●孫小龍

(如皋市第一中學(xué)　江蘇如皋　226500)

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問(wèn)題打破預(yù)設(shè)師生生成探究*

●孫小龍

(如皋市第一中學(xué)江蘇如皋226500)

學(xué)生在教師預(yù)設(shè)之外提出有價(jià)值的探究性問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)珍惜這個(gè)貼近學(xué)生實(shí)際的探究性資源，并以此為契機(jī)，幫助學(xué)生建構(gòu)循序漸進(jìn)研究問(wèn)題的思維模式，從而在探究中成長(zhǎng)，在探究中提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

問(wèn)題;預(yù)設(shè);生成;探究

筆者任教的是江蘇省四星級(jí)高中高二理科實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，思維活躍，有很強(qiáng)的質(zhì)疑精神，常在預(yù)設(shè)之外提出有價(jià)值的探究性問(wèn)題.筆者欣喜之余，常果斷放棄預(yù)設(shè)，與學(xué)生一起對(duì)質(zhì)疑進(jìn)行深入探索，共尋破解之道，共享探究之樂(lè).如此，學(xué)生的探究體驗(yàn)不斷豐富，在探究中成長(zhǎng)，在探究中強(qiáng)化對(duì)三基的認(rèn)識(shí)，在探究中品味數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè).下面筆者謹(jǐn)以一節(jié)直線與圓復(fù)習(xí)課中“意外探究”與讀者共享.

1　課前預(yù)設(shè)，觸發(fā)問(wèn)題

師：將上述問(wèn)題推廣到一般情況：點(diǎn)P(x0,y0)在⊙C:x2+y2=r2上，求過(guò)點(diǎn)P的⊙C的切線方程.

生2：與剛才的方法一樣，可求得過(guò)點(diǎn)P的⊙C的切線方程為x0x+y0y-r2=0.

生3：還要考慮特殊情況：切線與直線PC中有一條斜率不存在的情況，即x0=0或y0=0，不過(guò)也滿足切線方程x0x+y0y-r2=0.結(jié)合以上，所求的切線方程為x0x+y0y-r2=0.

師：雖然最后切線方程可以合二為一，但不考慮特殊情況，解題就有失嚴(yán)謹(jǐn).有沒(méi)有其他方法求切線方程？

由PQ⊥OP可知

(x-x0)x0+(y-y0)y0=0

從而

x0x+y0y-r2=0.

師：很好，借助向量的數(shù)量積處理垂直問(wèn)題，避免了特殊情況的討論.大家仔細(xì)觀察上面的切線方程與圓的方程之間有沒(méi)有可以總結(jié)的規(guī)律？據(jù)此猜一猜經(jīng)過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程應(yīng)該是什么？

生5：規(guī)律是將圓方程中的平方表示成2個(gè)因式相乘的形式：其中一個(gè)x換成切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，一個(gè)y換成切點(diǎn)縱坐標(biāo)y0，這樣得到的二元一次方程即為切線方程.根據(jù)這個(gè)規(guī)律，經(jīng)過(guò)圓(x-a2)+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程應(yīng)該是

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

師：很好，有理有據(jù)，猜想的結(jié)論也是正確的.可參考上面的2種方法進(jìn)行證明.

筆者話音剛落，有學(xué)生站起來(lái)質(zhì)疑：如果點(diǎn)P(x0,y0)不在圓上，那么這樣表示的直線在哪兒？它與點(diǎn)P之間有什么聯(lián)系呢？

(一石激起千層浪，教室里靜悄悄的，學(xué)生陷入了沉思.)

2　放棄預(yù)設(shè)，生成探究

教師是該按照課前預(yù)設(shè)繼續(xù)進(jìn)行，以“這個(gè)問(wèn)題大家課后思考”一句話帶過(guò)，還是打破課前預(yù)設(shè)，與學(xué)生共同探討呢？開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要渠道.文獻(xiàn)[1]中提到取之于學(xué)生、來(lái)源于教學(xué)實(shí)際的探究性材料最適合學(xué)生，切合學(xué)生的知識(shí)水平和思維層次，學(xué)生參與度高，學(xué)生感覺(jué)自然、親切、興趣濃.這樣的探究性契機(jī)稍縱即逝，非常寶貴，值得珍惜.略一思忖，筆者決定果斷放棄課前預(yù)設(shè)，現(xiàn)場(chǎng)生成，與學(xué)生一起探究和體驗(yàn).

師：這個(gè)同學(xué)問(wèn)題提得非常好，出乎我的意料，我們一起來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題.現(xiàn)在不能立即確定直線的位置，但能否對(duì)這條直線的位置有個(gè)粗略地預(yù)判？

生6：如果點(diǎn)P在圓外，應(yīng)該不是過(guò)點(diǎn)P的切線(因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P有2條切線，所以不可能只有1個(gè)方程).

