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        為何要學(xué)習(xí)因式分解

        2016-09-05 10:02:28葉軍
        初中生世界 2016年29期
        關(guān)鍵詞:方法

        葉軍

        為何要學(xué)習(xí)因式分解

        葉軍

        在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí),不少同學(xué)總是不明白“為什么”要學(xué)習(xí)因式分解;學(xué)會(huì)了的同學(xué)大多只是記住了分解的步驟,“知其然而不知其所以然”,甚至過(guò)一段時(shí)間就會(huì)忘記.種種困惑,其實(shí)是對(duì)這一部分內(nèi)容沒有透徹的理解.本文采用“自問(wèn)自答”的形式,對(duì)因式分解的相關(guān)內(nèi)容作一點(diǎn)剖析,希望對(duì)初學(xué)者有所幫助.

        1.如何區(qū)別因式分解和整式乘法?

        一般地,多項(xiàng)式有兩種表示形式:和的形式、積的形式.如果用“項(xiàng)鏈”比作和的形式,那么不妨也用“磁鐵”來(lái)表示積的形式.借助于以上比喻,整式乘法是把多項(xiàng)式算成“項(xiàng)鏈”,而因式分解需要算成“磁鐵”的形式.

        因式分解是整式的一種恒等變形,其涉及的運(yùn)算有:加減法和乘法,其基本原理是基于分配律的逆用.因此,因式分解是整式乘法的逆過(guò)程.它們有如下的區(qū)別:

        (1)運(yùn)算的結(jié)果形式不同.因式分解要求多項(xiàng)式化成整式之積的形式;而整式的乘法要求結(jié)果是單項(xiàng)式的和的形式.

        (2)所用方法不同.整式乘法是基于分配律的乘法運(yùn)算,由此可以得出一系列重要的公式,比如平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,等等.這些公式可以極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟,提高效率.因式分解是基于分配律的逆用,采用的方法較多,最基本的有提取公因式法、公式法(公式又有很多)等等.這些方法,都是后人為了使得分解進(jìn)行下去而總結(jié)提煉的結(jié)果,如果多掌握一點(diǎn),可以提高運(yùn)算的效率,領(lǐng)略代數(shù)計(jì)算的魅力.

        (3)適用范圍不同.理論上講,不管多復(fù)雜的整式的乘法運(yùn)算,都可以得到最后的“和的形式”.但對(duì)于因式分解,不是任何多項(xiàng)式都可以因式分解的.不能分解的多項(xiàng)式,叫作“不可約多項(xiàng)式”,一次多項(xiàng)式就不能再分解了,因此所有的一次多項(xiàng)式都是不可約多項(xiàng)式,比如x+y,a-b+1等.初中階段更多地關(guān)注含有一個(gè)字母的二次多項(xiàng)式可不可以分解,其一般形式為ax2+bx+c,一般地,我們可以用根的判別式Δ=b2-4ac的符號(hào)進(jìn)行判定:如果Δ≥0,則ax2+bx+c可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解;如果Δ<0,則不可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解.這里,“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解”,或“在有理數(shù)范圍內(nèi)分解”的意思是:分解后的因式的系數(shù)是實(shí)數(shù)或有理數(shù).在不同的學(xué)習(xí)階段,因式分解的要求有所不同,比如初一剛學(xué)習(xí)因式分解,我們還不認(rèn)識(shí)有理數(shù)之外的無(wú)理數(shù),因此可以分解x2-4,x2-x-2這樣的多項(xiàng)式,諸如x2-3,x2-x-1這樣的式子則不能分解.但是到了初二,認(rèn)識(shí)了無(wú)理數(shù)之后,x2-3,x2-x-1又可以分解了.到了初三,我們就能很明白,為何x2-x+2不能因式分解.我們看一個(gè)例子.

        例1(1)在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4-4;

        (2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4-4.

        解:(1)x4-4=(x2+2)(x2-2).

        (2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+(x-).

        在高中學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)之后,上式還可以分解:

        x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+√2i)(x-)(x+(x-).

        事實(shí)上,由代數(shù)基本定理可知,復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次因式,實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式是一次多項(xiàng)式和二次多項(xiàng)式.

        2.因式分解要注意哪些事項(xiàng)?

        首先,要注意因式分解的一般步驟,即:先提“凈”公因式,再使用其他方法.因式分解就是把多項(xiàng)式分解為次數(shù)較低的多項(xiàng)式之積.因此提取公因式以后,所剩因式的次數(shù)會(huì)降低,便于運(yùn)算.請(qǐng)比較下面例題的兩種解法孰優(yōu)孰劣.

        例2分解因式4x4-64.

        解1:4x4-64=(2x2+8)(2x2-8)=4(x2+4)(x2-4)=4(x2+4)(x-2)(x+2).

