李忠剛陳照波焦映厚梁廷偉侯磊

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，哈爾濱 150001）（2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

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分布式拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)動力學(xué)特性分析*

李忠剛1，2?陳照波1焦映厚1梁廷偉2侯磊2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，哈爾濱 150001）（2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

摘要為了更好的提高能源利用率，以新興、高效的分布式拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為代表的燃?xì)廨啓C(jī)與蒸汽輪機(jī)聯(lián)合發(fā)電技術(shù)在電力部門得到快速發(fā)展.本文主要研究了分布式拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的非線性動力學(xué)特性，通過等效簡化等方法建立了分布式拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動方程.利用平均法獲得動力學(xué)方程解析解和系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動幅頻曲線，進(jìn)一步研究了其周期解的穩(wěn)定特性，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)阻尼，立方剛度和外激頻率等參數(shù)對其影響規(guī)律.本文的分析結(jié)果對燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞非線性轉(zhuǎn)子動力學(xué)， 分布式拉桿轉(zhuǎn)子， 扭轉(zhuǎn)振動， 平均法， 穩(wěn)定性分析

2015-03-06收到第1稿，2015-10-14收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11302058，11272100）和中國博士后面上基金資助項(xiàng)目（2013M541360）

引言

目前，燃?xì)?蒸汽聯(lián)合循環(huán)機(jī)組（Gas - Steam Combined Cycle，GSCC）和整體煤氣化燃?xì)?蒸汽聯(lián)合循環(huán)機(jī)組（Integrated Gasification Combined Cycle，IGCC）發(fā)電是當(dāng)今國際上先進(jìn)的潔凈煤發(fā)電技術(shù)，具有高效、低污染、節(jié)水和綜合性能高等優(yōu)點(diǎn).此外，由于燃?xì)廨啓C(jī)擁有功率密度大、啟動速度快和噪聲低頻分量低等先天優(yōu)勢，也被廣泛應(yīng)用在航空、艦船和車輛等動力機(jī)械中.伴隨著燃?xì)廨啓C(jī)技術(shù)的發(fā)展，分布式拉桿轉(zhuǎn)子在重型和輕型燃?xì)廨啓C(jī)中獲得了廣泛的應(yīng)用.分布式拉桿轉(zhuǎn)子是燃?xì)廨啓C(jī)的核心部件，其轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性決定了機(jī)組的整機(jī)工作性能.但是研究拉桿轉(zhuǎn)子力學(xué)模型及其振動特性的文獻(xiàn)起步較晚，且結(jié)果不多［1］.目前，國內(nèi)對拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)研究主要集中在對彎曲振動方面的研究，主要包括拉桿轉(zhuǎn)子力學(xué)建模［1 -2］，拉桿接觸剛度計(jì)算［3］、臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算［4 -5］.而關(guān)于拉桿轉(zhuǎn)子扭振方面的研究并不多見［6 -7］，本文將根據(jù)分布式拉桿轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行簡化，并建立扭轉(zhuǎn)振動的動力學(xué)模型，并利用平均法研究分布式拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動非線性系統(tǒng)主共振幅頻特性，進(jìn)一步研究分布式拉桿非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主共振周期解的穩(wěn)定性，為分布式拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動特性研究提供一種理論分析方法，并為后續(xù)試驗(yàn)研究提供理論指導(dǎo)及基礎(chǔ).

1 分布式拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動模型

一般盤式分布拉桿燃汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)可以簡化如圖1所示.為方便對拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動進(jìn)行研究，不考慮各個拉桿兩端螺栓預(yù)緊力等因素對拉桿的扭轉(zhuǎn)振動影響，假設(shè)整個轉(zhuǎn)子由N個拉桿組成，每個拉桿為圓柱等截面梁，忽略轉(zhuǎn)速對分布拉桿慣性矩的影響，將每個輪盤的轉(zhuǎn)動慣量等效集總到右端為J；在轉(zhuǎn)子左端旋轉(zhuǎn)面建立固定坐標(biāo)系Oxyz，轉(zhuǎn)速為ω0，如圖1所示；拉桿轉(zhuǎn)子受到扭轉(zhuǎn)作用時，拉桿右端（末端）由原始位置A移動到位置B，在右端建立旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Ox′y′z，當(dāng)扭轉(zhuǎn)力作用時拉桿右端截面變形位移示意圖如圖2所示.

對單個拉桿進(jìn)行受力分析，可得一個拉桿由彎曲變形所產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力矩為：

其中，F(xiàn)t為拉桿彎曲力的切向分量；R為拉桿中心到轉(zhuǎn)子中心的距離；E為彈性模量；I為慣性矩；l為拉桿的長度.

此外，令每個拉桿圓柱面末端扭轉(zhuǎn)角度為2φ，如圖2所示，則其圓柱截面的扭轉(zhuǎn)力矩為：

其中，G為剪切彈性模量；Ip為截面的極慣性矩.