生7：如果點(diǎn)P在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P就沒(méi)有切線；如果點(diǎn)P與圓心重合，那么方程(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2就不表示直線了，我認(rèn)為應(yīng)該限制點(diǎn)P與圓心重合，這樣方程才能表示直線.

師：很好，生7思考得很周到，將提出的問(wèn)題進(jìn)行完善，難能可貴.要確定這條直線的具體位置，可以通過(guò)研究這條直線的相關(guān)特征來(lái)定位.不妨先從簡(jiǎn)單的圓x2+y2=r2來(lái)研究直線l：x0x+y0y-r2=0的位置特征.

下面各小組先就點(diǎn)P(x0,y0)在圓外時(shí)進(jìn)行討論交流，并推薦一名代表發(fā)言.頓時(shí)教室內(nèi)人頭攢動(dòng)，爭(zhēng)論聲此起彼伏，探究的快樂(lè)洋溢在學(xué)生的臉上.

1)點(diǎn)P和圓心O的坐標(biāo)均不適合方程x0x+y0y-r2=0，因此直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和圓心O；

2)由(x0·0+y0·0-r2)(x0x0+y0y0-r2)<0可得點(diǎn)O,P位于直線l的2側(cè).

師：根據(jù)上述特征只能確定直線位置的粗略范圍，仍不能具體確定直線的位置.

師：只是進(jìn)一步縮小了范圍，還不能確定，還需要進(jìn)一步研究.

r2=d·OP，

即

從而△OAP∽△OAC(如圖1所示)，于是OA⊥AP，同理可得OB⊥BP，因此A,B為過(guò)點(diǎn)P的2條切線與⊙O的切點(diǎn)，故點(diǎn)A,B唯一確定，直線l也唯一確定.

圖1　　　　　　　　　　　　圖2

師：真的很棒，為你們的探究喝彩，為你們的探究精神鼓掌！從上面的探究可知：當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓外時(shí)，x0x+y0y-r2=0表示的直線為過(guò)點(diǎn)P的2條切線的切點(diǎn)連成的直線，簡(jiǎn)稱為切點(diǎn)弦所在的直線.

師：當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓內(nèi)且不與圓心重合時(shí)，直線l：x0x+y0y-r2=0又在哪里？

各小組經(jīng)過(guò)片刻討論后，給出了如下類似的特征：

直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P；點(diǎn)O,P位于直線l的同側(cè)；OP⊥l；直線l與⊙O相離；r2=d·OP.

根據(jù)上述特征便可確定直線l的具體位置：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線OP的垂線，交⊙O于點(diǎn)A,B，過(guò)點(diǎn)A,B作⊙O的切線交直線OP于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作與OP垂直的直線即為方程x0x+y0y-r2=0表示的直線l.

3　問(wèn)題再生，深度探究

生12：上述結(jié)論在課本上并沒(méi)有，在填空題中可以直接加以使用，但解答題應(yīng)該需要詳細(xì)規(guī)范的推導(dǎo)過(guò)程，如何直接推導(dǎo)呢？

師：很好，那我們以具體的題目為例來(lái)探究直線l的推導(dǎo)過(guò)程.

例2已知⊙C:x2+y2-2x-4y-4=0外一點(diǎn)P(-4,-1)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線PA,PB，求過(guò)切點(diǎn)A,B的直線方程.

師：下面各小組交流討論，派代表將解法展示到黑板上.

各小組探究的積極性得到了進(jìn)一步的調(diào)動(dòng)，爭(zhēng)先恐后進(jìn)行展示，筆者選擇了其中有代表性的5種方法簡(jiǎn)略展示如下：

方法1(斜率+點(diǎn))

如圖3，聯(lián)結(jié)AB交PC于點(diǎn)D，由對(duì)稱性可知CP⊥AB，由PA是⊙C的切線可得AC⊥PA.⊙C的方程x2+y2-2x-4=0可化為

(x-1)2+(y-2)2=9，

圖3

從而

設(shè)D(x,y)，由向量等式可得

從而

從而

因此直線AB的方程為

即

5x+3y-2=0.

方法2(斜率+d+取舍)

即

5x+3y-3m=0，

從而

解得

3m=2或3m=20.

因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)C位于直線AB的2側(cè)，由線性規(guī)劃可得

(11-3m)(-23-3m)<0，

從而

-23<3m<11，

于是3m=2，故直線AB的方程為

5x+3y-2=0.

