●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué)　浙江杭州　310012)

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特色依然再現(xiàn)波瀾*

——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題評析

●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué)浙江杭州310012)

文章對2016年浙江省數(shù)學(xué)高考卷的特色進(jìn)行評析，揭示高考試卷的命題規(guī)律，及命題發(fā)生的變化，分析試題對教學(xué)的導(dǎo)向，及對命題與教學(xué)中熱點(diǎn)問題的認(rèn)識．

命題特色；高三教學(xué)；改編習(xí)題；思維能力.

2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題秉承了“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的鮮明特色，穩(wěn)中求變，形式簡潔，立意高遠(yuǎn)，注重本質(zhì)，充分考查了學(xué)生的核心素養(yǎng)，有利于高校選拔新生．然而，考后來自教師及考生的各種吐槽聲不絕于耳，再次引發(fā)了今后“教師該如何教”與“學(xué)生該如何學(xué)”的許多思考．筆者也對2016年的試題作了認(rèn)真研究，現(xiàn)把一些感想與認(rèn)識寫出來，與大家共同探討．

1　特色依然

試卷貫徹浙江省課改精神，依照省學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見、省考試說明，秉承了“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的命題特色，貼近學(xué)生實(shí)際，突出對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了較好的選拔功能．

1．1植根教材，突出主干

1.1.1植根教材

試題立足教材而不拘泥于教材，平和樸實(shí)，內(nèi)涵深刻，代數(shù)試題蘊(yùn)含幾何背景，幾何試題滲透代數(shù)思想，如理科卷第1～5，7，9～13，16題以及第17，19題的第1)小題；文科卷第1，2，4，5，9～12題以及第17～20題的第1)小題都是基礎(chǔ)題，源于課本，或從課本中的例題、習(xí)題直接改編而來．全面覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的主干知識模塊，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既全面又突出重點(diǎn)，層次分明．

1.1.2和而不同

試題充分考慮文、理科學(xué)生在學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)遷移上的差異：完全相同的題目有3道，姐妹題有3道，完全不同的題目有14道．理科卷側(cè)重理性思維和抽象概括，文科卷側(cè)重形象思維和定量處理．

例1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.

1)證明：A=2B.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第16題)

本題考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變形等基礎(chǔ)知識及轉(zhuǎn)化能力，理科第2)小題考查方程思想及分類討論思想，而文科只需利用第1)小題的結(jié)論，化未知為已知，利用和角、二倍角公式便可解決．

1.2推陳出新，通性通法

1.2.1推陳出新

試卷中許多問題是將熟悉的問題進(jìn)行改編而成的，看似平淡，仔細(xì)品味發(fā)現(xiàn)這些試題不落俗套，給人以耳目一新之感，能較好區(qū)分學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識、基本方法的情況．

例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*.

1)求通項(xiàng)公式an；

2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第17題)

本題第1)小題，已知數(shù)列的和Sn與項(xiàng)an+1的關(guān)系式，求通項(xiàng)公式，是學(xué)生熟悉的問題，對于基礎(chǔ)扎實(shí)的學(xué)生來說容易解決；第2)小題把學(xué)生熟悉的問題：把求同時(shí)存在正項(xiàng)、負(fù)項(xiàng)的等差數(shù)列的絕對值組成數(shù)列的前n項(xiàng)和，改為求|3n-1-n-2|的前n項(xiàng)和，解題方法完全相同．

類似的還有理科卷第3，5題，文科卷第4，13題．

1.2.2規(guī)避題海

檢測學(xué)生在新穎問題背景中解決問題的能力及遷移能力，試卷在規(guī)避題海上下足了功夫，解決這些試題需要有較好的觀察能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化能力，很好地體現(xiàn)了以能力立意的高考試題的特點(diǎn)．

如理科卷第17題和文科卷第18題，以三棱臺為載體考查學(xué)生的空間想象能力、空間位置關(guān)系的論證及空間角的計(jì)算，而往年考的幾何體為棱柱與棱錐，平常學(xué)生做的題也很少觸及棱臺，其實(shí)將三棱臺的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，便得到三棱錐，問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐問題．

此外還有理科卷第19題的第2)小題．

1.3背景新穎,注重本質(zhì)

1.3.1蘊(yùn)含模型

依據(jù)數(shù)學(xué)模型設(shè)置問題，若能發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含在問題中的模型(背景)，則可以較快地解決問題，這類題目考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，有利于區(qū)分程度不同的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

例3如圖1，在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA,PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是______．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

本題實(shí)質(zhì)為:在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°．D為線段AC上的點(diǎn)，沿直線BD將△ABD翻折成△PBD，則四面體PBCD體積的最大值是______．

圖1 圖2

如圖2，先固定點(diǎn)D，則△BCD的面積為定值，當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí)，四面體PBCD的體積最大,此時(shí)過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H,則PH⊥BD,從而PH⊥平面BCD,于是

