姜紅

“二元一次方程組”中考試題研究

姜紅

像2x-y=5這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的次數(shù)都為1次，那么這樣的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有無(wú)數(shù)組解，若添加條件限定（例如求正整數(shù)解），亦可有有限個(gè)解，甚至無(wú)解.

一、二元一次方程組的解法

【點(diǎn)評(píng)】多元方程的解法原則是“消元”.而“消元”的具體方法有代入法和加減法兩種.

有時(shí)，試題也會(huì)涉及“整體代換”等思想方法，比如：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5，即

2（2x+5y）+y=5③，

把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=-1.

把y=-1代入①得x=4.

請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

【解析】第（1）題模仿小軍的“整體代換”法，把方程②變形為：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，弄清閱讀材料中的“整體代換”方法，是解本題的關(guān)鍵.

二、二元一次方程組的應(yīng)用

例4（2015·北京）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就.

《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問(wèn)：牛、羊各直金幾何？”

譯文如下：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問(wèn)：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”

設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為_(kāi)_________.

【點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)問(wèn)題中兩個(gè)量呈一次關(guān)系，往往可以抽象出二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是找到題目中所存在的等量關(guān)系.

例5（2015·佛山）某景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格如表：

購(gòu)票人數(shù)/人　1～50　51～100　100以上每人門(mén)票價(jià)/元　12　10　8

某校七年級(jí)（1）、（2）兩班計(jì)劃去游覽該景點(diǎn)，其中（1）班人數(shù)少于50人，（2）班人數(shù)多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨(dú)購(gòu)票，則一共支付1118元，如果兩班聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，則只需花費(fèi)816元.

（1）兩個(gè)班各有多少名學(xué)生？

（2）團(tuán)體購(gòu)票與單獨(dú)購(gòu)票相比較，兩個(gè)班各節(jié)約了多少錢(qián)？

（2）用一張票節(jié)省的費(fèi)用乘該班人數(shù)即可求解.（2）七年級(jí)（1）班節(jié)省的費(fèi)用為：（12-8）×49=196（元），七年級(jí)（2）班節(jié)省的費(fèi)用為：（10-8）×53=106（元）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用、二元一次方程組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)建立方程組求出各班的人數(shù)是關(guān)鍵.

三、與二元一次方程組有關(guān)的綜合題

例6（2014·益陽(yáng)）某電器超市銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷(xiāo)售情況：

銷(xiāo)售數(shù)量銷(xiāo)售時(shí)段　銷(xiāo)售收入A種型號(hào)　B種型號(hào)第一周　3臺(tái)　5臺(tái)　1800元第二周　4臺(tái)　10臺(tái)　3100元

（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-進(jìn)貨成本）

（1）求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)；

（2）若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，求A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？

（3）在（2）的條件下，超市銷(xiāo)售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái)，則采購(gòu)B種型號(hào)電風(fēng)扇（30-a）臺(tái)，根據(jù)金額不多于5400元，列不等式得：200a+170（30-a）≤5400，解得：a≤10.所以超市最多采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇10臺(tái)時(shí)，采購(gòu)金額不多于5400元.

（3）設(shè)利潤(rùn)為1400元，列方程（250-200）·a+（210-170）（30-a）=1400，解得：a=20.

若不符合（2）的條件，可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo).∵a≤10，

∴在（2）的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)1400元的目標(biāo).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解.這類(lèi)試題把二元一次方程組與一次不等式結(jié)合起來(lái)考查，難度有所加大.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）