廣東省梅州市梅江區(qū)嘉應(yīng)中學(xué)

廖宇輝　　(郵編：514000)

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含根式遞推數(shù)列的求解策略

廣東省梅州市梅江區(qū)嘉應(yīng)中學(xué)

廖宇輝(郵編：514000)

眾所周知，線(xiàn)性遞推式問(wèn)題已經(jīng)有了較為成熟的求解方法，如待定系數(shù)法、特征根法、不動(dòng)點(diǎn)法、母函數(shù)法、矩陣法等方法.而非線(xiàn)性遞推式的求解則是一個(gè)難點(diǎn)，這類(lèi)遞推式往往結(jié)構(gòu)復(fù)雜，沒(méi)有固定的模式可套，方法多姿多彩，因此一直是各類(lèi)競(jìng)賽的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.其中，含根式的非線(xiàn)性遞推式在近幾年的競(jìng)賽中頻頻亮相，應(yīng)引起足夠的重視.本文就含根式的數(shù)列遞推式的求解方法作一些探究和分析.根據(jù)根式在遞推式中的從屬、主次、位置關(guān)系，常見(jiàn)的處理方法有：配方法、換元法、三角法、變形法、取對(duì)數(shù)法、平方法、先猜后證法等.下面舉例說(shuō)明之.

1　配方

A.1012025B.1012036

C.1013025D.1013036

2　換元

評(píng)注此題如若直接去除根號(hào)，不利于問(wèn)題的解決.若能對(duì)根式進(jìn)行整體換元，問(wèn)題便化為一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題，問(wèn)題也就迎刃而解.換元法是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法.

3　三角換元

例3(第30屆IMO預(yù)選賽)數(shù)列a0,a1,a2，…，與數(shù)列b0,b1,b2，…，定義如下：

證明：不等式：2n+2an<π<2n+2bn.

故不等式2n+2an<π<2n+2bn得證.

評(píng)注根據(jù)此題遞推式的特點(diǎn)，暗含某些三角公式的運(yùn)算形式，應(yīng)用三角代換后，可去除遞推式中的根式，類(lèi)比公式即可得出所要求的通項(xiàng)公式.

4　變形

所以通項(xiàng)公式為

評(píng)注此題有多個(gè)根式，初看很難處理，若能減少根式的個(gè)數(shù)，問(wèn)題便顯得直觀(guān)一些，通過(guò)觀(guān)察，遞推式兩端可同除以較為簡(jiǎn)單的那個(gè)根式，然后運(yùn)用整體思想和迭代方法使問(wèn)題得到解決.

5　取對(duì)數(shù)

評(píng)注運(yùn)用取對(duì)數(shù)的方法，可以將含有指數(shù)式或根式的遞推式轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性遞推式.

6　平方

(1)證明：當(dāng)n>1時(shí)，an+1+an-1=4an；

①

②

下面用兩種方法得到an+1=4an-an-1.

法1利用因式分解

故an+1=4an-an-1.

法2利用韋達(dá)定理

因?yàn)閍1=1，a2=4，

評(píng)注處理根式的最直接的方式就是平方，此題很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn).去除根號(hào)后，可用因式分解或韋達(dá)定理化為二階常系數(shù)線(xiàn)性遞推式，這一過(guò)程是升階思想.化為二階常系數(shù)線(xiàn)性遞推式后可用特征根法求出通項(xiàng)公式.

7　先猜后證

(2)類(lèi)似例6第二問(wèn)的方法可證明之，此處從略.

評(píng)注本題和例6是同類(lèi)型題，可用例6的方法解答.這里給出數(shù)列通項(xiàng)公式的另外一種求法.通過(guò)猜想歸納得出通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明，這是解數(shù)列遞推式問(wèn)題的一種慣用手法，也是探究新知的重要手段.

通過(guò)對(duì)以上幾道競(jìng)賽題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)含有根式的數(shù)列遞推式的通項(xiàng)公式的求解，關(guān)鍵在于通過(guò)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，使問(wèn)題化歸為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題.因此，在探究問(wèn)題的過(guò)程中，我們要認(rèn)真細(xì)致觀(guān)察，進(jìn)行大探索，并找出恰當(dāng)?shù)姆椒?，使?wèn)題得到圓滿(mǎn)的解決.

2016-06-05)