● 柯張軍

由數(shù)轉(zhuǎn)形，巧解函數(shù)難題

● 柯張軍

一、利用函數(shù)圖像，巧解抽象函數(shù)不等式

抽象函數(shù)不等式是指沒有具體函數(shù)解析式的不等式，這類不等式一般利用函數(shù)性質(zhì)求解，畫出符合函數(shù)性質(zhì)的草圖，觀察圖形可以直觀易解。

如在求解這道題：設(shè) f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）g（x）+f（x）g（x）＞0且g（-3）=0，求不等式 f（x）g（x）＜0的解集時(shí)，可以先設(shè)F（x）=f（x）g（x），因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f（x）g（x）+ f（x）g（x）=［f（x）g（x）］=F（x）＞0，所以 F（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，因?yàn)閒（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以F（x）為 奇 函 數(shù)，又 g（-3）=0，所 以F（-3）=f（-3）g（-3）=0，f（x）是奇函數(shù)，所以 f（0）=0，故F（0）=0。根據(jù)以上特點(diǎn)，不妨構(gòu)造如圖1所示的符合題意的函數(shù)F（x）的圖象，由圖直接觀察出所求解集是（-∞，-3）?（0，3）。

圖1

解題過(guò)程中依題意確定函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)F（x），依據(jù)性質(zhì)畫出F（x）草圖，觀察圖像求解，實(shí)現(xiàn)抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

二、利用函數(shù)圖像，比較數(shù)的大小

比較大小是高考試題中一個(gè)重要題型，利用函數(shù)圖形交點(diǎn)位置來(lái)確定大小關(guān)系，可以避免求值過(guò)程中的復(fù)雜計(jì)算，如果根據(jù)題意構(gòu)造幾個(gè)函數(shù)，畫出圖像確定交點(diǎn)位置，就可以很快得解。

如在判斷 0.32，log20.3，20.3三個(gè)數(shù)的大小順序時(shí)，可將其看成是三個(gè)函數(shù)y1=x2，y2=log2x，y3=2x在 x=0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小比較。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像（如圖2），從圖像可以直觀地看出當(dāng) x=0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn) P1，P2，P3的位置，從而可得出結(jié)論：20.3＞0.32＞log20.3。

圖2

解題過(guò)程中三個(gè)數(shù)的值不易計(jì)算，觀察數(shù)式構(gòu)造函數(shù)，使三個(gè)數(shù)分別為自變量取同一個(gè)值的三個(gè)不同的函數(shù)值，自然想到三個(gè)基本初等函數(shù)y1=x2，y2=log2x，y3=2x，在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)圖像作圖即可得解。

三、構(gòu)建解析幾何模型，解決函數(shù)最值問題

將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的斜率、截距、距離等問題，利用其幾何意義求解。與解析幾何有關(guān)的常見函數(shù)模型有：①距離型函數(shù)②斜率型函數(shù)；③截距型函數(shù)Ax+ By；④單位圓型函數(shù)⑤雙曲線型函數(shù)

圖3

熟悉幾種與解析幾何有關(guān)的常見函數(shù)模型，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題求解是解決問題的關(guān)鍵。

四、利用函數(shù)圖像，求參數(shù)的取值范圍

方程根的問題，函數(shù)零點(diǎn)問題，圖像交點(diǎn)問題，這些問題借助函數(shù)圖像，往往可以避免繁瑣計(jì)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答。

圖4

將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用幾何方法求解直觀簡(jiǎn)單。

（作者單位：黃梅縣第一中學(xué)）