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        峰回路轉(zhuǎn)識圖形
        ——七年級下學(xué)期幾何重點概念解讀

        2016-09-05 09:59:16姜紅
        初中生世界 2016年29期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)錯角外角平分線

        姜紅

        峰回路轉(zhuǎn)識圖形
        ——七年級下學(xué)期幾何重點概念解讀

        姜紅

        七年級下學(xué)期的課本中與幾何有關(guān)的章節(jié)是第七章和第十二章,分別是《平面圖形的認識(二)》和《證明》.第七章大致可分為兩部分:平行線和三角形.平行線的相關(guān)性質(zhì)和定理是初中幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),比如三角形的內(nèi)角和定理就是依據(jù)平行線的相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)出來的.因此可以認為,第七章里前面平行線的相關(guān)內(nèi)容是為后面三角形的內(nèi)容做鋪墊,而多邊形內(nèi)角和、外角和又是三角形相關(guān)內(nèi)容的延伸.整個第七章是一個邏輯嚴密的整體,它還是八年級學(xué)習(xí)等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等內(nèi)容的基礎(chǔ),是初中幾何知識最重要的基礎(chǔ).第十二章《證明》則簡要介紹了常見的說理證明的方法.內(nèi)容比較簡略,本文不贅述.為了讓同學(xué)們更好地掌握第七章的內(nèi)容,下面給同學(xué)們解讀一下其中的重要知識點.

        重點1:平行線的判定(即直線平行的條件)

        關(guān)于這個內(nèi)容,課本共有三條結(jié)論:1.同位角相等,兩直線平行;2.內(nèi)錯角相等,兩直線平行;3.同旁內(nèi)角互補,兩直線平行.其中,結(jié)論1是基本事實,是人們公認的真命題,無須證明.結(jié)論2和結(jié)論3,可以用定理 “對頂角相等”、“同角的補角相等”再經(jīng)由結(jié)論1加以證明,是平行線的判定定理.

        例1如圖1,直線l1、l2被直線l3、l4所截,下列條件中,不能判斷直線l1∥l2的是().

        圖1

        A.∠1=∠3 B.∠5=∠4

        C.∠5+∠3=180° D.∠4+∠2=180°【分析】依據(jù)平行線的判定的三條結(jié)論可知:

        A.已知∠1=∠3,根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行可以判斷,故命題正確;

        B.不能判斷;

        C.同旁內(nèi)角互補,兩直線平行,可以判斷,故命題正確;

        D.同旁內(nèi)角互補,兩直線平行,可以判斷,故命題正確.

        故選B.

        【點評】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵,不能遇到相等或互補關(guān)系的角就誤認為具有平行關(guān)系,只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補,才能推出兩直線平行.

        重點2:平行線的性質(zhì)

        平行線的性質(zhì)定理,課本共有三條結(jié)論,合起來可以說成:兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補.其中“兩直線平行,同位角相等”在證明時還初步使用了反證法進行說理(參看教材16頁).后兩個定理,可以經(jīng)由“兩直線平行,同位角相等”直接加以證明.

        例2 (1)如圖甲,AB∥CD,試問∠2與∠1+∠3的關(guān)系是什么?為什么?

        (2)如圖乙,AB∥

        CD,試問∠2+∠4與∠1+

        ∠3+∠5一樣大嗎?為什

        么?

        (3)如圖丙,AB∥

        CD,試問∠2+∠4+∠6

        與∠1+∠3+∠5+∠7哪

        個大?為什么?

        你能將它們推廣到一般情況嗎?請寫出你的結(jié)論.

        【分析】看這“峰回路轉(zhuǎn)”的折線夾在兩條平行線之間,容易聯(lián)想到內(nèi)錯角這一形象.這樣就可以依據(jù)“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”來添加輔助線進行解題.具體解法如下:

        (1)∠2=∠1+∠3.過點E作EF∥AB,∵AB∥CD,

        ∴AB∥CD∥EF,∴∠BEF=∠1,∠CEF=∠3,

        ∴∠2=∠BEF+

        ∠CEF=∠1+∠3;

        (2)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.

        圖2

        分別過點E,G,M,作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,

        ∵AB∥CD,

        ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN,

        ∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,

        ∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5,

        ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+ ∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+ ∠3+∠5;

        圖3

        圖4

        (3)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

        分別過點E,G,M,K,P,作EF∥AB,

        GH∥AB,MN∥AB,KL∥AB,PQ∥AB,

        同(2)可得

        ∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM= ∠GMN,∠KMN=∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7,

        ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.

        歸納:開口朝左的所有角度之和與開口朝右的所有角度之和相等.

