錢長照陳昌萍

（1.廈門理工學院土木工程與建筑學院，廈門 361024）（2.中加噪聲與振動控制研究所，廈門 361024）

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利用彎矩影響線的移動荷載識別方法*

錢長照1，2?陳昌萍1，2

（1.廈門理工學院土木工程與建筑學院，廈門 361024）（2.中加噪聲與振動控制研究所，廈門 361024）

摘要基于模態(tài)疊加理論，通過橋梁多個截面處加速度響應數(shù)據(jù)，計算得到橋梁受移動荷載作用下的模態(tài)加速度.根據(jù)d′Alembertian原理，橋梁截面任意時刻的動彎矩可看作是任意時刻受慣性分布力和移動荷載作用下的靜彎矩.利用影響線，建立起移動荷載與彎矩之間的關系，提出了一種利用彎矩影響線識別移動荷載的方法.算例表明，當荷載只有一個時，可由單點彎矩直接識別，當有多個移動荷載時，可基于多個截面的彎矩數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可以有效的識別出任意時刻作用于橋梁上的移動荷載值.該方法避免了求解橋梁的動力學微分方程，識別精度高且過程簡單，適合于工程應用.

關鍵詞荷載識別， 影響線， 移動荷載， 模態(tài)疊加原理

2014-09-08收到第1稿，2015-07-16收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（51108047）、廈門市科技計劃項目（3502Z20143028）

引言

隨著橋梁輕型化發(fā)展，車流量不斷增大，車橋相互作用越來越不可忽略.由于車輛通過橋梁時車輛輪軸傳遞給橋梁的荷載是隨位置和時間不斷變化的動態(tài)荷載，使橋梁產(chǎn)生交變應力，導致路面或橋梁結構的疲勞損傷或破壞［1］.因此越來越受到橋梁運營、維護、橋梁設計及交通運輸管理等部門的關注.近年來，國內(nèi)外學者對橋梁上移動荷載識別理論進行了深入的研究，提出了一系列識別方法. O′Connor and Chan提出了第一識別法（IMI）［2］和第二識別法（IMII）［3］，S. S. Law等提出了時域法（TDM）［4］和頻時域法（FTDM）［5］，這些方法奠定了移動荷載識別的理論基礎［6］，但這些方法應用到工程中還存在一些問題，如第一識別法（IMI）和第二識別法（IMII）識別精度不高，時域法（TDM）和頻時域法（FTDM）識別時間過長且需要大量數(shù)據(jù)等等.因此，國內(nèi)外學者不停探索新的識別方法以及算法，模型上也在不斷的改進.余嶺［7］等對移動荷載識別方程的不適定性進行了研究，提出了改善和解決超定方程組欠秩和病態(tài)問題的方法.以上這些方法中所采用數(shù)據(jù)或為橋梁的加速度響應，或為橋梁撓度響應數(shù)據(jù).事實上，P. Asnachinda［8］研究表明采用梁的彎矩數(shù)據(jù)識別會有更好的效果.但該文仍然采用求解梁的動力學微分方程，建立彎矩響應和荷載的關系，識別過程反而顯得復雜.

本文提出的荷載識別方法中，同時采用響應加速度數(shù)據(jù)和彎矩數(shù)據(jù)，加速度數(shù)據(jù)用來分離模態(tài)加速度，從而表達出橋梁振動過程中的慣性力.然后基于影響線和達朗貝爾原理，建立起截面彎矩與移動荷載之間的關系，利用截面彎矩數(shù)據(jù)識別出移動荷載的大小.該方法具有計算精度高，識別速度快，且對數(shù)據(jù)量的需求不高，適合工程應用.

