艾爾肯·吾買爾，王守哲

(喀什大學 教育科學學院，新疆 喀什 844008)

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論APOS視角下的概念性變式教學

艾爾肯·吾買爾，王守哲

(喀什大學 教育科學學院，新疆 喀什 844008)

摘要：APOS理論是個體進行概念學習時的核心學習理論。它由活動、過程、對象和圖式四個連續(xù)的辯證階段構成，其本身具有完整性、活動性、發(fā)展性、和特殊性四大特征。概念性變式教學著眼于概念形成以后的深度學習，使學生通過對概念多角度、全方面、廣層次的理解，從而深層把握概念的本質。APOS理論與概念性變式教學之間的適恰融合，在充分借助其自身理論優(yōu)勢的條件下，則能有效促進學生對數學概念性變式的掌握。

關鍵詞：APOS理論；數學概念；概念性變式；教學

數學概念是“人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式?！盵1]它是數學學習中的“細胞”，借助于這一“細胞”，便可將直觀感受與抽象思維有機結合?？梢哉f，數學概念就是打開數學學習之門的鑰匙。但要掌握這把鑰匙卻也并非易事，它必須要經歷一個由淺入深的深層次的理解與轉換的抽象過程，而這也成為了概念學習的難點。APOS理論，作為一種活躍于我國數學教學中的國外理論，盡管在進行數學概念教學時應用，而對于概念性變式教學中教學運用的探討相對較少?；诖?，筆者以期通過本文的研究，能為當前數學概念的深入教學梳理出一條適恰的路徑。

1APOS理論

APOS理論是20世紀80年代美國學者杜賓斯基(Dubinsky)等人在數學教育實踐中發(fā)展的一種建構主義理論。[2]它是他們試圖對皮亞杰(J.Piaget)數學學習“反省抽象(Reflective Abstraction)”理論進行拓展的一種嘗試。[3]這種理論是一種以構建主義為背景、集中于特定學習內容——數學概念學習過程的學習理論。這一理論的提出，為數學概念的有效并深入學習提供了一種“范例”。

1.1APOS理論建構的四階段

杜賓斯基等人認為，學生學習數學概念要進行心理構建，而且這一心理構建過程要經歷如下四個階段：第一個階段是活動(Action)階段。通過教師精心安排的“教學活動”，讓學生親身體驗并直觀感受規(guī)則與概念之間的關系。其中“教學活動”，既涉及動手操作的活動，也包括思維活動。在學生理解概念的過程中，活動階段雖是一個鋪墊的階段，但卻是一個必要條件。第二個階段是過程(Process)階段。此階段中，學生對所經歷的活動進行思考，并通過自身的思維概括生成某種經驗，也即是經驗的心理建構過程。第三個階段是對象(Objecet)階段。這一階段是通過之前的鋪墊，個體已然可以認識到了概念的本質，并把自己所把握到的經驗實體化，賦予這些經驗具象化的定義及符號，使其得以精確。此時，這些實體化的符號則成為了思維中的具體的對象，在以后的學習中便可以此為學習對象進行新的活動。第四個階段是圖式(Scheme)階段。這一階段中將反映概念的特征、定義、符號以及獲得知識的過程一并容納其中，并在不斷地學習完善和長期的積累后，會與其它已經習得的概念圖式進聯系、融合，最終形成一個具有整體意義的知識結構，即綜合性的心理圖式。

