●黃新民

(溫州市教育教學研究院　浙江溫州　325000)

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“等弧度三圓共點圖”的幾個有趣性質*

●黃新民

(溫州市教育教學研究院浙江溫州325000)

數(shù)學中有美，美中有數(shù)學.數(shù)學之美無處不在，探求數(shù)學之美，是廣大數(shù)學愛好者樂此不疲的事.美麗的幾何圖形，往往蘊含著諸多美妙的數(shù)學性質.文章構造了一個漂亮的“等弧度三圓共點圖”，并對其作深入探究，發(fā)現(xiàn)有許多有趣的性質.

等弧度;三圓共點圖;四點共圓

數(shù)學之美無處不在，數(shù)學愛好者對數(shù)學內在美的探求孜孜不倦，樂此不疲.筆者最近在研究共點圓中，構造了一個漂亮的“等弧度三圓共點圖”(如圖1)，并發(fā)現(xiàn)圖中蘊含著許多美妙的幾何性質[1].

圖1 圖2

為敘述方便，先證明下面的結論：

∠EAB+∠CAQ+∠CAB=180°，

即點E，Q，A共線.

圖3　　　　　　　　　圖4

性質1的證明[3]因為點E，D，F(xiàn)，G分別是⊙O2，⊙O1上4段弧的中點，所以點E，D，F(xiàn)，G，O1，O2共線，以下分2種情況：

因此∠AQN=∠AED，O1Q=O1E,而O1F=O1M,故EF=MQ.

下證DG=MN.聯(lián)結AN，AD，GM，因為NA⊥EQ，DA⊥EQ，所以點A，N，D共線.又FM∥QE，GM⊥FM，從而AD⊥FM,因此

AD∥GM.

由O1G=O1M，得DG=MN，即

EF+DG=NM+MQ=NQ(即⊙O3的直徑).

證明聯(lián)結AB，AC，BC，AD，BO2，過點D分別作⊙O2，⊙O3的直徑DG，DF，聯(lián)結O1O2并延長交⊙O2于點E，聯(lián)結O1O3并延長交⊙O3于點H，聯(lián)結AG，AF(如圖5).

因為DG，DF都是直徑，所以

∠BAC=∠CFA，∠1+∠3=∠2+∠3,

所以

∠1=∠2，∠GO2B=∠AO3F.

由點E在O1O2的延長線上，點H在O1O3的延長線上，得

∠GO2E=∠HO3F，

即

∠O1O2D=∠O1O3D，

故點O1，O2，O3，D共圓.

圖5　　　　　　　　　圖6

證明聯(lián)結AB，AC，不妨設AB>AC，分2種情況：若割線經(jīng)過點D，則點E，F(xiàn)都與點D重合，顯然結論成立.當割線不經(jīng)過點D時，分以下2種情況：

∠AEB=∠BAC=∠AFC,

從而

∠ACF+∠FAC=∠BAE+∠FAC,

因此

∠ACF=∠BAE.

又∠ACF=∠HGA,從而

∠HGA=∠BAE,

于是

即

因此

AB=GH.

由△ABE≌△GHF知AE=FG,故

EG=AF.

圖7　　　　　　　　　圖8

∠BEA=∠AFC=∠GFH,

即

∠1+∠3=∠2+∠3,

故

∠1=∠2.

又∠4=∠2，從而∠1=∠4,即

∠ACB=∠HCG，

因此

AB=HG.

由∠1=∠AGH，知∠2=∠AGH.在△ABE與△GHF中，

∠BEA=∠GFH，∠2=∠AGH，AB=HG,

于是

△ABE≌△GHF，

從而

AE=GF,

故

EG=AF.

綜上所述，性質3得證.

圖9　　　　　　　　　圖10

限于篇幅，這里我們把性質4和性質5的證明省略.

美麗圖形背后往往隱藏著諸多漂亮的數(shù)學結論.有關“等弧度三圓共點圖”肯定還有其他有趣的結論，讀者可以繼續(xù)去探究去發(fā)現(xiàn).

[1]李良銀.關于三角形中三圓共點問題的探討[J].宿州教育學院學報,2005,8(4):94-95.

[2]黃新民，劉臻.一道數(shù)學中考題的變式與探究[J].中學教研(數(shù)學),2015(10)：46-47.

[3]黃新民.簡談整點多邊形的存在性問題[J].中學教研(數(shù)學),2012(3):4-5.

*收文日期：2016-04-17；2016-05-20

黃新民(1957-)男，浙江溫州人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-27-03