組的系數(shù)，通過解方程組或者方程得到的數(shù)值就是待定系數(shù)的數(shù)值.在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用待定系數(shù)法，可以按照以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：寫出函數(shù)解析式的一般式，其中包括未知的系數(shù)；根據(jù)恒等條件，將變量和函數(shù)的對應(yīng)值代入到整個(gè)函數(shù)解析式當(dāng)中，進(jìn)而得到一個(gè)能夠表示待定系數(shù)的方程或者方程組；通過求解方程或者方程組得到待定系數(shù)的數(shù)值，從而解決問題.待定系數(shù)法在函數(shù)知識學(xué)習(xí)中應(yīng)用較多，主要用在求解函數(shù)解析式上，更是成為解決函數(shù)相關(guān)例題的好幫手.

例7已知一次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3，5）和點(diǎn)B（-4，-9）兩點(diǎn).

（1）求此一次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)（a，2）在該函數(shù)的圖像上，試求a的值；

（3）若此一次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P（m，n）是圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），設(shè)△POC的面積是S，試求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.

例題解析：運(yùn)用待定系數(shù)法首先求得函數(shù)解析式，接下來的求解只要圍繞解析式來計(jì)算就會變得簡便.

五、反證法

反證法在初中數(shù)學(xué)證明題當(dāng)中應(yīng)用較多，是一種間接證明的方法，而且很多數(shù)學(xué)命題只能夠用反證方法去證明.反證法首先提出與給定命題相反的結(jié)論，接下來按照這個(gè)假設(shè)進(jìn)行逐步推理，推理過程中如果出現(xiàn)矛盾，那么就可以否定做出的相反的假設(shè)，從而證明了原命題的正確性.在初中數(shù)學(xué)采用反證法證明命題的過程中會經(jīng)歷這樣的思維變化：假定給出的結(jié)論不成立，那么就會導(dǎo)致出現(xiàn)這個(gè)問題和給出的已知條件自相矛盾，同時(shí)也和數(shù)學(xué)當(dāng)中的公式和定理不符合.接下來就要討論這一矛盾和問題存在的根源，整個(gè)數(shù)學(xué)推理的過程沒有存在錯(cuò)誤，題目給出的已知條件及數(shù)學(xué)中的公式定理都沒有錯(cuò)誤，那么在命題的證明中存在錯(cuò)誤的地方只可能是剛開始的假設(shè)結(jié)論不成立，那么這一命題成立或者不成立只有一個(gè)是正確的結(jié)論，那么給出的否定結(jié)論不正確，則證明原命題的結(jié)論是成立的.通過反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用能夠鍛煉辯證思維，從而在今后的解題中也會注重思維的靈活性和多樣性，及時(shí)根據(jù)給定問題，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.

例8請用反證法證明：如果兩個(gè)整數(shù)的積是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).

例題解析：首先假設(shè)這兩個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)，其中一個(gè)奇數(shù)為2n+1，另一個(gè)奇數(shù)為2p+1，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+1，進(jìn)而得出矛盾，則原命題正確.

證明：假設(shè)這兩個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)，其中一個(gè)奇數(shù)為2n+1，另一個(gè)奇數(shù)為2p+1（n、p為整數(shù)），則（2n+1）（2p+1） =2（2np+n+p）+1，因?yàn)闊o論n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇數(shù)，這與已知中兩個(gè)奇數(shù)的乘積為偶數(shù)相矛盾，所以假設(shè)不成立，故這兩個(gè)整數(shù)中至少一個(gè)是偶數(shù).

六、面積法

平面幾何在初中數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中占有很大的成分，平面幾何當(dāng)中涉及了不同圖形面積計(jì)算及面積公式推理等方面的內(nèi)容，它們不僅能夠應(yīng)用到解決面積計(jì)算的問題當(dāng)中，還能用于平面幾何題目的證明.因此，面積法是解決幾何問題的常用方法，主要采用面積關(guān)系進(jìn)行平面幾何題目的證明及計(jì)算.在解決平面幾何題時(shí)往往也采用分析法及歸納法，但是使用這些方法解題時(shí)會在添加輔助線上出現(xiàn)較大的困難.如果在解決這些問題時(shí)采用面積法則能夠靈活地將未知量和已知量用面積公式結(jié)合起來，采用運(yùn)算的方式求證結(jié)果.因此，將面積法應(yīng)用到解決幾何問題當(dāng)中能夠?qū)缀卧刂g的關(guān)聯(lián)變成數(shù)量關(guān)系，從而能夠巧妙地通過計(jì)算的方式無需添置輔助線就能夠解決幾何問題.

例9如圖1所示，這是美國第20任總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理時(shí)所采用的圖形，是用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出一個(gè)梯形.借助這個(gè)圖形，你能用面積法來驗(yàn)證勾股定理嗎？

解決初中數(shù)學(xué)問題的方法是多種多樣的，在應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題方法之前必須對問題進(jìn)行深入分析，確定問題中蘊(yùn)含的知識內(nèi)容和觀點(diǎn)，將復(fù)雜的問題簡化為原則，進(jìn)行多樣化數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用.多元解題方法需要在不斷的解題和知識應(yīng)用當(dāng)中進(jìn)行歸納總結(jié)，同時(shí)也需要一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和勇于探究的大腦，在今后的解題中筆者一定會再接再厲，善于觀察和思考，將總結(jié)的多元解題方法應(yīng)用到解決實(shí)際問題當(dāng)中.