吳鶴翔　劉　瑤　李明寶

(東北林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱　150040)

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談合成定理和基點(diǎn)法的異同點(diǎn)

吳鶴翔劉瑤李明寶

(東北林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150040)

摘要:以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的問題為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)比分析了點(diǎn)的速度(加速度)合成定理和點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法之間的聯(lián)系與差別，為學(xué)生深入理解和應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提供了參考。

關(guān)鍵詞:理論力學(xué)，合成定理，基點(diǎn)法

0　引言

有關(guān)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容在理論力學(xué)中是較難真正理解掌握的內(nèi)容之一。大部分同學(xué)對(duì)這兩部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是相互獨(dú)立的，學(xué)習(xí)過程中對(duì)每部分內(nèi)容似乎都懂了，也能夠求解相關(guān)的習(xí)題，但對(duì)于部分勤于思考的同學(xué)，在理解兩部分內(nèi)容之間的聯(lián)系和差異時(shí)卻出現(xiàn)了問題。本文從學(xué)生理解相關(guān)知識(shí)過程中存在的問題出發(fā)，通過理論分析和例題分析對(duì)理論力學(xué)教材中關(guān)于點(diǎn)的合成定理和基點(diǎn)法之間的關(guān)系給出了解釋和說明，以期解決初學(xué)者在理解和應(yīng)用這兩部分知識(shí)點(diǎn)時(shí)存在的問題。

1　問題的提出

在許多理論力學(xué)教材中點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體的平面運(yùn)動(dòng)是相連的兩章內(nèi)容，分別重點(diǎn)介紹了點(diǎn)的速度(加速度)合成定理和點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法兩種求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的思路［1-4］。兩種求解方法之間存在著理論上的聯(lián)系和應(yīng)用上的差異，是運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的重點(diǎn)所在。應(yīng)用這兩部分理論內(nèi)容求解的習(xí)題均是運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，并且從題目的條件和問題的敘述，物體系的組成，到求解過程均存在著極大的相似之處。這使得部分勤于鉆研的同學(xué)在理解時(shí)產(chǎn)生了困難，在題目未明確要求使用方法的情況下，或者處理綜合類題目的時(shí)候，如何判斷求解題目應(yīng)采用的方法，以及這兩部分理論在本質(zhì)上存在哪些聯(lián)系和差別。

2　分析和討論

通過分析如下例題對(duì)上述問題進(jìn)行深入的討論［1］。

例1:如圖1a)所示刨床機(jī)構(gòu)，已知曲柄O1A=r，以勻角速度ω1轉(zhuǎn)動(dòng)，l=4r。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。

圖1　刨床機(jī)構(gòu)

例2:如圖1b)所示刨床機(jī)構(gòu)，已知曲柄O1A=r，以勻角速度ω1轉(zhuǎn)動(dòng)，l=4r。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。

已知例1和例2中Ⅰ區(qū)部分的條件完全相同，因此根據(jù)速度和加速度合成定理對(duì)兩例題中的Ⅰ區(qū)部分進(jìn)行求解。如圖2a)所示，取A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，桿件AB為動(dòng)系，進(jìn)行速度分析:

聯(lián)立方程(3)和方程(4)得:

圖2　動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)分析

如圖2b)所示，取A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，桿件AB為動(dòng)系，進(jìn)行加速度分析:

將方程(7)～方程(9)代入方程(6)中得:

基于上述求解結(jié)果，對(duì)例1和例2中的Ⅱ區(qū)部分分別求解。

根據(jù)速度和加速度合成定理對(duì)例1中的Ⅱ區(qū)部分求解，如圖3a)所示，取B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，桿件AB為動(dòng)系，進(jìn)行速度分析:

圖3　例1中動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)分析

如圖3b)所示，取B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，桿件AB為動(dòng)系，進(jìn)行加速度分析:

將方程(14)和方程(15)代入方程(13)中得:

根據(jù)速度和加速度基點(diǎn)法對(duì)例2中的Ⅱ區(qū)部分求解，如圖4a)所示，取桿件BC為研究對(duì)象，以 B點(diǎn)為基點(diǎn)，進(jìn)行速度分析:

圖4　例2中桿件BC運(yùn)動(dòng)分析

如圖4b)所示，取桿件BC為研究對(duì)象，以B點(diǎn)為基點(diǎn)，進(jìn)行加速度分析:

將方程(21)和方程(22)代入方程(20)中得:

