●鄧群毅
(浙江大學附屬中學 浙江杭州 310007)
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活躍在數(shù)學高考中的三角不等式*
●鄧群毅
(浙江大學附屬中學浙江杭州310007)
文章借助三角不等式,對2016年浙江省數(shù)學高考試題中的向量和數(shù)列問題進行了研究,期望對讀者進行解題細節(jié)上的指導,提高對新穎問題的解決能力.通過解法展示,指出教師需要關注知識的交匯,提高對問題模式的識別能力.
三角不等式;解法;教學啟示
2016年高考已經落下帷幕,有關數(shù)學高考試題的研究正在火熱進行中,筆者發(fā)現(xiàn)與三角不等式有關的問題在浙江省數(shù)學高考文、理科試卷中都有呈現(xiàn).經過研究,筆者得到了一些處理方法,希望對今后的解題教學能起到一定的指導作用.
縱觀2016年浙江省數(shù)學高考文、理科試卷,筆者發(fā)現(xiàn)以下問題與三角不等式有關:
例1已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是______.
(2016年浙江省數(shù)學高考文科試題第15題)
(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第15題)
1)證明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*;
2)略.
(2016年浙江省數(shù)學高考理科試題第20題)
平面向量和數(shù)列是高中數(shù)學的重點內容,是學習高等數(shù)學的基礎,也是高考經??疾榈臒狳c之一.2015年的浙江省數(shù)學高考理科試題第14題考查了絕對值三角不等式的應用,2016年的數(shù)學高考中對三角不等式的涉及面有所拓廣,與平面向量結合,強調了其應用的廣泛性,可以說是意料之外,又在情理之中.另外,2016年理科數(shù)列問題考查了對遞推不等式的處理方法,檢驗了學生選擇有效解題工具的能力.
從試題上看,三角不等式的應用主要考查學生的問題轉化和代數(shù)變形能力,用簡單的數(shù)學語言道出了“平平淡淡才是真”的真諦.
本文需要用到以下絕對值三角不等式:
若x,y為2個實數(shù),則
|x|-|y|≤|x±y|≤|x|+|y|.
例1的解答(坐標化與絕對值三角不等式)
不妨設e=(1,0),a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ).由a·b=1得
下面分2種情況討論:
|a·e|+|b·e|=|cosα|+2|cosβ|=
由sin2α+cos2α=1得
3m2+(n-m)2=3,
于是,利用絕對值三角不等式和柯西不等式,得
|a·e|+|b·e|=|m|+|n|≤
|m|+|(n-m)+m|=
|m|+|n-m|+|m|=
2|m|+|n-m|=
利用柯西不等式的取等條件,容易檢驗等號可以成立.
評注本題巧妙地引入了坐標化方法,利用數(shù)量積的坐標運算,轉化為三角最值問題,通過利用絕對值三角不等式和柯西不等式(也可使用均值不等式),得到了最大值.坐標化方法的引入,極大地降低了思維難度,把問題求解轉化為學生熟悉的計算問題.
例2的解答(絕對值三角不等式)
|(a+b)·e|=|a·e+b·e|≤
2邊平方,得
|a|2+2a·b+|b|2≤6,
代入已知條件|a|=1,|b|=2,得
評注1本題其實也可以使用坐標化方法處理,但是利用絕對值三角不等式處理,簡潔明了,更好地把握了問題的實質.
評注2例1和例2是一對條件與結果“互逆”的問題,但是求解的難度大不相同,互換條件和結論,也為我們平時編題提供了嘗試的方向.
例3的解答(絕對值三角不等式)
即
|an+1|≥2|an|-2,
于是
|an+1|-2≥2(|an|-2).
不斷使用上面的遞推不等式,得
|an|-2≥2(|an-1|-2)≥
22(|an-2|-2|)≥…≥
2n-1(|a1|-2),
因此|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2).
評注利用絕對值三角不等式,得到顯性的遞推不等式,重復使用該不等式,最后得到數(shù)列通項絕對值的指數(shù)下界估計.
鑒于三角不等式在高考試題中的活躍表現(xiàn),教師應對它加強關注,給予該解題工具應有的地位.在教學中,要關注三角不等式與哪些知識可以進行交匯、可以設計哪些數(shù)學問題.對問題模式的識別需要達到精準的程度,進而為問題解決作出快速的方向判斷.
*收文日期:2016-06-12;2016-07-05
鄧群毅(1987-),男,浙江遂昌人,中學二級教師.研究方向:數(shù)學教育.
O123.1
A
1003-6407(2016)08-42-02