王波

(淮安工業(yè)中等專業(yè)學(xué)校，江蘇 淮安 223001)

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集合學(xué)習(xí)漫談

王波

(淮安工業(yè)中等專業(yè)學(xué)校，江蘇 淮安 223001)

中國是由五十六個(gè)民族組成的大家庭；

15計(jì)管班全體同學(xué)；

小于10的所有質(zhì)數(shù)；

到線段AB兩端距離相等的所有點(diǎn)組成的圖形。

常言道：“物以類聚，人以群分”。其實(shí)，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，這就是一種最樸素、最生活化的集合的概念。上面的四句話分別表示中國民族的集合、15計(jì)管班全體同學(xué)的集合、小于10的質(zhì)數(shù)集合和AB的垂直平分線(點(diǎn)的集會)。集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，集合論也成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論。集合是高職數(shù)學(xué)教材第一冊中所學(xué)到的第一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)和研究函數(shù)的基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，首先應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，只有真正理解了概念的內(nèi)涵，才能進(jìn)一步運(yùn)用概念去分析和解決問題。集合是指在一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成的整體。研究集合，就須要分析構(gòu)成集合的對象——元素，以及這些元素所具有的共同屬性。描述法就清楚的反映了集合的本質(zhì)，它的基本模式是：{元素|元素的共同屬性}。例如“到線段AB兩端距離相等的所有點(diǎn)組成的圖形”運(yùn)用描述法可以表示為{P|PA=PB}，即它表示一個(gè)點(diǎn)集，且集合中每一個(gè)元素P都滿足PA=PB。又如，對于集合A={y|y=x2+1}與集合B={(x,y)|y=x2+1}。首先應(yīng)分析集合的代表元，確定該集合的元素是什么；進(jìn)而弄清該集合中元素的共同屬性。集合A中的元素是數(shù)，集合B中的元素是點(diǎn)。雖然兩個(gè)集合的元素的共同屬性的表達(dá)形式都是y=x2+1，但意義卻完全不同。集合A是數(shù)集，它表示x2+1的取值范圍，即集合A表示不小于1的實(shí)數(shù)集；集合B是平面上的點(diǎn)集，它表示平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在(0，1)且開口向上的拋物線上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，即函數(shù)y=x2+1的圖象。

理解了元素和集合的概念，才能對元素與集合、集合與集合間的關(guān)系作出正確判斷，并進(jìn)行集合間的各種運(yùn)算。例如，空集φ與集合{φ}之間關(guān)系的正確回答應(yīng)該是，當(dāng)φ表示元素時(shí)，φ∈{φ}；當(dāng)φ表示集合時(shí)，φ?{φ}。又如，

已知集合P={y|y=x2}，Q={y|y=2x}，M={(x,y)|y=x2}，

N={(x,y)|y=2x}

試求：(1)P∩Q;(2)P∪Q;(3)M∩N;(4)P∩N;(5)(CUM)∪(CUQ)。

因?yàn)榧螾、Q為數(shù)集，P={y|y≥0}，Q=R，所以，

(5)(CUM)∪(CUN)={平面上除去(0，0)和(2，4)的點(diǎn)}。若不能準(zhǔn)確理解集合的概念，解答上述問題就有可能誤解為P∩Q=P∩N={(0,0),(2,4)}。

對概念有了正確的理解為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。要進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)，還需要具備一定的數(shù)學(xué)的基本技能和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的內(nèi)容通常都表現(xiàn)為“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面。實(shí)際上，數(shù)與形是同一事物的兩種不同的表現(xiàn)形式，以形助數(shù)可以使問題變得更直觀、生動(dòng)，而依數(shù)解形則可以使問題變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、精確。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，不僅可以使問題得到正確解決，還可以使解題變得更簡捷明了。集合既可以運(yùn)用列舉法或描述法表示，也可以運(yùn)用Venn圖表示。恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用Venn圖表示法，不僅可以幫助我們理解概念，還可以開拓解題思路。例如，設(shè)全集U={x|為不大于30的質(zhì)數(shù)}，A∩(CUB)={3,5,11}，(CUA)∩B={17,23}，(CUA)∩(CUB)={2,13,19}，求集合A和B。此題可以從“數(shù)”的角度，運(yùn)用邏輯推理得到正確答案，其解答過程為：U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},由A∩(CUB)={3,5,11}可得3,5,11∈A,且3,5,11?B；

由(CUA)∩B={17,23}得17,23?A，且17,23∈B；由(CUA)∩(CUB)={2,13,19}得CU(A∪B)={2,13,19}。綜上可得A={3,5,7,11,29}，B={7,17,23,29}。若此題能運(yùn)用Venn圖從“形”的角度分析，顯得更加直觀清晰。

具體方法為：如圖，全集被分成四個(gè)部分A∩B，A∩(CUB)，(CUA)∩B和CU(A∪B)。根據(jù)題設(shè)將各部分所確定的元素填進(jìn)去即可得到正確答案A={3,5,7,11,29}，B={7,17,23,29}。

嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，重視思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)與訓(xùn)練是十分必要的。如，已知集合M={x|ax2-2x+1=0}中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值。此題若不注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的問題，就會使解答不完整，僅由Δ=4-4a=0得到a=1，實(shí)際上，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，集合M中也只有一個(gè)元素。再如，已知集合P={x|x2-2x-3=0}，Q={x|ax-1=0}，若P∩Q=Q，求實(shí)數(shù)a的值。此題的解答中若不注意到集合Q可以為空集的情況，必將漏解。

由于同學(xué)們剛剛進(jìn)入高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對數(shù)學(xué)的一些思想方法可能還不是很熟悉，想要熟練地加以運(yùn)用就會顯得更加困難，但這并不可怕，只要能在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，多問幾個(gè)為什么，使解題從偶然走向必然，那么，你的學(xué)習(xí)能力和解題能力一定會得到提高。集合論的創(chuàng)立者——德國偉大的數(shù)學(xué)家康托爾(1845—1918)，就是因?yàn)椴粷M足于對一些看似矛盾卻又實(shí)際存在的問題的大眾化認(rèn)識，而去刻苦鉆研，拋棄一切經(jīng)驗(yàn)和直觀，用理論進(jìn)行論證，最終取得了令世人矚目的成就，創(chuàng)立了對數(shù)學(xué)具有深遠(yuǎn)而廣泛影響的基礎(chǔ)理論——集合論。

最后，留給同學(xué)們兩個(gè)有趣的問題，空閑時(shí)你不妨想一想：如果從兩個(gè)同心圓出發(fā)畫射線，那么射線就在這兩個(gè)圓的點(diǎn)與點(diǎn)之間建立起一一對應(yīng)，然而兩圓的周長卻是不一樣的；正整數(shù)可以和它們的平方構(gòu)成一一對應(yīng)，只要使每個(gè)正整數(shù)同它們的平方對應(yīng)起來就行了。

難道，正整數(shù)和它的一部分(正整數(shù)的平方)的個(gè)數(shù)竟然是相當(dāng)?shù)模?/p>

中圖分類號：G232

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-1602(2016)14-0288-01