刁品泉

七年級(jí)下冊(cè)課內(nèi)習(xí)題延展
——因式分解中的數(shù)學(xué)思想

刁品泉

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用.學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維和運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力.

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫作把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（也可以叫分解因式），它的定義確實(shí)簡(jiǎn)單，但也足夠抽象，主要還是強(qiáng)調(diào)形式上的變化.課本上介紹的方法也很常規(guī)，主要是兩種方法：提公因式法和運(yùn)用公式法.但是想要順利解決它卻是件不太容易的事情.我認(rèn)為，了解因式分解中的數(shù)學(xué)思想尤為重要.我將通過(guò)課內(nèi)習(xí)題中的幾個(gè)典型例題略作介紹：

一、整體思想

所謂用整體思想來(lái)分解因式，就是將要分解的多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)看成一個(gè)整體而加以分解.

例1把多項(xiàng)式（x2-1）2+6（1-x2）+9分解因式.

【分析】把（x2-1）看成一個(gè)整體利用完全平方公式進(jìn)行分解，最后再利用平方差公式達(dá)到分解徹底的目的.

解：（x2-1）2+6（1-x2）+9

=（x2-1）2-6（x2-1）+9

=［（x2-1）-3］2

=（x2-4）2

=［（x+2）（x-2）］2

=（x+2）2（x-2）2.

例2把多項(xiàng)式（a+b）2-4（a+b-1）分解因式.

【分析】原式兩項(xiàng)既無(wú)公因式可提，又無(wú)公式可套用，但此結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可視a+b為一個(gè)整體，局部展開(kāi)后或許能運(yùn)用完全平方公式.

解：（a+b）2-4（a+b-1）

=（a+b）2-4（a+b）+4

=（a+b-2）2.

二、類比思想

類比思想在因式分解中的運(yùn)用很廣泛，具體表現(xiàn)在：一是因式分解與整式乘法的對(duì)比；二是因式分解與乘法的分配律的對(duì)比；三是因式分解與乘法公式的對(duì)比.

例3把多項(xiàng)式6x3y2+12x2y3-6x2y2分解因式.

【分析】對(duì)比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公因數(shù)是6，字母x、y的最低指數(shù)均為2，所以多項(xiàng)式6x3y2+12x2y3-6x2y2的公因式是6x2y2.

解：6x3y2+12x2y3-6x2y2

=6x2y2（x+2y-1）.

例4分解因式：

（1）x3y-xy3；（2）abx2-2abxy+aby2.

【分析】（1）對(duì)比平方差公式可先提取xy.（2）對(duì)比完全平方公式可先提取ab.

解：（1）x3y-xy3

=xy（x2-y2）

=xy（x+y）（x-y）；

（2）abx2-2abxy+aby2

=ab（x2-2xy+y2）

馬鈴薯晚疫病的癥狀在不同地區(qū)及氣候條件下各不相同，但在大多數(shù)情況下，最初的癥狀是暗綠色圓形浸水的小斑點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在較底層的植株葉片上以及圍繞在葉尖和葉緣上，然后再向整個(gè)葉面擴(kuò)散。在潮濕的環(huán)境中，葉片的背面可能會(huì)有白色絨毛出現(xiàn)在病斑的邊緣。受侵染的塊莖表面會(huì)呈現(xiàn)出不正常的、凹陷的、大小不一的、紫褐色的區(qū)域。

=ab（x-y）2.

三、轉(zhuǎn)化思想

某些多項(xiàng)式從表面是無(wú)法利用因式分解的一般步驟進(jìn)行的，必須通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，如經(jīng)過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等變形，才能利用因式分解的有關(guān)方法進(jìn)行.

例5把多項(xiàng)式6x（x-y）2+3（y-x）3分解因式.

【分析】考慮到（y-x）3=-（x-y）3，則多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為6x（x-y）2-3（x-y）3，因此公因式是3（x-y）2.

解：6x（x-y）2+3（y-x）3

=6x（x-y）2-3（x-y）3

=3（x-y）2［2x-（x-y）］

=3（x-y）2（x+y）.

【分析】從表面上看此題不能直接分解因式，但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)若x2y2轉(zhuǎn)化成2x2y2-x2y2，即可先運(yùn)用完全平方公式，再利用平方差公式.

解：x4+x2y2+y4

=x4+2x2y2+y4-x2y2

=（x2+y2）2-x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2-xy）

=（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）.

四、換元思想

所謂的換元就是將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)用另一個(gè)新的字母去代換，通過(guò)換元可以將復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的，將陌生的轉(zhuǎn)換成熟悉的，使之得以順利地分解因式.

例7把多項(xiàng)式（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）·（xy-1）分解因式.

【分析】這個(gè)多項(xiàng)式形式上比較復(fù)雜，但考慮x+y與xy重復(fù)出現(xiàn)，利用這一特點(diǎn)，可以把這兩個(gè)因式通過(guò)換元后再分解因式.

解：設(shè)x+y=a，xy=b，則

（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）（xy-1）

=a（a+2b）+（b+1）（b-1）

=（a2+2ab+b2）-1

=（a+b）2-1

=（a+b+1）（a+b-1）

=（x+y+xy+1）（x+y+xy-1）

=（x+1）（y+1）（x+y+xy-1）.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）