姜紅

峰回路轉(zhuǎn)識(shí)圖形
——七年級(jí)下學(xué)期幾何重點(diǎn)概念解讀

姜紅

七年級(jí)下學(xué)期的課本中與幾何有關(guān)的章節(jié)是第七章和第十二章，分別是《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》和《證明》.第七章大致可分為兩部分：平行線和三角形.平行線的相關(guān)性質(zhì)和定理是初中幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，比如三角形的內(nèi)角和定理就是依據(jù)平行線的相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)出來的.因此可以認(rèn)為，第七章里前面平行線的相關(guān)內(nèi)容是為后面三角形的內(nèi)容做鋪墊，而多邊形內(nèi)角和、外角和又是三角形相關(guān)內(nèi)容的延伸.整個(gè)第七章是一個(gè)邏輯嚴(yán)密的整體，它還是八年級(jí)學(xué)習(xí)等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等內(nèi)容的基礎(chǔ)，是初中幾何知識(shí)最重要的基礎(chǔ).第十二章《證明》則簡要介紹了常見的說理證明的方法.內(nèi)容比較簡略，本文不贅述.為了讓同學(xué)們更好地掌握第七章的內(nèi)容，下面給同學(xué)們解讀一下其中的重要知識(shí)點(diǎn).

重點(diǎn)1：平行線的判定（即直線平行的條件）

關(guān)于這個(gè)內(nèi)容，課本共有三條結(jié)論：1.同位角相等，兩直線平行；2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.其中，結(jié)論1是基本事實(shí)，是人們公認(rèn)的真命題，無須證明.結(jié)論2和結(jié)論3，可以用定理 “對(duì)頂角相等”、“同角的補(bǔ)角相等”再經(jīng)由結(jié)論1加以證明，是平行線的判定定理.

例1如圖1，直線l1、l2被直線l3、l4所截，下列條件中，不能判斷直線l1∥l2的是（）.

圖1

A.∠1=∠3 B.∠5=∠4

C.∠5+∠3=180° D.∠4+∠2=180°【分析】依據(jù)平行線的判定的三條結(jié)論可知：

A.已知∠1=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可以判斷，故命題正確；

B.不能判斷；

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可以判斷，故命題正確；

D.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可以判斷，故命題正確.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩直線平行.

重點(diǎn)2：平行線的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)定理，課本共有三條結(jié)論，合起來可以說成：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).其中“兩直線平行，同位角相等”在證明時(shí)還初步使用了反證法進(jìn)行說理（參看教材16頁）.后兩個(gè)定理，可以經(jīng)由“兩直線平行，同位角相等”直接加以證明.

例2 （1）如圖甲，AB∥CD，試問∠2與∠1+∠3的關(guān)系是什么？為什么？

甲

乙

（2）如圖乙，AB∥

CD，試問∠2+∠4與∠1+

∠3+∠5一樣大嗎？為什

么？

（3）如圖丙，AB∥

CD，試問∠2+∠4+∠6

與∠1+∠3+∠5+∠7哪

個(gè)大？為什么？

丙

你能將它們推廣到一般情況嗎？請(qǐng)寫出你的結(jié)論.

【分析】看這“峰回路轉(zhuǎn)”的折線夾在兩條平行線之間，容易聯(lián)想到內(nèi)錯(cuò)角這一形象.這樣就可以依據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”來添加輔助線進(jìn)行解題.具體解法如下：

（1）∠2=∠1+∠3.過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，

∴∠2=∠BEF+

∠CEF=∠1+∠3；

（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.

圖2

分別過點(diǎn)E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，

∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，

∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+ ∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+ ∠3+∠5；

圖3

圖4

（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

分別過點(diǎn)E，G，M，K，P，作EF∥AB，

GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，

同（2）可得

∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM= ∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，

∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

歸納：開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等.