從而

本題將翻折(數(shù)學(xué)模型)隱藏起來，若能發(fā)現(xiàn)本題實(shí)為翻折問題，則迎刃而解，需要考生具有模型化思想，且具備深刻的洞察能力．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題)

圖3 圖4

本題將模型——“圓臺”隱藏起來，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的立體幾何最值問題，解題時(shí)從動(dòng)點(diǎn)軌跡的視角不難發(fā)現(xiàn)圓臺，從而將復(fù)雜的問題變得簡單．

1.3.2玩味概念

彰顯“數(shù)學(xué)在根本上是玩概念而不是玩技巧的”，設(shè)計(jì)試題檢測對高中數(shù)學(xué)概念的理解與掌握程度，或設(shè)計(jì)閱讀理解問題，檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的水平，考查學(xué)生未來發(fā)展所需的能力．

圖5

例5如圖5，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的2條邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*;|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(其中P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積，則

()

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題理科第6題、文科第8題)

方法1(利用特殊化思想)將隱去的銳角顯現(xiàn)，設(shè)頂點(diǎn)為O,由已知得{|OAn|}，{|OBn|}都成等差數(shù)列，取銳角為60°，則|OA1|=1,|A1A2|=2,|OB1|=2,|B1B2|=1,從而

故選A.

方法2(直接利用等差數(shù)列的性質(zhì))將隱去的銳角顯現(xiàn)，設(shè)頂點(diǎn)為O,由已知得{|OAn|}，{|OBn|}都成等差數(shù)列.設(shè)銳角大小為θ，過點(diǎn)An作AnHn⊥BnBn+1于點(diǎn)Hn，則

|AnHn|=|OAn|sinθ,

從而

因此{(lán)Sn}是等差數(shù)列.故選A.

這是一道閱讀理解題，問題中給出2個(gè)點(diǎn)列，分別在銳角的2條邊上，探索2個(gè)點(diǎn)列的性質(zhì).本題僅研究距離與面積數(shù)列的性質(zhì)，需要考生在錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形中，觀察、分析、歸納、概括、驗(yàn)證.這樣的考題真正考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析和理解能力，也說明了命題者匠心獨(dú)運(yùn)的價(jià)值取向．

類似的題目還有文科卷第7題．

1.3.3渾然天成

高度的抽象性、思維的靈活性和應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)．試卷不乏具有問題的綜合性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點(diǎn)的試題．試題分步設(shè)問，讓學(xué)生有“欲罷不能”之感，試題呈現(xiàn)“入手容易、階梯遞進(jìn)、拾級而上”的特點(diǎn)，可謂渾然天成！入口容易，然而要順利解答需要深厚的基本功，要深入徹底地解決問題還需要有靈活的運(yùn)算和思維能力、扎實(shí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及戰(zhàn)勝困難的勇氣.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

此題是數(shù)列不等式問題，給出數(shù)列的遞推不等式，研究數(shù)列的項(xiàng)的估計(jì)問題．

第1)小題的2種解法如下：

思路利用實(shí)數(shù)三角不等式，再利用累加法、放縮法.

|an+1|≥2|an|-2，

即

故

|an|≥2n-1(|a1|-2).

|an+1|≥2|an|-2，

即

|an+1|-2≥2(|an|-2),

從而|an|-2≥2(|an-1|-2)≥

22(|an-2|-2)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

故|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2),

于是

|an|≥2n-1(|a1|-2).

第2)小題的證明如下：

證明(反證法)假設(shè)存在正整數(shù)k，使|ak|>2，同第1)小題可得，當(dāng)n≥k時(shí)，

|an|≥2n-k(|ak|-2).

即

本題考查學(xué)生的觀察、歸納、化歸、綜合運(yùn)用知識解決問題的能力及良好的思維品質(zhì)，解題的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美，結(jié)果體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美，突出了試題的文化價(jià)值．

此外還有理科卷第8，15題、文科卷第15，20題．

2　再現(xiàn)波瀾

整份試卷貫穿雙基，立足通性通法的考查，考活題，重本質(zhì)，以此來甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，再一次給人以“做題不在多，有法則行”的感覺．?dāng)?shù)學(xué)科目高考剛結(jié)束，考生的神情凝重，一時(shí)輿論嘩然，許多學(xué)生說高三一年的復(fù)習(xí)幾乎沒提高自己的數(shù)學(xué)水平，許多高三數(shù)學(xué)教師在網(wǎng)絡(luò)上吐槽，高考試卷這么難，今后怎么教學(xué)，將矛頭指向命題教師．對高考應(yīng)怎么考？怎么教學(xué)？再次引發(fā)了大討論，以下談?wù)劰P者的一些認(rèn)識．