1.2APOS理論的特征

如上四階段，杜賓斯基曾指出它們是有層次、有順序的，但這種層次和順序不是說任何一個數學概念都是按由上到下的順序經歷著四個階段，是一種線性關系。在某些復雜概念建構時，這四個階段可能會顛倒其中某個階段，甚至還會出現反復的情況。也即是各階段之間存在著一種辯證關系。從這種辯證關系出發(fā)，四階段之間存在著較為顯著的四個特征：①完整性。APOS理論下學生學習數學概念的過程，不僅表明了概念構造的層次性，更顯示出每一個階段都有其存在的特殊意義，四個階段缺一不可。②活動性。數學概念學習的核心是抽象思維活動，但這一核心的起點確是數學的直觀體驗活動，在教師的引導啟發(fā)下通過與個體自身的經驗相結合，從而引起學生的內在思維活動。③發(fā)展性。學生初步習得概念后，學習的過程中便可獲得更多的經驗，構建起與其它概念相連的圖式，從而推進整體圖式地不斷地完善和發(fā)展。④特殊性。APOS理論強調個體對數學概念的構建，個體所學的數學概念并非是對既定數學知識的單純理解和接受，而是對這些知識內容過程的再體驗和再創(chuàng)造，在這個過程中，不同的個體則會構建出屬于自己的獨一無二圖式。這四個特征一方面突出了概念教學所具有的動態(tài)生成性，個體所建構的意義就在“活動”與“發(fā)展”的動態(tài)中生成，另一方面也突出了概念教學中自身完整的體系性，而有別于一般意義的過程教學。

2APOS理論下的概念性變式教學

數學教學的基本特點表現為對數學概念和原理理解的多角度性以及推進數學活動的廣層次性。這一特點，在數學變式中表現為兩種形態(tài)：過程性變式和概念性變式[4]。過程性變式，雖注重過程，但其目標指向依舊是問題解決，在數學教學過程中逐漸衍生出多種變式；概念性變式教學，在個體進行概念建構以后，并不直接進行問題解決，而是從理解的范疇出發(fā)，通過學生多角度、多方面、廣層次的概念理解，從而把握概念的本質。兩種變式學習過程相較而言，后一種學習過程更具基礎性和本質性。

2.1APOS理論對概念性變式教學的解析

(1)活動階段與情景創(chuàng)設。變式教學，并不意味著，在教學階段之初就進行抽象的概念轉換活動，而是首先要借助于直觀的情景活動進行直覺體驗并思考，因為“學生對知識真正意義的理解與建構是建立在親歷操作的基礎上的”[5]。例如，在對y=kx+b(k ≠ 0，b∈R)這個一次函數學習時，可以先從簡單函數y = 2x開始學起，通過具體的賦值，讓學生直觀感受并思考規(guī)則與概念的關系，并為接下來的概念學習做好鋪墊。如圖1，就通過具體賦值的學習形式，讓學生由直觀的具體數字計算逐步過渡到對抽象函數關系的有效把握?？梢哉f，借助于直觀的活動以創(chuàng)設適恰的概念學習的背景，則能為個體后續(xù)的有效學習打下堅實的經驗基礎。

圖1一次函數賦值學習過程剖析圖

(2)過程階段與主動建構。學生通過對數字組的直觀觀察、反復思考，以找出這些看似雜亂數字之間的對應關系，經過若干項對應關系的“試誤”活動，便可使學生在頭腦中逐漸抽象和概括出這些數組間必然的對應關系，從而把握住這些數組之間的本質。面對諸如圖一中的具體的一次函數的學習，當學生認識到在這個函數表達式中，每取一個不同的數就會對應出不同的數值，通過對函數本身及其運算規(guī)則的把握就可以實現這種對應，而不再需要具體數值運算加以支撐時，個體也就實現了這種對過程階段的主動構建。

(3)對象與圖式階段的顯性化理解。在對象階段中，由于有了前兩個階段對一次函數理解學習的所獲取的經驗，所以此階段就可以自然而然地將y=kx+b一次函數看作一個整體的存在形式，并賦予其具體且形象的定義和符號，從而就使得我們容易在整體上把握此函數概念的本質。例如算式y(tǒng)1=2x+1、y2=3x+2。在要求兩個函數做加減乘除運算時，都是將函數一、函數二分別作為兩個獨立且完整的對象來處理的。進入圖式階段后，作為學習對象的一次函數的概念，會在學習者的認知結構中以節(jié)點的形式存在，并在與其它的節(jié)點相互聯系后，形成一種綜合的心理圖式，從而建立起一種內在的穩(wěn)定的聯系?？梢哉f，這一圖式實際上融合了一次函數中抽象的過程、實例性質、完整的定義等內容，圖式的形成也意味著知識已經組合成了一個完整的體系，它在數學認知體系中占有重要的地位。

