安徽省懷遠(yuǎn)縣第三中學(xué)

宋在馥　　(郵編：233400)

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舊調(diào)重彈
——“用教材教”的新思考——基于《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》的嘗試

安徽省懷遠(yuǎn)縣第三中學(xué)

宋在馥(郵編：233400)

在教育改革大潮涌動(dòng)，教育理念不斷更新，各種模式竟相登場(chǎng)的今天，重提“用教材教”這一教學(xué)理念，顯得不合時(shí)宜，屬舊調(diào)重彈，鮮有理會(huì).實(shí)際上現(xiàn)在層出不窮的新理念新模式，多數(shù)是文字游戲，花樣翻新，甚至是為吸引人眼球的急功近利.教育工作者要有一份理智，一份理性，要尊重常識(shí)傳承常識(shí).而怎樣“用教材教”，就是永不褪色的常識(shí)，是我們永遠(yuǎn)需要研究且永遠(yuǎn)研究不完的課題，像研究如何“因材施教”一樣，具有永恒的價(jià)值.

有的教師對(duì)“用教材教，而不是教教材”這一理論，認(rèn)識(shí)偏頗，干脆把教材撇開.教材中的例題不用，習(xí)題不用，自己信手編寫，概念敘述也不嚴(yán)謹(jǐn)，打破教材的完整體系和敘述結(jié)構(gòu)，貌似一個(gè)嶄新的自我.其實(shí)反對(duì)“教教材”，提倡“用教材教”不是對(duì)教材的蔑視，而是對(duì)教師能力的信任，對(duì)學(xué)生差異的尊重.教材全國(guó)就那么幾套，而學(xué)生卻千差萬(wàn)別.“用教材教”理念是要求我們：根據(jù)課標(biāo)的“十大課程理念”“六大課程目標(biāo)”，及考綱中的能力要求、個(gè)性品質(zhì)要求，以教材為范本，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際能力和水平因材施教.下面以人教版《數(shù)學(xué)》(選修1-1)中第二章的《圓錐曲線》第一節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》為例，來(lái)展示筆者對(duì)“用教材教”的嘗試與思考：

1　關(guān)于情境的設(shè)置

課本用了一個(gè)教具，取一細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓.如果細(xì)繩兩端拉開一定的距離，固定在圖板兩點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)鉛筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？這是課本設(shè)置的情境.

我們的嘗試是：不用教具，只用幾根細(xì)繩，從每個(gè)小組里分別找兩人來(lái)黑板上演示.每組的一人用兩指按緊細(xì)繩兩端，一人用粉筆拉緊細(xì)繩移動(dòng)粉筆，這樣來(lái)畫，畫出的圖多數(shù)不規(guī)范，學(xué)生也笑聲一片.我們讓學(xué)生分析為什么圖畫的沒(méi)有書上的標(biāo)準(zhǔn)？操作者與觀察者都可以講.有的講按繩子端點(diǎn)手移動(dòng)了，有的講在移動(dòng)粉筆時(shí)，沒(méi)把繩拉緊.緊接著問(wèn)：這兩種現(xiàn)象造成的不規(guī)范說(shuō)明了什么？學(xué)生答：要形成橢圓，必是兩定點(diǎn)和定長(zhǎng)，繩不緊則不是定長(zhǎng)，兩點(diǎn)移動(dòng)，則不是定點(diǎn).一石激起千層浪，學(xué)生討論的問(wèn)題越來(lái)越多：為什么有的扁有的圓些，繩長(zhǎng)與兩定點(diǎn)距離的關(guān)系，軌跡何時(shí)是線段，何時(shí)是圓……

思考：為什么不像書中出示一教具，一蹴而就，畫出規(guī)范的橢圓？因?yàn)閷W(xué)生的這種徒手操作，易出錯(cuò)，而出錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)更有價(jià)值.讓學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)橢圓定義的關(guān)鍵詞：定點(diǎn)與定長(zhǎng)及兩定點(diǎn)距離與定長(zhǎng)的關(guān)系.課程目標(biāo)要求要“提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取知識(shí)的能力.”這種較大量的學(xué)生參與，這種情境下有那么多可提出問(wèn)題的地方，又有了問(wèn)題的思考與解決，使學(xué)生充分地理解了概念，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)的積極性和興趣.