重點(diǎn)3：圖形的平移

圖形的平移是初中學(xué)習(xí)的三種最重要的幾何變換之一.另外兩種重要的幾何變換——軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)將在八年級(jí)學(xué)習(xí).平移的兩個(gè)要素是方向和距離.這可以分別用具體的方向和距離給出，也可以用一個(gè)有向線段給出，比如像“把△ABC平移，使頂點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′的位置”這樣的說法.圖形的平移的結(jié)論有：平移前后的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一直線上）且相等.此外，同學(xué)們還要掌握平移圖形的畫法.

例3 如圖5，經(jīng)過平移，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A移到點(diǎn)A′，做出平移后的四邊形.

圖5

圖6

【分析】依據(jù)“平移前后的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等”，過點(diǎn)B、C、D分別作直線AA′的平行線，并在直線上分別截取BB′=CC′=DD′=AA′，再順次連接A′、B′、C′、D′即可（如圖6）.

【點(diǎn)評(píng)】考查平移變換作圖.關(guān)鍵在于做出平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

重點(diǎn)4：三角形的重要線段

三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段.解題時(shí)要依據(jù)其定義，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系，再加以運(yùn)用.通過畫圖，同學(xué)們可以總結(jié)出：三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn).這兩個(gè)結(jié)論的證明比較有難度，將分別在八年級(jí)和九年級(jí)給出.三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，這點(diǎn)的位置與三角形的形狀有關(guān).銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，在三角形外部.

例4在△ABC中，畫出邊AC上的高，下面4幅圖中畫法正確的是（）.

【分析】作哪一條邊上的高，從所對(duì)的頂點(diǎn)向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可.故而，在△ABC中，畫出邊AC上的高，即是過點(diǎn)B作AC邊的垂線段，正確的是C.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高，要抓住定義“在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫作三角形的高”.

重點(diǎn)5：多邊形的外角和與內(nèi)角和

這一部分內(nèi)容包含：三角形的內(nèi)角和定理，n邊形的內(nèi)角和公式，多邊形的外角和定理.其中，三角形的內(nèi)角和定理是基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn).

在小學(xué)，我們就已經(jīng)知曉“三角形的內(nèi)角和為180°”這個(gè)結(jié)論.到了初中，同學(xué)們還需要掌握這個(gè)結(jié)論的證明方法.這個(gè)定理的證明方法有多種，以下僅舉出其中一種：

如圖7所示，在△ABC中，過A引l∥BC.

圖7

∵l∥BC，

∴∠B=∠1，∠C=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

∵∠1+∠BAC+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.

即三角形的內(nèi)角和為180°.

由三角形的內(nèi)角和定理還直接得出以下結(jié)論：①直角三角形兩銳角互余，②三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.對(duì)n邊形適當(dāng)分割，使其轉(zhuǎn)化為若干個(gè)三角形，還可以得出n邊形內(nèi)角和公式（n-2）·180°，并最終得出n邊形外角和為360°.

例5認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

探究一：如圖8，在△ABC中，已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90° -∠A）=90°+∠A.

圖8

圖9

（1）探究2：如圖9中，已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？并說明理由.

（2）探究3：如圖10，已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）結(jié)論：_________.

圖10

圖11

（3）拓展：如圖11，在四邊形ABCD中，已知O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）結(jié)論：__________.

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；

（3）同（1）的求解思路.

具體解法如下：

理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，

在△BOC中，

在△BOC中，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖、整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.本題的四個(gè)圖形屬于同一個(gè)系列，放在一起比較更容易相互聯(lián)系進(jìn)行理解.

在幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)的時(shí)候，“轉(zhuǎn)化”是常出現(xiàn)的字眼.“轉(zhuǎn)化”是重要的數(shù)學(xué)思想，我們不斷建構(gòu)新知識(shí)的過程，往往也是不斷把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識(shí)的過程.望同學(xué)們能領(lǐng)略其中的奧妙，學(xué)得輕松，學(xué)得高效.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）