1 識別方程的推導

對于簡支梁橋受移動車輛作用問題，力學模型可以簡化為如圖1所示的簡支梁受一組移動荷載作用.其中梁的模型考慮為均質(zhì)等截面模型，跨長L，抗彎剛度EI，單位長度質(zhì)量為m，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響（即采用Euler-Bernoulli理論），則系統(tǒng)的動力學方程和邊界條件為

式中，w（x，t）表示x處t時刻梁的撓度，xi是Pi（t）作用位置，δ（x - xi）為Directδ函數(shù)，滿足

圖1 受一組移動荷載作用的簡支梁模型Fig. 1 Simplified beam under a set of moving loads

式中qi（t）（i =1，2，3，…）是第i階模態(tài)位移.上式對時間取二階導數(shù)，則可得簡支梁任意t時刻x位置處的加速度

利用Garlerkin截斷，可只取N階模態(tài).則對于某一截面xj處的加速度可以表示為

事實上，橋梁上某一截面處的加速度是很容易由試驗測得的.如果在橋梁順橋向布置M個測點測量加速度，則可得到前N階模態(tài)加速度和測點加速度之間的關系，用矩陣表示如下

根據(jù)d′Alembertian原理，任意時刻橋梁所受的慣性力p（x，t）可表示為

簡支梁x = xk截面處的彎矩影響線

式中，a是xk截面距左端支座的距離，b = L - a是xk截面距右端支座的距離.考慮橋梁同時受到車輛和慣性力作用，xk截面處的彎矩可利用影響線計算得到

利用梁的彎曲應變與截面彎矩之間的關系，則可根據(jù)測得的彎曲應變計算得到截面彎矩隨時間變化的函數(shù)，慣性分布力也可由影響線與模態(tài)函數(shù)積分得到，因此上式左側(cè)量為已知，因此任意時刻僅P（t）為未知量.若橋梁上僅一個荷載，則可由上式直接得到.若橋梁同時有多個移動荷載，則上式需重寫為

式中NP為t時刻作用在橋梁上的荷載數(shù)目xi為第i個荷載作用位置，由于含有NP個位置梁，則需要至少NP個測點的彎矩數(shù)據(jù)，組成矩陣方程

式中

注意到[Y ]是奇異性矩陣，因此需用最小二乘法等方法近似求解，關于最小二乘法的計算過程本文采用MATLAB編程實現(xiàn)，具體過程不再贅述.

2 算例分析

當橋上只有一個移動荷載作用作用時，利用方程（10），則荷載可簡單的利用任意一截面處的彎矩數(shù)據(jù)則得到

當橋上有多個移動荷載作用時，利用方程（9），需要有多個彎矩觀測點識別，理論上，當彎矩觀測點數(shù)目多于橋上荷載數(shù)目時，可以由方程（11）識別，但由于矩陣的奇異性，直接計算是不可能的.為了識別出荷載，采用最小二乘法.選取的彎矩觀測點也要盡可能的多.

作為算例，ANSYS仿真中移動荷載為隨時間變化荷載P1=10*（1 +0. 05sin30πt）kN，P2=15* （1 + 0. 05sin30πt）kN.兩荷載距離4m，移動速度10m/ s.為了識別移動荷載，加速度觀測點同樣選取跨中，L/4和3L/4處，采用三階模態(tài)截斷分解模態(tài)加速度.彎矩觀測點選取L/8，L/4，3L/8，L/2，5L/ 8，3L/4，7L/8等7個截面.識別結果如圖2所示.

圖2 整個時間域識別的兩荷載Fig. 2 Identified loads at all time domain

圖3 識別荷載誤差Fig. 3 Error of identification results

由圖2可以看出，在當有荷載上橋和出橋的時候，識別結果與實際荷載相差較大，其余情況識別結果較為理想.為了比較識別結果與實際荷載的差，定義識別誤差

根據(jù)（14）式定義的誤差計算公式作圖如圖3所示，為了更清晰的掌握中間段的識別精度，做荷載在［10m，20m］區(qū)間段的誤差圖如圖4所示.由圖4可以看出，誤差在5%左右，這個精度對于荷載識別與其他方法比較也是令人滿意的.