2　關(guān)于方程的推導(dǎo)

哪個(gè)更簡(jiǎn)潔，更具美感？后者不僅具有對(duì)稱美，而且還反映了橢圓的本質(zhì)，更為下節(jié)幾何性質(zhì)提供了方便.

思考對(duì)于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，為什么課堂上老師不去推導(dǎo)，也不安排學(xué)生推導(dǎo)，而是當(dāng)作課后作業(yè).這不是說(shuō)這個(gè)推導(dǎo)不重要.因?yàn)槔蠋熢诤诎迳贤茖?dǎo)一遍，對(duì)學(xué)生來(lái)講，幾乎沒(méi)有什么意義，而讓學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)，又太占時(shí)間，影響教學(xué)進(jìn)度，也沒(méi)有什么意義.這種屬于純字母的數(shù)學(xué)式的運(yùn)算，又是學(xué)生的弱項(xiàng)，學(xué)生必須親自動(dòng)手推導(dǎo)，才可以提高學(xué)生的運(yùn)算能力.要求課下做，下節(jié)課檢查，學(xué)習(xí)能力不同的人都有時(shí)間把它推導(dǎo)一遍，有了檢查的壓力，誰(shuí)都會(huì)去推算了.這種繁雜運(yùn)算的成功，會(huì)極大地增強(qiáng)學(xué)生的自信心.

橢圓中的a、c是“創(chuàng)始者”，因?yàn)槎x中就有，而b就像“天外來(lái)客”，學(xué)生始終拿它見(jiàn)外.于是在各種運(yùn)算中，由于對(duì)b的不習(xí)慣而受阻.通過(guò)原始回歸，認(rèn)清了b的幾何意義，b與a、c有著同等重要的地位，b的出現(xiàn)，又增強(qiáng)了橢圓方程的美感.這也落實(shí)了課程目標(biāo)的要求：“通過(guò)不同形式的自主學(xué)習(xí)，探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.”

3　關(guān)于例題的處理

例1是常規(guī)題，可以利用定義或代入橢圓方程直接求解.

如果僅僅到此為止，那就造成極大的資源浪費(fèi).

于是拋出問(wèn)題：以上述題目為背景，還可以設(shè)計(jì)出什么樣的動(dòng)點(diǎn)軌跡？然后分組討論，學(xué)生們紛紛亮出自己的設(shè)想：

②在PD上取一點(diǎn)M，使PM=2MD，求M點(diǎn)軌跡.

③在DP的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使MP=PD，求M點(diǎn)軌跡.

④過(guò)P點(diǎn)向y軸做垂線PE，E為垂足，P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PE中點(diǎn)N的軌跡.

沿著①②③的思路走下去，可以設(shè)計(jì)成無(wú)數(shù)多個(gè)題目，那么我們能不能將這無(wú)數(shù)個(gè)題目概括成一個(gè)題目？學(xué)生經(jīng)過(guò)反復(fù)研討，終于設(shè)計(jì)成：

故y-y′=-ky， x′=x.

則y′=(1+k)y，將P(x,(1+k)y)的坐標(biāo)代入圓的方程x2+y2=4.

討論完畢后再換個(gè)思路：過(guò)P點(diǎn)向y軸作垂線PE，E為垂足，求線段PE的中點(diǎn)的軌跡.要求同學(xué)們?cè)谡n下，仿上述方式進(jìn)行討論，每人寫一篇小論文.當(dāng)然不拘泥于上述的結(jié)果，你可以展示你的想象，自己去探究，看能不能得到更美妙的東西，此為作業(yè).

