楊應(yīng)明　杜云

摘 要：極限概念為微積分學(xué)一個(gè)基礎(chǔ)概念。極限方法對(duì)有限與無限、常量與變量、勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)、直線與曲線等對(duì)立統(tǒng)一矛盾辯證及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系予以揭示。高等數(shù)學(xué)中學(xué)生對(duì)極限定義的理解是其學(xué)習(xí)高數(shù)的首道關(guān)卡，其對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)有著直接影響。本文針對(duì)在高數(shù)極限概念學(xué)習(xí)中學(xué)生遇到的困難及相應(yīng)的教學(xué)方法加以探討。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；極限概念；教學(xué)方法

1.學(xué)生在高等數(shù)學(xué)極限概念學(xué)習(xí)中困難的具體表現(xiàn)

（1）理解困難。①詞義理解困難。所謂極限，日常生活中指的是不應(yīng)該或不可能超過的事物，而高數(shù)中極限的涵義則存在極大差異。函數(shù)極限概念中的“趨近于”就自變量x其變化狀態(tài)而言，若“趨近于a”則指的是該自變量的值與a充分接近但永遠(yuǎn)不會(huì)與a相等。函數(shù)值f（x）在此變化過程中“趨近于A” 則指的是該函數(shù)值可大于、小于或等于A?？梢?，兩者所蘊(yùn)含的完全不同含義使得學(xué)生在極限概念的學(xué)習(xí)理解難度大。[1] ②對(duì)ε與δ（N）關(guān)系及意義未能明確理解。在極限的ε-δ（N）其定義中將ε與δ（N）兩個(gè)新量引入，通過兩者間兩個(gè)不等式來對(duì)極限進(jìn)行定義。定義中，ε>0是對(duì)函數(shù)f（x）→A時(shí)期接近A的程度的刻畫，而極限概念中“任意給定一個(gè)大于零的ε”確定性與任意性并存，對(duì)有限與無限、靜與動(dòng)、變與不變的對(duì)立統(tǒng)一予以深刻反映。但學(xué)生常將取“ε為任意小”理解成ε為一個(gè)正數(shù)符號(hào)，其表達(dá)的是任意小，即是說，ε不為零，但小于任何真實(shí)正數(shù)，這就使得學(xué)生難以理解相關(guān)內(nèi)容。

（2）使用困難。由于學(xué)生對(duì)極限概念的理解存在難度甚至錯(cuò)誤，其在使用中也頗具難度，主要表現(xiàn)在以下方面：①對(duì)定義的使用存在錯(cuò)誤；②對(duì)于復(fù)雜不等式，要想將相應(yīng)的δ找出來則難度較大。在正常極限中，可通過適當(dāng)放大來尋找到相應(yīng)的δ，而在非正常極限中，卻需進(jìn)行適當(dāng)縮小，而學(xué)生對(duì)放大與縮小方法的使用時(shí)機(jī)把握不準(zhǔn)；③學(xué)生對(duì)等價(jià)替代在直觀上把握難度不大，但對(duì)等價(jià)性邏輯證明則更有難度。

2.高等數(shù)學(xué)極限概念教學(xué)方法探討

（1）以實(shí)例為基礎(chǔ)，將數(shù)列極限引出。教學(xué)人員可于數(shù)軸上將相應(yīng)點(diǎn)畫出，以讓學(xué)生對(duì)無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)n變化中（n，∞）數(shù)列f（n）的變化進(jìn)行分析，從而掌握解題方法。換言之，f（n）→0，

從而讓學(xué)生對(duì)“趨向”“無窮”及“無限接近”等詞的含義以及極限概念中“變”“動(dòng)”等思想加以充分理解。通過實(shí)例讓學(xué)生產(chǎn)生直觀表象，進(jìn)而引發(fā)想象，以為“ε語言”對(duì)極限定義的進(jìn)一步敘述做好鋪墊。[2]

（2）對(duì)極限定義中“ε”的給定性、任意性以及N、X、-δ對(duì)ε的依賴性予以充分說明，為ε的作用的刻畫做好鋪墊。比如，函數(shù)極限定義中，ε為任意的，唯有不等式∣f（x）-A∣<ε方可對(duì)f（x）無限接近常數(shù)A進(jìn)行刻畫；另外，ε具有給定性，唯有其方可對(duì)δ的存在性進(jìn)行確定。而ε的給定便可證明的δ存在，二者為對(duì)應(yīng)關(guān)系，δ依賴ε而存在，二者又具有依賴性。此外，還應(yīng)對(duì)ε為任意小正數(shù)加以強(qiáng)調(diào)，換言之，ε為要多小便有多小的正數(shù)。

（3）螺旋鞏固，構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)。極限概念在高等數(shù)學(xué)中具有全局性，學(xué)生在學(xué)習(xí)可導(dǎo)、連續(xù)等相關(guān)后續(xù)概念后，應(yīng)借助反例、定理及公式等進(jìn)行有意識(shí)比較，從而促進(jìn)正確概念網(wǎng)絡(luò)的建成，以實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生分析能力、對(duì)事物實(shí)質(zhì)的辨析能力、思維能力等綜合能力的培養(yǎng)。

（4）強(qiáng)化對(duì)學(xué)生語言邏輯結(jié)構(gòu)層次的引導(dǎo)與分析。比如，在極限概念中，可通過下述順序來對(duì)該概念進(jìn)行層層講解與分解。①n→∞時(shí)，Xn于a具有無限趨近性；②n越大，則Xn越靠近a；③n越大，則Xn同a間的距離越小；④不管ε（ε>0）多小，n只要充分大，Xn同a的距離便小于ε；⑤每個(gè)ε（ε>0）均有相應(yīng)N的存在，只要n>N，Xn同a的距離便小于ε。如此，通過對(duì)邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行分層展示，使極限概念邏輯結(jié)構(gòu)的層次明確清楚，使難點(diǎn)得以分散，學(xué)生能夠?qū)υ撨壿媽哟芜M(jìn)行更好的理解，從而從整體上對(duì)極限概念予以把握。

極限概念屬高等數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，這就要求教學(xué)人員在教學(xué)過程中應(yīng)注重對(duì)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)，通過恰當(dāng)教學(xué)方法來幫助其更好地對(duì)極限概念進(jìn)行理解，從而幫助其深入理解與掌握極限概念，為高等數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張洪光，王曉英.數(shù)列極限概念教學(xué)問題探討[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，（6）：11-14.

[2]孔維麗.高等數(shù)學(xué)中極限思想的體現(xiàn)及極限概念教學(xué)[J].科技信息，2012，（28）：103.