方法3(相交弦法)

由PA=PB可得點(diǎn)A，B在以點(diǎn)P為圓心、PA為半徑的圓上，從而直線AB為⊙C與⊙P的相交弦.由上述計(jì)算可知PA=5，⊙P的方程為

(x+4)2+(y+1)2=25，

結(jié)合⊙C的方程，可得直線AB的方程為

5x+3y-2=0.

方法4(相交弦法)

由圖3可知，點(diǎn)A，P，B，C共圓，該圓以PC為直徑，可得圓的方程為

(x+4)(x-1)+(y+1)(y-2)=0，

從而直線AB為⊙C與該圓的相交弦.結(jié)合⊙C的方程，可得直線AB的方程為

5x+3y-2=0.

方法5(方程思想)

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),由圓上一點(diǎn)處的切線方程可得直線PA的方程為

(x1-1)(x-1)+(y1-2)(y-2)=9，

此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，從而

-5(x1-1)-3(y1-2)=9，

化簡(jiǎn)可得

5x1+3y1-2=0，

同理可得

5x2+3y2-2=0.

因此點(diǎn)A,B均滿足方程

5x+3y-2=0，

方程5x+3y-2=0表示一條直線，而2個(gè)點(diǎn)確定一條直線，因此5x+3y-2=0即為直線AB的方程.

師：上面各小組從多個(gè)角度展示了直線l的求法，非常到位.課后自己設(shè)計(jì)一道點(diǎn)P在圓內(nèi)的試題進(jìn)行自我探究，相信你一定可以想到很多方法，一定會(huì)有更多收獲.

4　教后思考

1)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.問(wèn)起于題，疑源于思，正如亞里士多德所言“思維從疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始”.學(xué)生有疑而問(wèn)體現(xiàn)了一種求知欲，閃爍著智慧的火花.善疑勤問(wèn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力.教師要把學(xué)生培養(yǎng)成一個(gè)有想法、敢質(zhì)疑、會(huì)提問(wèn)的積極思考者，要充分保護(hù)學(xué)生提問(wèn)的積極性，對(duì)提出“優(yōu)”問(wèn)題的學(xué)生要大力表?yè)P(yáng)，鼓勵(lì)學(xué)生有疑必問(wèn)[2].一個(gè)好的問(wèn)題必定來(lái)源于學(xué)生深層次的思考，讓提問(wèn)題、提好問(wèn)題蔚然成風(fēng).讓學(xué)生在問(wèn)題的引領(lǐng)下鞏固知識(shí)，根植方法，為持續(xù)學(xué)習(xí)注入動(dòng)力，注入活力.

2)充分利用來(lái)源于教學(xué)實(shí)際的探究性資源.適時(shí)開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)，對(duì)提高學(xué)生思維能力的重要性毋庸置疑，實(shí)際操作起來(lái)最困難的是找不到適合學(xué)生的探究性材料，極易脫離學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)不起學(xué)生探究的興趣，往往有其形而失其神[3].而來(lái)源于教學(xué)實(shí)際、取之于學(xué)生的探究性材料貼近學(xué)生實(shí)際，是學(xué)生有感而發(fā)的流露，學(xué)生感覺(jué)自然、親切，此時(shí)學(xué)生的求知欲望最強(qiáng)烈，是開(kāi)展探究性活動(dòng)的最佳時(shí)機(jī)，效果不言而喻.教師要充分挖掘來(lái)源于教學(xué)實(shí)際(學(xué)生提問(wèn)、學(xué)生作業(yè)等)的探究性資源，以此為契機(jī)，建構(gòu)循序漸進(jìn)研究問(wèn)題的思維模式，增強(qiáng)學(xué)生自我破解問(wèn)題的能力.

3)教師要有探究意識(shí)、探究精神.有了探究意識(shí)，教師才能抓住教學(xué)實(shí)踐中值得研究的問(wèn)題.有了探究精神，教師自身才能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)探究性材料，才能經(jīng)常性地開(kāi)展自我探究活動(dòng)，才能分辨教學(xué)實(shí)際中有價(jià)值的探究，才能在探究中幫助學(xué)生修正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式，對(duì)學(xué)生探究活動(dòng)的指導(dǎo)才能夠高屋建瓴，長(zhǎng)此以往，必將潛移默化地提升學(xué)生的思維及解題能力.

[1]張昌盛．家常探究一條開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)的好渠道[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2016(1)：43-46．

[2]趙婭芳.淺談數(shù)學(xué)課堂生成教學(xué)的實(shí)施策略[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2008(7):10-11.

[3]張健.新課程理念下的生成性教學(xué)及其實(shí)施策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2007(19):21-23.

*收文日期：2016-04-19；2016-05-25

孫小龍(1976-)，男，江蘇如皋人，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-19-04