由此可知，由圓壓縮或拉伸可以得到橢圓，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言準(zhǔn)確地將這個(gè)結(jié)論表述出來(lái).

本題的討論點(diǎn)放在曲線與方程的關(guān)系上，以(-5，0)，(5，0)是不是軌跡上的點(diǎn)，讓學(xué)生關(guān)注曲線與方程的純粹性與完備性，等到課程進(jìn)行到《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》的例5時(shí)，才對(duì)斜率之積作為變量來(lái)討論.

思考例2的處理，讓人感到下了功夫，費(fèi)了時(shí)間，這樣做的價(jià)值在哪里？這種設(shè)計(jì)可以說(shuō)是“一石三鳥”.

首先，熟練了求軌跡方程“相關(guān)法”的應(yīng)用，它是求軌跡方程的基本方法和重要方法.

其次，把含參數(shù)的問(wèn)題來(lái)了個(gè)“拆卸”和“組裝”.學(xué)生最懼怕參數(shù)討論，而我們從幾個(gè)具體的例子，逐步抽象出含參數(shù)k的問(wèn)題，讓學(xué)生感到參數(shù)并不神秘高深，我們也會(huì)設(shè)置這樣的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生敢于善于解決含參數(shù)問(wèn)題的信心.

第三，弄清了圓與橢圓的關(guān)系.在學(xué)習(xí)橢圓內(nèi)容之前，我們稱橢圓為“扁圓”，或者說(shuō)把圓壓扁了就是橢圓，其實(shí)這些表述都是含糊的、不準(zhǔn)確的.現(xiàn)在我們可以準(zhǔn)確地表述為“橢圓是將圓的點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)等比例壓縮所得到的圖形”，以后還會(huì)明白，在任意方向上等比例壓縮都可以得到橢圓.

4　關(guān)于習(xí)題的解決

前文說(shuō)到不少教師現(xiàn)在蔑視教材，這其中最受冷遇的恐怕就是習(xí)題了.總覺(jué)得習(xí)題簡(jiǎn)單，高考又不會(huì)考到.多是為學(xué)生購(gòu)買一些教輔資料，這些資料往往又是從所謂“高考神題”“高考題霸”“高考題通”之類的資料上東拼西湊來(lái)的.結(jié)果神題做不來(lái)，課本中習(xí)題又不做，造成基礎(chǔ)知

①習(xí)題中橢圓有多少種給出方式;

②有沒(méi)有其它的給出方式;

③習(xí)題設(shè)計(jì)與之類似的題目，同學(xué)之間交換解題，相互批改.

思考課程目標(biāo)的第一條就是強(qiáng)調(diào)：“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論產(chǎn)生的背景應(yīng)用，體會(huì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用……”

課本習(xí)題不是不精彩，而是教師和學(xué)生都急功近利，造成學(xué)生眼高手低，忽視基礎(chǔ)，對(duì)課本題目不屑一顧.我們?cè)噲D通過(guò)剖析基礎(chǔ)題的思想與方法，讓學(xué)生看到“平凡中的不平凡”.通過(guò)解析高考題，讓學(xué)生看到它們的解法，就是諸多基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的連綴，環(huán)環(huán)相扣.如果有一處信息提取不出或掌握不準(zhǔn)確，就會(huì)掉鏈子.讓學(xué)生相信，“基礎(chǔ)打好，高考不倒”.

“用教材教”是一種理念，不是模式也不是方法.怎樣貫徹這種理念，是見(jiàn)仁見(jiàn)智的事.但它有一個(gè)核心，就是充分地發(fā)揮教材的范本作用，把編寫者的智慧與希冀，在新課程標(biāo)準(zhǔn)理念的指導(dǎo)下，因材施教地落實(shí)在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、意識(shí)、品質(zhì)、素養(yǎng)的提升上.

2016-04-16)