2.2APOS理論指導下的概念性變式教學

數學概念具有抽象性的特點，但在概念教學中，卻離不開將“直接或具體的變式引入概念”[6]的做法，即對活動階段和過程階段的引入與過渡。在采用這一教學策略時，應將注意力由集中于相應的計算過程而轉向對函數本身的關注。要允許依靠學生直觀的經驗學作為橋梁，搭建起理性概念和概念性概念的通路。在APOS理論中，其初始活動階段強調的親身試驗和經歷，以及后續(xù)階段所依靠的抽象思維形式，都完整地蘊藏于概念學習的整個過程之中，同時，也唯有如此完整的學習，也才是完整的數學學習概念的過程。

由上述APOS的理論可知，學生對概念的學習是一個不斷構建的過程，這個過程由具體而抽象，升華和反思一并融于其中。而其中產生這一疑惑的主要原因則源于他們對一次函數的理解還停留在視覺化的前兩個階段。為此，在學習中，學生只有不斷地構建對一次函數的理解，并與自己頭腦中原有的相關概念的圖式進行整合、精致，才能形成完整的一次函數的概念。同時，這也是一個循序漸進的對一次函數概念的不斷完善的過程，而這也充分體現了APOS理論的效用。

另外，為了使學生能多角度地理解數學概念，我們還需從另一個角度來對非概念性變式的概念的外延予以深入理解。如學生在判斷y2=2x+1；y=1/(2x)+1 ；y+4x=4x+1時，會對不是一次函數的試子感到困惑，而這其中的原因固然有他們對于一次函數的理解依舊處于視覺化的階段，在抽象思維層次沒有質性飛越的限制。但對函數外延的有效理解也是其中很重要的內容之一?？梢哉f，以APOS理論理解與解析概念性變式的方式，不但涉及到了對其內在知識體系的完整理解，更涉及到了對概念的外延的清晰把握，最終使學生可以在更深層次上理解和把握數學概念及其邊界。

3APOS理論有效應用于概念性變式教學的條件

3.1教學四階段需連續(xù)并活用

“活動”“過程”“對象”“圖式”這四個階段在概念學習中是一個連續(xù)的過程，學生跳過其中任何一個階段而進入下一個階段的學習，都難以達成對概念有效學習的目的。要么過于抽象難懂，要么缺乏學生已有經驗的參與，又或者是難以將所學運用于生活實際。而當經歷了“活動”、“過程”、“對象”、“圖式”四個階段后，學生就會在頭腦中逐步形成完整的概念的過程?？梢哉f，四個階段具有極強的邏輯關聯性，是一個完整的有機整體。但也需要注意的是，教師的教學設計，一方面需要與各階段的設計協調統(tǒng)一。另一方面，也需要在協調統(tǒng)一的過程中明確：四階段流程并不是每節(jié)課堂都要必然要完成的任務，它們也可以分散到幾節(jié)課中共同完成。

APOS是一個基于學生主動探究以逐步形成概念過程的理論，除了需要重視四階段的連續(xù)性外，還要緊密關注其“活用”。而這也對教師提出了更高要求?？此茖W生是探究的主體，一切活動在圍繞教師展開，但畢竟教師是整個活動的引導者，缺乏了教師這一引導要素，整個教學活動可能就不復存在了。而這也意味著教師要在課前要付出更多的時間和精力。一方面，要求教師在課前教學設計中盡可能地預演課堂上的種種可能、預想學生在概念形成的各個階段可能出現的情況，以便在課堂上順利指導學生完成探究過程。另一方面，教師還要聯系教學實際，對概念形成的各個階段的銜接進行精心設計，以幫助學生用最短的時間、最易理解的方式完成新概念的構建過程，形成概念的優(yōu)化認知。

3.2教師在引導活動情景中把握“度”