圖1 分布式拉桿燃汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意簡圖Fig. 1 Schematic of a distributed rod fastening rotor in the gas turbine

圖2 分布式拉桿轉(zhuǎn)子等效簡化結(jié)構(gòu)圖Fig. 2 Equivalent simplified structure of the distributed rod fastening rotor

圖3 拉桿末端截面位置示意圖Fig. 3 Position schematic of the end section of a fastened rod

在實(shí)際工程中，燃?xì)廨啓C(jī)分布式拉桿在預(yù)緊力作用下，螺母與輪盤之間存在一定的摩擦系數(shù)，且各輪盤接觸面上也存在摩擦系數(shù)；此外，拉桿材料本身擁有抗扭內(nèi)阻.因此，需要在實(shí)際的動力學(xué)系統(tǒng)中存在一定的弱阻尼影響，不妨假設(shè)其為弱阻尼項(xiàng)系數(shù)為εμ；當(dāng)分布式拉桿轉(zhuǎn)子在扭轉(zhuǎn)外激勵Λcosωt作用下，則再可根據(jù)上述公式將分布式拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程寫為：

其中，當(dāng)扭轉(zhuǎn)角度較小時，可由Taylor展開級數(shù)得到可知，.因此，動力學(xué)系統(tǒng)（3）可簡化整理為：

2 非線性扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)主共振分析

當(dāng)外激勵頻率ω接近派生系統(tǒng)頻率ω0時，系統(tǒng)發(fā)生主共振，由于系統(tǒng)是線性小阻尼系統(tǒng)，這時很小的外激勵幅值F就會激發(fā)出強(qiáng)烈的共振，此時對外激勵幅值和頻率加以限制標(biāo)上小量：F =εF，ω2=ω0

2（1 +εσ），其中σ作為激勵頻率調(diào)諧參數(shù).則動力學(xué)系統(tǒng)（4）可表示為：

本文應(yīng)用平均法［8］可得到動力學(xué)系統(tǒng)（5）平均方程為：

為確定穩(wěn)態(tài)運(yùn)動定常解振動幅值和相位，則消除三角函數(shù)后的系統(tǒng)分岔方程為：

圖4為動力學(xué)系統(tǒng)（5）不同參數(shù)下的幅頻曲線，分析可知扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的剛度在主共振時有時會表現(xiàn)為軟彈簧特性，并幅值存在三解特征，如圖中間紅曲線是不穩(wěn)定解，黑曲線為穩(wěn)定解.圖4（a）說明，當(dāng)系統(tǒng)阻尼系數(shù)越高，系統(tǒng)在主共振附近的振動越低，而且當(dāng)系統(tǒng)阻尼增加到一定程度后，動力學(xué)系統(tǒng)將不再會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，而且振動幅值也會減低，這一現(xiàn)象主要是由于非保守動力學(xué)系統(tǒng)中的阻尼將消耗系統(tǒng)振動能量.而外激勵的振動幅值與之相反，如圖4（b）所示.圖4（c）說明系統(tǒng)主共振時的幅頻曲線出現(xiàn)軟彈簧特性是由于系統(tǒng)非線性剛度引起的，只有當(dāng)非線性剛度較小時動力學(xué)系統(tǒng)會表現(xiàn)出線性振動特性.因此，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)時，首先需要在設(shè)計(jì)參數(shù)上避免出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，其次需要將振動幅值盡量降低，以便在通過共振區(qū)時系統(tǒng)擁有較強(qiáng)的動力學(xué)穩(wěn)定性.

圖4 幅頻曲線Fig. 4 Frequency response diagrams

3 動力學(xué)系統(tǒng)主共振周期解穩(wěn)定性分析

下面進(jìn)一步深入研究動力學(xué)系統(tǒng)（5）主共振定常解的穩(wěn)定性邊界，進(jìn)而為轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo).可將平均方程（6）在周期運(yùn)動附近線性化，其小擾動Δa和Δψ的自治微分方程可表示為：

由特征方程可得方程（5）定常解解失穩(wěn)條件為：

由公式（10）可知，動力學(xué)系統(tǒng)（5）的系統(tǒng)參數(shù)對其定常解穩(wěn)定性都會產(chǎn)生影響.如圖5所示，為在不同σ值下非線性振動系統(tǒng)幅值A(chǔ)的失穩(wěn)邊界，即轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在派生系統(tǒng)固有頻率ω0附近變化時，系統(tǒng)不同的振動幅值會導(dǎo)致系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性發(fā)生根本性的改變.可見對于非線性系統(tǒng)，幅值的大小會影響系統(tǒng)周期解的性態(tài).圖6為取不同幅值參數(shù)下穩(wěn)定周期解的相圖，系統(tǒng)振幅在臨界值變化時，系統(tǒng)周期解會有明顯變化.

圖5 幅值失穩(wěn)邊界Fig. 5 Instability boundary ofamplitude

圖6 不同初值下的周期解相圖Fig. 6 Phase diagrams for periodic solutions withdifferent initial values

4 總結(jié)

對拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動非線性動力學(xué)模型周期解進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，研究結(jié)果表明：非線性動力學(xué)系統(tǒng)中的阻尼、非線性剛度和外激勵頻率等參數(shù)對系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性有一定的影響，利用Duffing方程擾動方程的穩(wěn)定性給出了系統(tǒng)周期解失穩(wěn)判定曲線.此外，振動幅值大小也會影響周期解大小.

