宦榮華馬云雙郝琪朱位秋

（1.浙江大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，杭州 310027）（2.中國南車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，青島 266111）

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隨機(jī)激勵的非線性Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)*

宦榮華1?馬云雙2郝琪1朱位秋1

（1.浙江大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所，杭州 310027）（2.中國南車青島四方機(jī)車車輛股份有限公司，青島 266111）

摘要大量實(shí)際工程問題需要用同時包含連續(xù)和離散變量的Markov跳變系統(tǒng)來描述.本文介紹了一類隨機(jī)激勵的單自由度（強(qiáng)）非線性Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的研究方法.首先，基于隨機(jī)平均法導(dǎo)出具有Markov跳變參數(shù)的平均It?隨機(jī)微分方程，原系統(tǒng)方程的維數(shù)得到降低.接著，根據(jù)跳變過程原理，建立Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程組，方程組中的方程與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)狀態(tài)一一對應(yīng)且互相耦合.求解該FPK方程組，得到Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)響應(yīng)及其統(tǒng)計(jì)量.最后，以一個高斯白噪聲激勵的Markov跳變Duffing振子為例，計(jì)算得到不同跳變規(guī)律下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).研究結(jié)果表明，Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以看作是各結(jié)構(gòu)狀態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的加權(quán)和，加權(quán)值由跳變規(guī)律決定.

關(guān)鍵詞Markov跳變， 隨機(jī)激勵， 非線性， 隨機(jī)平均法

2014-11-01收到第1稿，2015-04-01收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372271，11432012，51175474）、“973”計(jì)劃（2011CB711105）

引言

隨著計(jì)算機(jī)、軍事、生物和工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)典的單結(jié)構(gòu)系統(tǒng)理論已不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需要，而一類既能反映系統(tǒng)狀態(tài)變化又能反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化的系統(tǒng)，即Markov跳變系統(tǒng)，從20世紀(jì)中葉提出以來引起人們的很大關(guān)注. Markov跳變系統(tǒng)是一個同時包含連續(xù)和離散變量的混合系統(tǒng)，離散跳變隨機(jī)過程的引入，使得系統(tǒng)的動力學(xué)行為更為復(fù)雜，也增加了系統(tǒng)動力學(xué)研究的難度.因此，Markov跳變系統(tǒng)動力學(xué)的研究具有重要科學(xué)意義.

Markov跳變系統(tǒng)最初由Krasivskii和Lidskii提出［1］，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，已經(jīng)取得了一些成果［2 -3］. Markov跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論是由Kats 和Krasovskii最先提出的［4］.隨后，M. martion［5］利用隨機(jī)Lyapunov方法分析了隨機(jī)噪聲環(huán)境下線性Markov跳變系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性. Fen和Fang［6，7］將傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論拓展到隨機(jī)Markov跳變系統(tǒng)中，提出了隨機(jī)Lyapunov第二方法穩(wěn)定性定理. Krasovskii等首先研究了Markov跳變系統(tǒng)的LQR問題. Sworder等［8］基于極大值原理研究了有限時間區(qū)間內(nèi)的線性Markov跳躍系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題. Ghosh等［9］提出了Markov跳變系統(tǒng)控制問題的動態(tài)規(guī)劃方法.方洋旺［3］等對近20年里面隨機(jī)跳變系統(tǒng)在狀態(tài)估計(jì)、穩(wěn)定性研究以及最優(yōu)控制方面的主要理論進(jìn)行了總結(jié).然而，之前的研究多為線性系統(tǒng)，研究內(nèi)容多局限于隨機(jī)穩(wěn)定性與控制方面，對非線性Markov跳變系統(tǒng)的動力學(xué)研究還極少涉及.

本文主要研究了隨機(jī)激勵下非線性Markvo跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).基于隨機(jī)平均法［10 -13］對系統(tǒng)進(jìn)行簡化，導(dǎo)出了Markov跳變系統(tǒng)的平均It?隨機(jī)微分方程.建立并求解相應(yīng)的FPK方程組，得到Markov跳變系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅響應(yīng)的概率分布，研究了跳變規(guī)律對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律.將理論結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文理論方法的準(zhǔn)確性.