在學生概念性變式的掌握進程中，情景活動固然為圖式的形成提供了認識基礎，但是這種認識基礎只是一種表面認識，它還需要進一步深化，即在教師的引導下讓學生可以從雜亂的情境中抽象出概念的本質，從而引起學生的積極思考。這就牽涉到了概念學習“度”的問題。一方面，要充分重視教師引導的重要作用。學生對數學概念的詳盡掌握，是從看似無意義的教學活動情景向意義世界的建構，而這種建構活動則極大地依賴于教師的引導作用，如果忽略了教師引導這一因素，學生很可能依舊在無意義的情景世界中徘徊，而無所收獲。另一方面，教師要對活動階段有一個整體“度”的把握。情景活動引入的目的恰是為了能夠讓學生運用抽象思維以把握概念的本質而做的鋪墊。所以情境活動的創(chuàng)設不能有太多的停留，造成活動階段過長，偏離了概念學習的本質，也不可蜻蜓點水一般，思維、活動沒有很好地結合就結束了這一階段。這就要求教師有較高的駕馭課堂的能力。

3.3認識過程中蘊含著豐富的價值意義

在活動階段，學生的認識依舊還停留在具體、直觀、視覺化的初始階段，而從過程階段開始，觀察、分析和比較等內外的心智活動則一同開啟，并對活動和操作中的共有成分進行思考，從而生發(fā)出意義，隨后通過對這種過程的意義性內容進行擴充、調整并納入自己原有的概念體系中。通常而言，在現實的問題情景中要抽離出概念的本質是需要一個過程的，這就要求學生對新概念的理解由感性而上升至抽象思維層面，即經過自身的思維概括及內化以達至對過程意義的理解。

3.4后兩個階段具有循環(huán)促生性

在對象階段，通過對前兩個階段的鋪墊讓學生在經驗中能夠逐步抽象概括出概念的本質，并賦予這些經驗性內容以具象化的定義和符號，使之成為思維中具體的對象。而到了圖式階段，它則是對前三個階段在總體上的把握和升華，個體對概念本質的理解有了更為深層的認識。但這并不意味著個體對概念圖式的理解已經固定。它還會處于不斷地變化和發(fā)展之中的。在構建過程中，對象和圖式這兩個階段還會以循環(huán)上升的形式交替進行，最終促使概念圖式的不斷豐富與創(chuàng)新。

參考文獻：

[1]周建華.數學概念教學中有效提問的量化研究[J]. 中國電化教育，2012，(6)：96-100.

[2]Dubinsky E.APOS:A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research[C].1993.

[3]喬連全.APOS：一種建構主義的數學學習理論[J].全球教育展望，2001(3)：16-18.

[4]鮑建生，黃金榮，易凌峰，等.變式教學研究(再續(xù))[J].數學教學，2003(3)：6-10.

[5]程華.在操作中體驗，從過程中感悟，在感悟中建構：對APOS理論操作、過程階段的思考[J].數學教學研究，2007(5)：2-5.

[6]蘭沖.APOS理論下的函數概念認識及教學啟示[D]. 武漢：華中師范大學，2006.

責任編輯：劉琳

On Conceptual Change Teaching from the Perspective of APOS

AIEr-ken·WU Mai-er, WANG Shouzhe

(College of Educational Science, Kashgar University, Kashgar 844008, China)

Abstract：APOS Theory is a core learning theory in individual’s concept learning, which consists of four continuous phases such as action, process, object and schema, having four characteristics of integrity, activity, development and particularity. The conceptual change teaching focuses on deep learning after the formation of the concept, making students grasp the essence of the concept through understanding from multiple perspectives, all aspects and levels. The proper integration between APOS Theory and the conceptual change teaching can effectively promote students to master the conceptual change of mathematics with the aid of the advantages of its own theory.

Keywords：APOS Theory; mathematical concept; conceptual change; teaching

收稿日期：2016-01-06

基金項目：教育部人文社會科學研究新疆項目(13XJJC880003)

作者簡介：艾爾肯·吾買爾(1959-)，男，維吾爾族，教授，碩士生導師，主要從事數學與教學論研究。

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：1009-3907(2016)06-0094-04