由上述例題及求解過程可以看到，兩道題目給出的已知條件和求解問題完全相同，圖示給出的機(jī)構(gòu)極其相似，其中Ⅰ區(qū)完全相同，只有Ⅱ區(qū)一個(gè)桿件的連接方式有差別。題目的相似性是初學(xué)者在區(qū)分理解和應(yīng)用點(diǎn)的速度(加速度)合成定理和點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法時(shí)存在困難的主要原因。題目中Ⅱ區(qū)桿件連接方式是唯一的差別所在，這也正表明了點(diǎn)的速度(加速度)合成定理和點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法之間的聯(lián)系和差異。對(duì)例1的求解采用了點(diǎn)的速度(加速度)合成定理。分析圖1a)中Ⅱ區(qū)桿件的連接方式可以看到，求解運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的C點(diǎn)和已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的B點(diǎn)在兩個(gè)不同的剛體上，點(diǎn)的速度(加速度)合成定理用于分析兩個(gè)剛體(桿件AB和桿件BC)相接觸且有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或兩個(gè)剛體雖然不接觸但有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)不同剛體上相重合的一點(diǎn)的速度和加速度的問題。這里在使用點(diǎn)的速度(加速度)合成定理時(shí)，剛體有兩個(gè)，點(diǎn)只有一個(gè)(本質(zhì)是兩個(gè)，在不同的兩個(gè)剛體上，但重合于一點(diǎn))。對(duì)例2的求解采用了點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法。分析圖1b)中Ⅱ區(qū)桿件的連接方式可以看到，求解運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的C點(diǎn)和已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的B點(diǎn)在同一個(gè)剛體上，點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法用于分析作平面運(yùn)動(dòng)的一個(gè)剛體(桿件BC)上兩個(gè)不同點(diǎn)間的速度和加速度的問題。這里在使用點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法時(shí)，剛體只有一個(gè)，點(diǎn)有兩個(gè)。

理論力學(xué)教材中講解點(diǎn)的速度(加速度)合成定理和點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法時(shí)的方法和過程是相似的，這是由于兩種理論方法既存在聯(lián)系也具有差異。通常對(duì)點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法的講解會(huì)引用合成運(yùn)動(dòng)理論的觀點(diǎn)進(jìn)行解釋，兩種理論方法的本質(zhì)都是點(diǎn)在定參考系中運(yùn)動(dòng)的參數(shù)等于點(diǎn)在動(dòng)參考系中運(yùn)動(dòng)和動(dòng)參考系在定參考系中運(yùn)動(dòng)的同一參數(shù)的矢量和，是一種合成理論，這是兩種理論方法的共同點(diǎn)。兩種理論方法的差異除了上述求解應(yīng)用時(shí)要依不同條件選擇相應(yīng)的理論方法外，合成定理求解加速度時(shí)重點(diǎn)討論了科氏加速度的問題，而基點(diǎn)法中卻未提及科氏加速度?？剖霞铀俣仁窃邳c(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)中牽連運(yùn)動(dòng)為曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的加速度。在基點(diǎn)法求平面內(nèi)任一點(diǎn)的加速度時(shí)，雖然也是基于點(diǎn)的加速度合成理論(牽連運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)合成絕對(duì)運(yùn)動(dòng))，但基點(diǎn)法的運(yùn)動(dòng)合成是隨同基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)是將基點(diǎn)上建立參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)作為牽連運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是基點(diǎn)上的坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)，而不是基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。參考系運(yùn)動(dòng)過程中坐標(biāo)軸的方向始終保持不變，因此牽連運(yùn)動(dòng)始終在作平動(dòng)。通過基點(diǎn)法求解點(diǎn)的加速度問題時(shí)不存在科氏加速度。

3　結(jié)語

本文從習(xí)題應(yīng)用的角度出發(fā)，通過分析例題討論了運(yùn)動(dòng)學(xué)中點(diǎn)的合成定理和基點(diǎn)法的相關(guān)性及差異性，研究結(jié)果表明:

1)點(diǎn)的速度(加速度)合成定理和點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法都是基于運(yùn)動(dòng)合成基本理論。

2)點(diǎn)的速度(加速度)合成定理用于分析有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)剛體上相重合的一個(gè)點(diǎn)的速度和加速度的問題。點(diǎn)的速度(加速度)基點(diǎn)法用于分析作平面運(yùn)動(dòng)的一個(gè)剛體上兩個(gè)不同點(diǎn)間的速度和加速度的問題。

3)建立在基點(diǎn)上的參考坐標(biāo)系的牽連運(yùn)動(dòng)始終作平動(dòng)，因此按照運(yùn)動(dòng)合成的觀點(diǎn)，基點(diǎn)法求解點(diǎn)的加速度問題中不存在科氏加速度。

本文的結(jié)論對(duì)深入學(xué)習(xí)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)兩部分內(nèi)容有重要的意義，有助于澄清學(xué)生在理解過程中產(chǎn)生的問題。

參考文獻(xiàn):

［1］ 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室．理論力學(xué)［M］．北京:高等教育出版社，2009．

［2］林蘭華．理論力學(xué)［M］．北京:科學(xué)出版社，2009．

［3］羅特軍．理論力學(xué)［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2013．

［4］ 孫雅珍，侯祥林．理論力學(xué)［M］．北京:中國電力出版社，2015．

中圖分類號(hào):G642．0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1009-6825(2016)17-0247-02

收稿日期:2016-04-03

作者簡介:吳鶴翔(1983-)，男，講師

On similarities and differences between compound theorem and basic point method

Wu HexiangLiu YaoLi Mingbao
(College of Civil Engineering，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China)

Abstract:From some problems in the students’learning process，the paper compares and analyzes the relation and difference between the compound theorem of the point’s speed and the basic point method of the point’s speed，so as to provide some reference for the understanding and application of the compound movement and the related knowledge of rigid movement plane movement．

Key words:theoretic dynamics，compound theorem，basic point method