浙江省紹興魯迅中學(xué)

宋勝良　　(郵編：312050)

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解題方法

求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)受阻怎么辦

浙江省紹興魯迅中學(xué)

宋勝良(郵編：312050)

導(dǎo)數(shù)作為銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶，是研究函數(shù)性質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生探究能力的重要工具，同時(shí)也是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.我們經(jīng)常用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，這勢(shì)必會(huì)觸及導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)求解遇阻，我們又該如何面對(duì)？本文筆者將結(jié)合考題談一談當(dāng)零點(diǎn)求解遇阻時(shí)的三點(diǎn)處理策略，供參考.

想法1按兵不動(dòng)——根本不用求

當(dāng)求導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)受阻時(shí)，第一種想法便是導(dǎo)函數(shù)或許就沒(méi)有零點(diǎn)，那么導(dǎo)函數(shù)在給定研究區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù)，從而也知道了函數(shù)的單調(diào)性，為解決問(wèn)題奠定了關(guān)鍵的基礎(chǔ).

例1(2014福建高考理)當(dāng)x>0時(shí)，證明：x2

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)單調(diào)性的重要工具，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的研究我們一直關(guān)注其正負(fù)性，對(duì)正負(fù)性的研究勢(shì)必觸及導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)遇阻時(shí)，我們可以去大膽地猜想是不是導(dǎo)函數(shù)壓根就沒(méi)有零點(diǎn)，從而去驗(yàn)證導(dǎo)函數(shù)是不是恒正或恒負(fù).

想法2趁火打劫——大膽去猜湊

上面已經(jīng)介紹了想法1，但是導(dǎo)函數(shù)未實(shí)現(xiàn)恒正或恒負(fù)，也就是說(shuō)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是有的，但是方程又無(wú)法解，我們?cè)撛趺崔k？此時(shí)去猜或者湊導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不失為一種很好的意識(shí)，一旦成功，將會(huì)對(duì)問(wèn)題的解決產(chǎn)生決定作用.

令g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x，這里要直接解g(x)>0與g(x)<0是不可能的事情.

于是，可以結(jié)合想法1，難道g(x)恒正或是恒負(fù)？

g′(x)=2ln(1+x)-2x，依然無(wú)法下手.

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)求解受阻，如果能夠通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)知道導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，即導(dǎo)函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們可以肯定，導(dǎo)函數(shù)若有零點(diǎn)，則零點(diǎn)有且只有一個(gè).如果具備以上論據(jù)，那么我們可以大膽去猜、湊，若能得到一個(gè)零點(diǎn)，此零點(diǎn)也必將成為唯一的零點(diǎn)，于是導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)求解受阻問(wèn)題便迎刃而解，函數(shù)的單調(diào)性也得到了妥

善的解決.

想法3釜底抽薪——設(shè)而不求法

有的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)，即使能夠推出導(dǎo)函數(shù)具備單調(diào)性，但是始終無(wú)法讓導(dǎo)函數(shù)恒正或者恒負(fù)，并且無(wú)法通過(guò)猜、湊去得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候，我們的無(wú)奈便是：導(dǎo)函數(shù)明明存在著零點(diǎn)，就是求不出來(lái).這個(gè)時(shí)候我們?cè)撛趺崔k呢？在這里給大家介紹設(shè)而不求的思想.

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx(x>0)，求證：當(dāng)x>0時(shí)，ex>f′(x)+1.

設(shè)而不求是數(shù)學(xué)解題中的一種很有用的手段,采用設(shè)而不求的策略,往往能避免盲目推演而造成的無(wú)益的循環(huán)運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡(jiǎn)捷的解題效果.

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)系著導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，有效解決“求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)遇阻的問(wèn)題”刻不容緩，愿本文能對(duì)讀者有所幫助.

2016-07-02)