安徽省霍邱縣第一中學(xué)

馮克永　　(郵編：237400)

?

2016年新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第21題的研究與反思

安徽省霍邱縣第一中學(xué)

馮克永(郵編：237400)

2016年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題：

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

這道題的第(Ⅰ)問，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考生很熟悉，有利于考生穩(wěn)定情緒，大部分考生可以得分，又利于考生切入第(Ⅱ)問.第(Ⅱ)問在第(Ⅰ)問的基礎(chǔ)上考查高中數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問題——函數(shù)與不等式的交匯問題，考生比較熟悉，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，但要構(gòu)造出合適的函數(shù)，且有一定的難度和較強(qiáng)的區(qū)分度，是高考壓軸題必備的特征，有利于高校選拔優(yōu)秀人才.兩問層層遞進(jìn)，過渡自然順暢，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)、不等式證明等基礎(chǔ)知識及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、極限思想、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)思想和方法，同時考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行推理求解能力.

筆者認(rèn)為，這道試題的背景公平親善，題型新穎別致，內(nèi)涵深刻豐富，是一道匠心獨(dú)具、十分難得的好題，體現(xiàn)了“大眾數(shù)學(xué)”的理念：“人人有得，各得其所；每個人都要學(xué)數(shù)學(xué)，不同的學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)”.對我們的教學(xué)和復(fù)習(xí)工作可以起到良好的導(dǎo)向作用，值得認(rèn)真地研究和探討.

1　溯源

這道試題考查的知識及處理策略是以兩道高考試題為題源

(1)(2010高考天津卷理21)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明：當(dāng)x>1時，f(x)>g(x)；

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

(2)(2011年高考遼寧卷理21)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′(x0)<0.)

命題者通過改變函數(shù)載體、設(shè)問方式、知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)等手段，將源題改編為現(xiàn)在的形式，既讓我們感到似曾相識，又覺得耳目一新，不落俗套，更關(guān)注通性通法且降低了難度.

2　解法分析　(標(biāo)準(zhǔn)答案的解答此處從略)

第(Ⅰ)問函數(shù)零點(diǎn)的常見處理策略：畫函數(shù)圖象處理.

解法1(畫一個函數(shù)的圖象)

解法2(畫兩個函數(shù)的圖象)

由f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0得(2-x)ex=a(x-1)2，令g(x)=(2-x)ex,h(x)=a(x-1)2，則由g′(x)=(1-x)ex=0，得x=1.當(dāng)x∈(-∞,1)時，g′(x)>0,g(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，g′(x)<0；g(x)max=g(1)=e.如圖1，易得a>0.

第(Ⅱ)問與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的不等式證明的常見處理策略：構(gòu)造輔助函數(shù)處理.

不妨令x1|g′(1-x)|.因|g′(1+x)|=e1+x,|g′(1-x)|=e1-x，0|g′(1-x)|.再結(jié)合圖1知：2-x2>x1，即x1+x2<2.

3　替換推廣

波利亞有句名言：“一道好題的價值在于它能產(chǎn)生其他一些好題.”好題就像是一眼活水，只要我們做一個有心人，大膽嘗試，勇于探索，?？蓮闹芯鹑⌒碌乃?

用k,2k(k>0)替換原題中的數(shù)字1,2可得到如下更一般的形式：

已知函數(shù)f(x)=(x-2k)ekx+a(x-k)2(k為正常數(shù))有兩個零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x2<2k，且x1x2

4　對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的反思

作為高考的壓軸題，凝聚著高考命題專家的創(chuàng)新智慧和對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的寄托，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法.高考結(jié)束后，很多師生都覺得此壓軸題的第(Ⅱ)問有難度，尤其是通過推理、分析、轉(zhuǎn)化構(gòu)出合適的輔助函數(shù)，短時間難想到，怨聲較多.其實(shí)2010年天津卷理21，2011年遼寧卷理21都考過類似的解題策略.

如果一線教師能夠在這兩道題的基礎(chǔ)上引領(lǐng)學(xué)生探究一番，歸納提煉解題策略，學(xué)會構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，那么學(xué)生在高考中就會自然應(yīng)對.相反很多教師在高三復(fù)習(xí)時僅對往年高考試卷中的壓軸題的第(Ⅰ)問處理，借口難，講學(xué)生也不會，而回避后面問題或?qū)竺鎲栴}直接將答案給學(xué)生.這樣下去，學(xué)生在考試中，碰到思維要求高點(diǎn)的就心慌，心理壓力可想而知，如此又怎能發(fā)揮出正常水平呢？

如何讓學(xué)生通過壓軸題這道坎呢？這是高三師生無法回避的問題.有的放矢，針對往年壓軸題的特點(diǎn)，分類指導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行探究，歸納提煉，反思感悟，在實(shí)踐中使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界.

正如章建躍博士所說的：“解題教學(xué)中，要使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)，思考和解決問題的習(xí)慣，這是發(fā)展學(xué)生思維的正道”，并指出：“不注重大巧如拙的通性通法，……，久而久之，使學(xué)生忘了解題的根本，沒有學(xué)會最基本的數(shù)學(xué)思考方法，因而在高考的“競技場”上敗下陣來.”所以，一線教師在解題教學(xué)中一定要在注重通性通法的基礎(chǔ)上，在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)上下功夫，做文章.通過典型習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考、多方位探討，去梳理基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練思想方法，強(qiáng)化解題規(guī)律，正是幫助學(xué)生全面提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑，應(yīng)引起我們足夠的重視.書山有路趣為徑，學(xué)海無涯樂作舟.教師要努力讓學(xué)生快樂學(xué)習(xí)、快樂思考、快樂收獲、茁壯成長.

2016-06-14)