        解2:4x4-64=4(x4-16)=4(x2+4)(x2-4)=4(x2+4)(x-2)(x+2).

        其次,分解要徹底.上面提到的先提取公因式的方法,是分解徹底的有力保證,否則后面還不得不提取新的公因式.另外,方法的選擇也很重要.

        例3 分解因式a6-b6.

        解1:a6-b6=(a2)3-(b2)3=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(a-b)(a4+a2b2+b4).

        解2:a6-b6=(a3)2-(b3)2=(a3+b3)(a3-b3)=(a+b)(a-b)(a2-ab+b2)(a2+ ab+b2).

        很顯然,解法1分解不徹底,解法2則是正確的解法.也就是說(shuō),多項(xiàng)式a4+a2b2+b4還可以繼續(xù)分解:a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2).補(bǔ)充過(guò)程如下:

        a4+a2b2+b4=(a4+2a2b2+b4)-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2).

        再次,分解因式要求每個(gè)因式盡量化簡(jiǎn),而且結(jié)果的形式要求最簡(jiǎn).

        例4分解因式81x4-72x2y2+16y4.

        錯(cuò)解:81x4-72x2y2+16y4=(9x2-4y2)2=[(3x+2y)(3x-2y)]2.

        不難看到,上面的錯(cuò)誤在于,結(jié)果需要使用“積的乘方公式”算出來(lái),即:

        81x4-72x2y2+16y4=(9x2-4y2)2=[(3x+2y)(3x-2y)]2=(3x+2y)2(3x-2y)2.

        另外,我們還要避免出現(xiàn)“算回去”之類的錯(cuò)誤.

        3.因式分解還有其他方法嗎?

        目前教材上介紹的方法只有提公因式法與公式法,其實(shí)公式法還有更多的其他公式,我們?cè)诖送平榱⒎胶团c立方差公式(已經(jīng)在例3中用過(guò)一次了):

        a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

        其他還有:分組分解法、十字相乘法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法、待定系數(shù)法、因式定理法、換元法.限于篇幅,我們僅通過(guò)一個(gè)問(wèn)題來(lái)了解拆項(xiàng)添項(xiàng)法.

        例5分解因式:x3+2x2-5x-6.

        解1:(拆二次項(xiàng))

        原式=(x3+x2)+(x2-5x-6)=x2(x+1)+(x+1)(x-6)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).

        解2:(拆一次項(xiàng))

        原式=(x3+2x2-8x)+(3x-6)=x(x2+2x-8)+3(x-2)=x(x-2)(x+4)+3(x-2)=(x-2)(x2+4x+3)=(x-2)(x+1)(x+3).

        解3:(拆常數(shù)項(xiàng))

        原式=(x3+1)+(2x2-5x-7)=(x+1)(x2-x+1)+(x+1)(2x-7)=(x+1)(x2-x+1+2x-7)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).

        解4:(拆二次項(xiàng)與一次項(xiàng))

        原式=(x3+x2)+(x2+x)-(6x+6)=x2(x+1)+x(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x2+x-6)=(x+1)(x-2)(x+3).

        以上介紹了不同的拆項(xiàng)方法,其目的都是為了能繼續(xù)分解,你不妨沿著這一思路想想,能不能想一個(gè)屬于自己的方法?

        需要說(shuō)明的是,不同的方法之間是相通的.比如公式a2-b2=(a2-ab)+(ab-b2)= a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(a+b)的產(chǎn)生過(guò)程,就用到了添項(xiàng)法(0=ab-ab).x2+3x+2=(x2+ x)+(2x+2)=(x+1)(x+2),由此可見,十字相乘法也可是說(shuō)是拆項(xiàng)法.

        4.因式分解有哪些應(yīng)用?

        因式分解的主要功能就是讓多項(xiàng)式出現(xiàn)因式,因此不會(huì)因式分解就無(wú)法順利進(jìn)入初二學(xué)習(xí)分式的約分和通分運(yùn)算;對(duì)于一些方程問(wèn)題,因式出現(xiàn)了,解方程就可以進(jìn)行下去.所以,在學(xué)習(xí)“分式”、“一元二次方程”等內(nèi)容時(shí),都需要隨時(shí)使用因式分解的變形技巧.一些算術(shù)運(yùn)算也會(huì)用到因式分解技巧.

        例6(4x2-9)÷(3-2x)=(2x+3)(2x-3)÷[-(2x-3)]=-(2x+3)=-2x-3.

        例7求方程xy-x-y=5滿足x

        解:方程兩邊同加1,xy-x-y+1=6,即(x-1)(y-1)=6,因?yàn)閤、y都是正整數(shù),且x<

        (作者單位:江蘇省南京師大附中江寧分校)

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