        重點3:圖形的平移

        圖形的平移是初中學(xué)習(xí)的三種最重要的幾何變換之一.另外兩種重要的幾何變換——軸對稱、旋轉(zhuǎn)將在八年級學(xué)習(xí).平移的兩個要素是方向和距離.這可以分別用具體的方向和距離給出,也可以用一個有向線段給出,比如像“把△ABC平移,使頂點A移動到點A′的位置”這樣的說法.圖形的平移的結(jié)論有:平移前后的圖形中,對應(yīng)點的連線平行(或在同一直線上)且相等.此外,同學(xué)們還要掌握平移圖形的畫法.

        例3 如圖5,經(jīng)過平移,四邊形ABCD的頂點A移到點A′,做出平移后的四邊形.

        圖5

        圖6

        【分析】依據(jù)“平移前后的圖形中,對應(yīng)點的連線平行且相等”,過點B、C、D分別作直線AA′的平行線,并在直線上分別截取BB′=CC′=DD′=AA′,再順次連接A′、B′、C′、D′即可(如圖6).

        【點評】考查平移變換作圖.關(guān)鍵在于做出平移后的對應(yīng)點.

        重點4:三角形的重要線段

        三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段.解題時要依據(jù)其定義,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系或者位置關(guān)系,再加以運用.通過畫圖,同學(xué)們可以總結(jié)出:三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點,三條中線交于三角形內(nèi)一點.這兩個結(jié)論的證明比較有難度,將分別在八年級和九年級給出.三角形的三條高(所在直線)交于一點,這點的位置與三角形的形狀有關(guān).銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi);直角三角形的三條高的交點在直角頂點;鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點,在三角形外部.

        例4在△ABC中,畫出邊AC上的高,下面4幅圖中畫法正確的是().

        【分析】作哪一條邊上的高,從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線段即可.故而,在△ABC中,畫出邊AC上的高,即是過點B作AC邊的垂線段,正確的是C.故選C.

        【點評】此題主要考查了三角形的高,要抓住定義“在三角形中,從一個頂點向它的對邊作垂線,頂點與垂足之間的線段叫作三角形的高”.

        重點5:多邊形的外角和與內(nèi)角和

        這一部分內(nèi)容包含:三角形的內(nèi)角和定理,n邊形的內(nèi)角和公式,多邊形的外角和定理.其中,三角形的內(nèi)角和定理是基礎(chǔ)和出發(fā)點.

        在小學(xué),我們就已經(jīng)知曉“三角形的內(nèi)角和為180°”這個結(jié)論.到了初中,同學(xué)們還需要掌握這個結(jié)論的證明方法.這個定理的證明方法有多種,以下僅舉出其中一種:

        如圖7所示,在△ABC中,過A引l∥BC.

        圖7

        ∵l∥BC,

        ∴∠B=∠1,∠C=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).

        ∵∠1+∠BAC+∠2=180°,

        ∴∠A+∠B+∠C=180°.

        即三角形的內(nèi)角和為180°.

        由三角形的內(nèi)角和定理還直接得出以下結(jié)論:①直角三角形兩銳角互余,②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.對n邊形適當分割,使其轉(zhuǎn)化為若干個三角形,還可以得出n邊形內(nèi)角和公式(n-2)·180°,并最終得出n邊形外角和為360°.

        例5認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段,完成所提出的問題.

        探究一:如圖8,在△ABC中,已知O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點,通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+∠A,理由如下:

        ∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線,

        ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90° -∠A)=90°+∠A.

        圖8

        圖9

        (1)探究2:如圖9中,已知O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點,試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?并說明理由.

        (2)探究3:如圖10,已知O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點,則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(直接寫出結(jié)論)結(jié)論:_________.

        圖10

        圖11

        (3)拓展:如圖11,在四邊形ABCD中,已知O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點,則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系?(直接寫出結(jié)論)結(jié)論:__________.

        (2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答;

        (3)同(1)的求解思路.

        具體解法如下:

        理由如下:∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線,

        ∵∠2是△BOC的一個外角,

        (2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義,

        在△BOC中,

        在△BOC中,

        【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理,熟記性質(zhì)并準確識圖、整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.本題的四個圖形屬于同一個系列,放在一起比較更容易相互聯(lián)系進行理解.

        在幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)的時候,“轉(zhuǎn)化”是常出現(xiàn)的字眼.“轉(zhuǎn)化”是重要的數(shù)學(xué)思想,我們不斷建構(gòu)新知識的過程,往往也是不斷把新知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識的過程.望同學(xué)們能領(lǐng)略其中的奧妙,學(xué)得輕松,學(xué)得高效.

        (作者單位:江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校)

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