● 岳 峻
(太和中學 安徽阜陽 236600)
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2016年數(shù)學高考全國卷理科第20題的探究*
● 岳峻
(太和中學安徽阜陽236600)
2016年數(shù)學高考全國卷理科第20題,立意深刻、內蘊厚重,通過多維探究,挖掘其背景,得到圓錐曲線焦點弦的長度表達式,進而探究圓錐曲線垂直焦點弦的長度的最值與定值,提升學生的數(shù)學學科素養(yǎng).
圓錐曲線;焦點弦;長度;垂直;探究
例1設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交⊙A于點C,D,過點B作AC的平行線交AD于點E.
1)證明:|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;
2)設點E的軌跡為曲線C1,交直線l于點M,N,過點B且與l垂直的直線與⊙A交于點P,Q,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
(2016年數(shù)學高考全國卷理科試題第20題)
數(shù)學高考試題年年歲歲題相似,歲歲年年意不同.高考試題是命題者精心設計、匠心獨運的成果,往往都蘊含著深厚的背景、豐富的數(shù)學文化與數(shù)學思想.許多高考真題看似平淡無奇,其實是呈現(xiàn)簡潔、極富韻味的好題,值得我們細細品味.高三復習教學應引導學生把特殊問題納入更一般的范圍,從特殊推廣到一般,揭示事物的普遍規(guī)律,促使學生從會解一道題到會解一類題,由低層次到高層次,把數(shù)學思維提高到由例及類的層次,加速數(shù)學思維的優(yōu)化.
圖1
從而
(3m2+4)y2+6my-9=0,
又圓心A到PQ的距離為
從而
于是四邊形MPNQ的面積為
解法2設∠MBA=θ(其中θ∈(0,π)),則在△MAB中應用余弦定理,得
|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB|·|AB|cosθ.
由|MB|+|MB|=4,|AB|=2,知
同理可得
從而
ysinθ-xcosθ+cosθ=0,
從而圓心A到直線PQ的距離d=|2cosθ|,于是
于是四邊形MPNQ的面積為
《論語》曰:“舉一隅不以三隅反,則不復也.”身為一線教師,我們應堅持以學生為本、落實新課標精神,經(jīng)常選取一些呈現(xiàn)簡潔、意境幽深、極富韻味的高考真題,引領學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題,而且還要在多維剖析試題的基礎上,透過表面現(xiàn)象看其本質,加以引伸、拓寬、變化,引導學生從形式的“變”發(fā)現(xiàn)本質的“不變”,從本質的“不變”探索形式的“變”的規(guī)律,逐步提升學生的數(shù)學思維素養(yǎng)[1].
分析設直線l的方程為x=my+c,則m=cotθ,聯(lián)立
得
(m2b2+a2)y2+2mcb2y-b4=0,
若直線l的方程為y=0,則θ=0,于是
依然成立.
同理,對橢圓的左焦點進行類似地研究,可以得到:
探究2橢圓的焦點弦的這個結論是否適用于雙曲線呢?如果不適用,又會有怎樣的結論呢?
得
(m2b2-a2)y2+2mcb2y+b4=0,
從而
若直線l的方程為y=0,則θ=0,從而
依然成立.
探究3拋物線的焦點弦呢?同理可得拋物線的類似性質:
探究4拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點為F,過點F作2條相互垂直的直線l,m分別與橢圓C交于點A,B和點D,E.設直線l的傾斜角為θ,則
從而
故
定理4拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點為F,過點F作2條相互垂直的直線l,m分別與橢圓C交于點A,B和點D,E.設直線l的傾斜角為θ,則
1)當(b2-a2k2)(b2k2-a2)>0時,
2)當(b2-a2k2)(b2k2-a2)<0時,
例2設F是拋物線G:x2=4y的焦點.
1)過點P(0,-4)作拋物線G的切線,求切線方程;
(2007年安徽省數(shù)學高考文科試題)
1)求橢圓C的方程;
3)過點F1(-2,0)作2條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A,B和點D,E,求|AB|+|DE|的最小值.
(2008年安徽省數(shù)學高考文科試題)
例4已知點M到點F(1,0)和直線x=-1的距離相等,記點M的軌跡為C.
1)求軌跡C的方程;
(2014年福建省泉州市質檢考試數(shù)學試題)
對于起到壓軸作用的解答題,教師要引導學生學會相關處理策略,力爭化大為小、化難為易、化繁為簡,把一道難題分解為若干個小題,或分解為若干步完成,或即使不能完整做出,也能“掙”到部分分數(shù),分層出擊,各個擊破,使學生的實際水平得以充分發(fā)揮.
為此,在平時的復習教學中,教師要有意識地挖掘高考試題的背景信息,力促高考真題的引領活力,展現(xiàn)真題功能,挖掘真題潛能.教師要以學生認識規(guī)律的角度,注重由淺及深,展開變式,引領學生在其思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”遞進式地探索,關注解題后的對問題本質的透視,真正做到“悟其必然,品其真味”,逐步提升學生的數(shù)學思維素養(yǎng)[2],提升解題的驅動力和數(shù)學的學科素養(yǎng).這就是數(shù)學教學的核心之所在.
[1]岳峻.提升數(shù)學思維素養(yǎng)的教學實踐與反思[J].中學數(shù)學,2015(12):94-96.
[2]岳峻.透析考題信息提升解題驅動力——賞析2015年湖北卷21題[J].中學教研(數(shù)學),2015(8):30-32.
*收文日期:2016-06-11;2016-07-05
岳峻(1968-),男,安徽阜陽人,中學高級教師.研究方向:數(shù)學教育.
O123.1
A
1003-6407(2016)08-44-04