2.1我們需要怎樣的高考試卷

高考要為高校選拔新生，又要為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起良好導(dǎo)向作用，這是大家的共識．浙江省近幾年的數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)盡可能地從數(shù)學(xué)問題或幾何背景出發(fā)，構(gòu)造出素材樸實(shí)、內(nèi)蘊(yùn)豐富的試題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，堅(jiān)持出基礎(chǔ)題，又出活題，突出對學(xué)生能力的考查．當(dāng)下絕大部分學(xué)校高三在周六、寒暑假補(bǔ)課，節(jié)假日上課，不惜以犧牲學(xué)生與教師的休息時(shí)間為代價(jià)，這些學(xué)校的學(xué)生假如提前1年參加高考考出的分?jǐn)?shù)比現(xiàn)在考出的分?jǐn)?shù)低得很有限，可見我們的高三復(fù)習(xí)代價(jià)太高，而且以犧牲學(xué)生的興趣為代價(jià)，導(dǎo)致許多學(xué)生喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．如果數(shù)學(xué)高考試題都出一些常規(guī)題，加班加點(diǎn)的學(xué)校會占較大便宜(大前提是有部分學(xué)校抓得不緊)，那樣會更嚴(yán)重地破壞學(xué)校教學(xué)的生態(tài)，此外選拔功能該如何體現(xiàn)，也是一個(gè)大問題．客觀地說，這幾年浙江卷的難度是大了些，超出了中、下學(xué)生的能力范圍，如果難度適當(dāng)降低，并秉承出新題重本質(zhì)的特色，再增加一些應(yīng)用性問題，借鑒國外的考試內(nèi)容，將會更好．

2．2我們的教學(xué)該怎樣定位

我們的教學(xué)需要合理定位，應(yīng)該清楚并不是所有的學(xué)生在高考中都可以拿高分，讓不同的學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)，并期待在高考中取得屬于他們的理想成績，這才是我們的教學(xué)目標(biāo)．基于此認(rèn)識，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分認(rèn)識到學(xué)生的數(shù)學(xué)水平是有差異的，合理確定每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求與高考定位．

2.3我們需要怎樣的高三數(shù)學(xué)教學(xué)

近年來，許多教師逐漸認(rèn)識到如果不改變教學(xué)策略，必然難以適應(yīng)高考．高考剛結(jié)束，教師都有陣痛，不久又“我行我素”．許多高三數(shù)學(xué)課堂“應(yīng)試味”越來越濃，失去了“本真”的數(shù)學(xué)課堂，課堂上“滿堂灌”，課外“大運(yùn)動(dòng)量的訓(xùn)練”，把學(xué)生培養(yǎng)成“解題的機(jī)器”.這種快節(jié)奏的教學(xué)，必然導(dǎo)致學(xué)生的思考力不斷地下降，自然不能適應(yīng)以能力立意的高考．

在平時(shí)的教學(xué)中，要立足于教材，重視教材的使用.精選習(xí)題，注重通性通法、突出思維能力和運(yùn)算能力的培養(yǎng)，讓教學(xué)節(jié)奏“慢下來”，教學(xué)生會思考，鍛煉學(xué)生良好的思維品質(zhì)．

加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注概念的理解和運(yùn)用，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).為此,教學(xué)中應(yīng)做到“三性”，即對知識理解的深刻性、掌握的全面性、運(yùn)用的靈活性，以促使學(xué)生形成綜合性的知識體系.

有意識地選擇一些有多種方法的典型問題，啟發(fā)學(xué)生從多角度思考，比較方法的繁簡．此外,許多數(shù)學(xué)問題的方法不是唯一的，有些方法教師一時(shí)也想不到.教師要營造課堂氛圍，給學(xué)生思考問題的時(shí)間與空間，放下架子，傾聽學(xué)生的一些想法，引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的方法解決問題，在方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)及適用的情境，從而突破瓶頸，以不變應(yīng)萬變．

期望學(xué)生在高考考場上能夠解決新穎問題，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考．許多新穎問題看似復(fù)雜，但它們大多與熟知的問題有著內(nèi)在的聯(lián)系,并具有相同或相似的數(shù)學(xué)模型．在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提煉數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題，使復(fù)雜問題簡單化.這既有利于培養(yǎng)學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的分析問題能力，又可以開拓學(xué)生的思維空間，提高解決問題的能力．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，積累必要的數(shù)學(xué)模型，對幫助學(xué)生解決新穎問題大有裨益．

在教學(xué)中引入條件或結(jié)論具有開放性的問題和某些從實(shí)際生活中提出的需要探求答案的問題，或者對課堂上的某些問題適當(dāng)加以延伸、推廣等，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，這會使課堂教學(xué)充滿生機(jī)和活力，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

*收文日期：2016-06-09；2016-07-09

鄭日鋒(1962-)，男，浙江瑞安人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)08-32-05