1 平均方程

考慮一類隨機(jī)激勵的單自由度（強(qiáng)）非線性Markov跳變系統(tǒng)：

式中ε為小量，g為非線性剛度；εf為帶有跳變參數(shù)的小阻尼；ε1/2hW（t）代表帶有跳變參數(shù)的弱外或參數(shù)激勵；W（t）為強(qiáng)度為2D的高斯白噪聲.當(dāng)s （t）固定時，函數(shù)f（x，˙x，s（t））和h（x，˙x，s（t））為x的光滑函數(shù). s（t）是一個在有限集合S =｛1，2，…，l｝內(nèi)取值的連續(xù)時間離散狀態(tài)的Markov過程，s（t）代表系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)標(biāo)號，l是系統(tǒng)所擁有的結(jié)構(gòu)狀態(tài)的數(shù)目.在小時間間隔Δt內(nèi)，該Markov過程的轉(zhuǎn)移概率為

考慮獨(dú)立跳變情形，即跳變過程與系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān).假設(shè)系統(tǒng)始終運(yùn)行在第i個結(jié)構(gòu)狀態(tài)中，無跳變發(fā)生.在此情形下，簡單起見，令f（x，s（t））和h（x，s（t））簡寫為f（i）（x，˙x）和h（i）（x˙）.無跳變系統(tǒng)具有如下形式的解［10］

式中

其中A，Φ，τ和υ為隨機(jī)過程.運(yùn)用隨機(jī)平均法［10 -12］，得到關(guān)于振幅響應(yīng)A的平均It?隨機(jī)微分方程

式中B（t）為單位維納過程，擴(kuò)散和漂移系數(shù)為

原跳變系統(tǒng)具有l(wèi)個如式（6）所示的平均方程，平均后的跳變系統(tǒng)在這l個平均方程間跳變.因此，得到如下跳變系統(tǒng)的平均方程

式中m（A，s）和σ（A，s）為帶有Markov跳變參數(shù)的擴(kuò)散和漂移系數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行在第i個結(jié)構(gòu)狀態(tài)時，其擴(kuò)散和漂移系數(shù)，即m（A，s = i）和σ（A，s = i）由方程（7）確定.

2 FPK方程

假設(shè)在很小的時間區(qū)間Δt內(nèi)系統(tǒng)未發(fā)生跳變，則轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)p（A，s，t｜A′，s，t′）滿足如下FPK方程：

當(dāng)在Δt內(nèi)，系統(tǒng)發(fā)生了跳變，則此時概率密度函數(shù)p（A，s，t +Δt）為

式中條件概率密度q（A，s，t +Δt｜A′，r，t）表示t時刻和r狀態(tài)的振幅響應(yīng)A′為已知的條件下，振幅A 在t +Δt時刻和s狀態(tài)的概率分布. q（A，s，t +Δt｜A′，r，t）的具體形式由實(shí)際問題的物理意義所決定.當(dāng)跳變參數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)時，即為獨(dú)立跳變時，q（A，s，t +Δt｜A′，r，t）具有如下形式

將方程（2）和（9）代入方程（10），并令Δt→0，方程（10）變?yōu)?/p>

方程（12）即為混合隨機(jī)過程［A，s］T聯(lián)合概率密度p（A，s，t）所滿足的FPK方程.對于獨(dú)立跳變過程，利用式（11），F(xiàn)PK方程（12）可以簡化為

初始條件

邊界條件

式（13）是由l個方程組成的方程組（l為系統(tǒng)所包含的所有結(jié)構(gòu)狀態(tài)數(shù)目），且這些方程通過零次方項(xiàng)耦合. FPK方程（13）一般難以求解，即使是數(shù)值解也難以獲得.若僅考慮穩(wěn)態(tài)解，即令?p/?t =0，則方程（13）可以得到簡化.通過差分法等數(shù)值方法求解簡化后的FPK方程，可得到穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度p（A，s）.則振幅的概率密度p（A）為

式中c為歸一化常數(shù).