因此實(shí)際工程中，拉桿轉(zhuǎn)子在設(shè)計(jì)階段需要盡量避開公式（13）所給出的導(dǎo)致系統(tǒng)周期失穩(wěn)的敏感區(qū)域；而且當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生周期解時，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)行中盡量降低突加扭轉(zhuǎn)負(fù)荷，即扭轉(zhuǎn)振動幅值，使系統(tǒng)盡量穩(wěn)定到幅值較小的周期解上.

在文本理論分析基礎(chǔ)上，課題組將繼續(xù)開展扭轉(zhuǎn)振動實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證理論分析結(jié)果，并通過參數(shù)控制實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)較高的動力學(xué)穩(wěn)定性.

參 考 文 獻(xiàn)

1 汪光明，饒柱石，夏松波.拉桿轉(zhuǎn)子力學(xué)模型的研究.航空學(xué)報，1993，14（8）：419～423（Wang G M，Rao Z S，Xia S B. The analysis of mechanical model of rod fastening rotor. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1993，14 （8）：419～423（in Chinese））

2 章圣聰，王艾倫.盤式拉桿轉(zhuǎn)子振動特性研究.振動與沖擊，2009，28（4）：117～120（Zhang S C，Wang A L. Analysis of vibration characteristics of a disk-rod-fastening rotor. Journal of ViIbration and Shock，2009，28（4）：117 ～120（in Chinese））

3 李輝光，劉恒，虞烈.考慮接觸剛度的燃?xì)廨啓C(jī)拉桿轉(zhuǎn)子動力特性研究.振動與沖擊，2012（7）：4～8（Li H G，Liu H，Yu L. Dynamic characteristics of a rod fastening rotor for gas turbine considering contact stiffness. Journal of Vibration and Shock，2012，31（7）：4～8（in Chinese））

4 王少波，孟成，蘇明.燃?xì)廨啓C(jī)拉桿轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模及臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算.上海交通大學(xué)學(xué)報（自然版），2013，V47（3）：381～384（Wang S B，Meng C，Su M. Dynamic modeling and critical speed calculation of gas turbine rod fastening rotor. Journal of Shanghai Jiaotong University （Sci.），2013，47（3）：381～384

5 何鵬，劉占生，張廣輝等.分布拉桿轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模與分析.汽輪機(jī)技術(shù)，2010，52（1）：4～8（He P，Liu Z S，Zhang G H，et al. Dynamic modeling and analysis of distributed rod fastening rotor. Turbine Technology，2010，52 （1）：4～8（in Chinese））

6 王艾倫，駱舟.拉桿轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動研究.振動與沖擊，2009，28（5）：165～168（Wang A L，Luo Z. Study on rod fastening rotor＇s torsional vibration. Journal of Vibration and Shock，2009，28（5）：165～168（in Chinese））

7 高進(jìn)，袁奇，李浦等.燃?xì)廨啓C(jī)拉桿轉(zhuǎn)子考慮接觸效應(yīng)的扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)分析.振動與沖擊，2012，31（12）：9～18（Gao J，Yuan Q，Li P，et al. Torsional vibration modal analysis for rod-fastened gas turbine rotor considering contact effects. Journal of Vibration and Shock，2012，31 （12）：9～18（in Chinese））

8 陳予恕.非線性振動.北京：高等教育出版社，2002 （Chen Y S. Nonlinear Vibration. Beijing：Higher Education Press，2002（in Chinese））

Received 6 March 2015，revised 16 October 2015.

*The project supported by National Natural Science Foundation of China（11302058，11272100），Supported by China Postdoctoral Science Foundation（2013M541360）

ANALYSIS OF CHARACTERISTICS OF THE TORSIONAL VIBRATION OF THE DISTRIBUTED ROD FASTENING ROTOR SYSTEM*

Li Zhonggang1，2?Chen Zhaobo1Jiao Yiinghou1Liang Tingwei2Hou Lei2
（1. School ofMechatronics Engineering，Harbin Institute Technology，Harbin 150001，China）（2. School of Astronautics，Harbin Institute Technology，Harbin 150001，China）

AbstractIn order to improve efficiency，the gas and steam turbine cycle technology，represented by newly distributed rod fastening rotor system，gets fast development in electrical production departments. In this paper，

nonlinear characteristics of the distributed rod fastening system are studied by a novel torsional vibration model. By using equivalent and simplification method，torsional vibration model of the distributed rod fastening rotor system are established. Based on the average method，analytical solutions and the amplitude frequency curves of the dynamic system are obtained. Further，the stability of periodic solutions of the dynamic system is studied，and impacts of the external excitation，damping and cubic stiffness are investigated respectively. Analysis results of the dynamic system have a guiding significance to design.

Key wordsnonlinear rotor-dynamics， distributed rod fastening rotor， torsional vibration， average method，stability analysis

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-011

通訊作者?E-mail：lizhonggang@ hit. edu. cn

Corresponding author?E-mail：lizhonggang@ hit. edu. cn