圖4 荷載位置在［10，20］范圍內(nèi)的識別誤差Fig. 4 Error of identification results in location domain［10，20］

3 結論

本文基于模態(tài)疊加原理和d′Alembertian原理，利用彎矩影響線提出了一種識別移動荷載的新方法.該方法創(chuàng)新點在于同時使用了彎矩響應數(shù)據(jù)和加速度數(shù)據(jù)，避免了求解移動荷載作用下的動力學方程.通過幾個算例，驗證了該方法的有效性，并得到一些結論：

（1）通過模態(tài)數(shù)據(jù)可以從實測的加速度數(shù)據(jù)中得到模態(tài)加速度，從而橋梁受到的慣性力可以有效的計算出來；

（2）利用影響線求解荷載識別問題的方法是有效的；

（3）相比其他的方法，該方法可以在已知任意時刻或任意時段彎矩和加速度數(shù)據(jù)的基礎上進行識別，而不需要完全知道移動荷載通過橋梁的整個過程數(shù)據(jù)；

算例的結果驗證了該方法對移動荷載識別有效性和精確性，同時該方法的簡潔性更有利用荷載識別在工程中的應用.

參 考 文 獻

1 Kozin F，Natke H G. System identification techniques. Structural Safety，1986，3（3-4）：269～316

2 Connor O，Chan T H T. Dynamic wheel loads from bridge strains. Journal of Structural Engineering ASCE，1988，114（8）：1703～1723

3 Chan T H T，Law S S，Yung T H，Yuan X R. An interpretive method for moving force identification. Journal of Sound and Vibration，1999，219（3）：503～524

4 Law S S，Chan T H T，Zeng Q H. Moving force identification：a time domain method. Journal of Sound and Vibration，1997，201（1）：1～22

5 Law S S，Chan T H T，Zeng Q H. Moving force identification：a frequency and time domains analysis. Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control ASME，1999，12（3）：394～401

6 Yu L，Chan T H T. Recent research on identification of moving loads on bridges. Journal of Sound and Vibration，2007，305（1-2）：3～21

7 余嶺，陳震.橋梁移動荷載識別的不適定性及其實驗研究.振動與沖擊，2000，19（1）：58～70（Yu L，Chen Z. Experimental study on ill-conditioning problem in identification of moving vehicle loads on bridge. Journal of Vibration and Shock，2000，19（1）：58～70（in Chinese）

8 Asnachinda P，et al. Multiple vehicle axle load identification from continuous bridge bending moment response. Engineering Structures，2008，30（10）：2800～2817

9 Qian C Z，Chen C P，Hong L，Dai L M. Axle load identification of moving vehicles based on influence lines of bridge bending moment. Nonlinear Engineering，2014，3 （3）：125～131

10 Qian C Z，Chen C P，Xiao Y G. Identification method for moving loads over continuous beam based on bending moment influence lines. Applied Mechanics and Materials，2014，638-640：1079～1084

Received 08 September 2014，revised 16 July 2015.

*The project supported by National Natural Science Foundation of China（51108047），Supported by Science and Technology Planning Project of Xiamen（3502Z20143028）

METHOD FOR MOVING FORCE IDENTIFICATION USING BENDING MOMENT INFLUENCE LINE*

Qian Changzhao1，2?Chen Changping1，2
（1. Xiamen University of Technology，Xianmen 361024，China）（2. Sino-Canada Research Center for Noise and Vibration Control，Xianmen 361024，China）

AbstractBased on the modal superposition theory，the second order derivative of the modal coordination is firstly obtained from the acceleration of the bridge at several sections. The inertia force of the bridge is then expressed as distributed load by means of the d′Alembertian theory. Using the bending moment influence line of the bridge，the relationships between the moving load and the moment is proposed. The moving force can be obtained at any time points through the developed formula. Case studies show that this proposed method performs high accuracy in identifying time-varying as well as constant moving force. Moreover，this method doesn′t need to deal with the ill-condition due to matrix singularity，which makes it in high efficiency and appropriate for engineering application.

Key wordsload identification， influence line， moving force， modal superposition theory

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-061

通訊作者?E-mail：qiancz@163. com

Corresponding author?E-mail：qiancz@163. com