3 算例

考慮一個隨機(jī)激勵的跳變Duffing振子，其運(yùn)動微分方程為

式中β（s）為跳變阻尼系數(shù)；h（s）為跳變外激勵系數(shù)；W（t）為強(qiáng)度為2D的高斯白噪聲；s為連續(xù)時間的Markov隨機(jī)過程，其轉(zhuǎn)移概率如式（2）所示.本文考慮2結(jié)構(gòu)狀態(tài)情形，即有限集合S =｛1，2｝.

利用上述隨機(jī)平均法，得到如（8）式所示的平均方程，跳變擴(kuò)散和漂移系數(shù)為

建立和求解簡化后的FPK方程可得到跳變系統(tǒng)的振幅響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度p（A）.

圖1 跳變系統(tǒng)振幅響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度Fig. 1 Stationary probabilistic density of the amplitude of jump system

圖2 振幅響應(yīng)的樣本Fig. 2 Sample of amplitude

假設(shè)系統(tǒng)無量綱參數(shù)為：ω=1. 0，α=1. 0，D = 0. 1，β（s =1）=0. 1，β（s =2）=0. 2，h（s =1）=2. 0，h（s =2）=1. 0.圖1為不同跳變規(guī)律下跳變系統(tǒng)振幅響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度.圖1（a）中Λ1和Λ3所代表曲線分別為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)狀態(tài)為s =1和s =2時的無跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅概率密度，Λ2為跳變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅概率密度，結(jié)果表明，發(fā)生跳變后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相比于無跳變系統(tǒng)發(fā)生非常大的變化，跳變對系統(tǒng)的響應(yīng)具有很大影響.圖1（a）中Λ2為對稱矩陣，所對應(yīng)的跳變系統(tǒng)為對稱跳變.圖1（b）為系統(tǒng)發(fā)生非對稱跳變時的振幅穩(wěn)態(tài)概率密度.當(dāng)Λ =Λ4時，系統(tǒng)從結(jié)構(gòu)狀態(tài)s =1跳變到s =2的概率比跳回結(jié)構(gòu)狀態(tài)s =1的概率要小，即系統(tǒng)停留在s =1結(jié)構(gòu)狀態(tài)的概率較大，因此，圖1（b）中Λ4代表的曲線更接近于曲線Λ1，而Λ5則更接近Λ3.顯然，跳變系統(tǒng)的響應(yīng)可以看作是各結(jié)構(gòu)狀態(tài)下無跳變系統(tǒng)響應(yīng)的加權(quán)和，而加權(quán)值由跳變規(guī)律決定.不同跳變規(guī)律下系統(tǒng)的響應(yīng)具有很大差異.圖1中實(shí)線為解析結(jié)果，符號曲線代表數(shù)值仿真結(jié)果，兩者吻合，表明了本文提出的理論方法的準(zhǔn)確性.圖2和3分別為振幅響應(yīng)A和Markov跳變參數(shù)s（t）的一段樣本.

圖3 Markov跳變參數(shù)s（t）的樣本Fig. 3 Sample of Markov jump parameter s（t）

4 結(jié)論

本文提出了一種研究隨機(jī)激勵下Markov跳變非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解方法.本文的主要工作是導(dǎo)出了非線性Markov跳變系統(tǒng)的平均It?隨機(jī)微分方程，得到了相應(yīng)的FPK方程組.隨機(jī)平均法的應(yīng)用，降低了系統(tǒng)方程的維數(shù)，使得最后的FPK方程組的數(shù)值求解成為可能. Markov跳變Duffing振子算例的計(jì)算驗(yàn)證了本文提出的理論方法的有效性.

本文雖然只對單自由度Markov跳變系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行了研究，但該理論方法在多自由度Markov跳變系統(tǒng)的響應(yīng)、穩(wěn)定性與可靠性等的研究方面也具有很大潛力.

參 考 文 獻(xiàn)

1 Krasosvkii N N，Lidskii E A. Analytical design of controllers in systems with random attributes. Automation and Remote Control，1961，22（1）：1021～1025

2 吳森堂.結(jié)構(gòu)隨機(jī)跳變系統(tǒng)理論及其應(yīng)用.北京：科學(xué)出版社，2007（Wu S T. The theory of stochastic jump system and its application. Beijing：Science Press，2007（in Chinese））

3 方洋旺，伍友利，王洪強(qiáng).結(jié)構(gòu)隨機(jī)跳變系統(tǒng)最優(yōu)控制理論.北京：國防工業(yè)出版社，2012（Fang Y W，Wu Y L，Wang H Q. Optimal control theory of stochastic jump sytem. Beijing：National Defense Industry Press. 2012（in Chinese））

4 Kats L，Krasovskii N. On the stability of systems with random parameters. Journal of Applied Mathematics and Mechanics，1960，27（5）：809～823

5 Mariton M. Almost sure and moment stability of jump linear systems. Systems & Control Letters，1988，11（5）：393～397

6 Feng X，Loparo KA，Ji Y. et al. Stochastic stability properties of jump linear systems. IEEE Trans Automate Control，1992，37（1）：38～45

7 Fang Y G. A new general sufficient condition for almost sure stability of jump linear systems. IEEE Transaction Automate Control，1997，42（3）：378～382

8 Sworder D. Feedback control of a class of linear systems with jump parameters. IEEE Trans on Automatic Control，1969，14（1）：9～14

9 Ghosh M K，Arapostathis A，Marcus S I. Ergodic control of switching diffusions. SIAM Journal on Control and Optimization，1997，35（6）：152～198

10 Xu Z，Chung Y K. Averaging method using generalized harmonic functions for strongly nonlinear oscillators. Journal of Sound and Vibration，1994，174（4）：563～576

11 Huang Z L，Zhu W Q，Suzuki Y. Stochastic averaging of strongly nonlinear oscillators under combined harmonic and white noise excitations. Journal of Sound and Vibration，2000，238（2）：233～256

12 Huang Z L，Zhu W Q. Stochastic averaging of quasi-integrable hamiltonian systems under combined harmonic and white noise excitations. International Journal of Non-Linear Mechanics，2004，39（9）：1421～1434

13 陳林聰，朱位秋.隨機(jī)擾動下簡單電力系統(tǒng)的可靠度反饋?zhàn)畲蠡?動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2010，8（1）：19～23 （Chen L C，Zhu W Q. Feedback maximization of reliability of a simple power system under random perturbations. Journal of Dynamics and Control，2010，8（1）：19～23（in Chinese））

Received 1 November 2014，revised 1 April 2015.

*This project supported by the National Natural Science Foundation of China（11372271，11432012，51175474）；“973”program（2011CB711105）

STATIONARY RESPONSE OF STOCHASTICALLY EXCITED NONLINEAR MARKOVIAN JUMP SYSTEM*

Huan Ronghua1?Ma Yunshuang2Hao Qi1Zhu Weiqiu1
（1. Zhejiang University Institute of Applied Mechanics，Hangzhou 310027，China）（2. Sifang Rolling Stock Research Institute CO. Ltd，Qingdao 266111，China）

AbstractMany practical problems should be described by nonlinear Markov jump systems involving both continuous and discrete variables. In this paper，the stationary response of stochastically excited single-degree-of-freedom（strongly）nonlinear system with Markovian jump parameters is studied. Firstly，the averaged It？differential equation with Markovian jump is derived based on the stochastic averaging method. Then，according to the Markovian jump principle，the finite set of（Fokker-Planck-Kolmogorov）FPK equations are formulated. The FPK equations coupled with each other through the absorptive terms and reductive terms. The stationary response and its statistics of the Markovian jump system can be obtained by solving the FPK equations numerically. Finally，as an example，the responses of a Markovian jump Duffing oscillator subjected to Gaussian white noise are studied. Numerical results show that the stationary response of the jump system can be regard as a weighted sum of the responses of no-jump system，and the weighted value is determined by the jump rules.

Key wordsMarkov jump， stochastic excitations， nonlinearity， stochastic averaging method

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-035

通訊作者?E-mail：rhhuan@ zju. edu. cn

Corresponding author?E-mail：rhhuan@ zju. edu. cn