錢慧 于洪潔

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系，上海 200240）

?

基于一種混沌同步方法的多進(jìn)制數(shù)字信息通信方案*

錢慧 于洪潔?

（上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系，上海 200240）

摘要本文利用基于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則的SC混沌比例投影同步方法，提出一種全新的多進(jìn)制數(shù)字信息混沌保密通信方案.將多進(jìn)制數(shù)字信號調(diào)制到發(fā)送端系統(tǒng)的雅克比矩陣和比例因子中，然后在接收端構(gòu)造的子系統(tǒng)中判斷并解調(diào)出數(shù)字信號.以傳輸10進(jìn)制數(shù)字信息為例，利用Lorenz混沌吸引子進(jìn)行數(shù)值模擬仿真，詳細(xì)分析了通信過程中數(shù)字信息的同步性、安全性以及解碼精度.仿真結(jié)果和數(shù)值分析證明了該多進(jìn)制數(shù)字信息混沌調(diào)制方案的正確性和有效性.

關(guān)鍵詞保密通信， 混沌調(diào)制， 數(shù)字信息， 投影同步， 雅克比矩陣

2015-01-27收到第1稿，2015-04-04收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目（10802030）

引言

1990年美國海軍實驗室的Pecora和Carroll第一次觀察到混沌同步現(xiàn)象［1］，自此關(guān)于混沌同步方法和混沌保密通信方案的研究在國際上興起了二十多年.混沌同步的研究是混沌安全保密通信的基礎(chǔ)，其應(yīng)用于保密通信的基本思路是，在發(fā)送端將傳輸信號隱藏在混沌信號中，在接收端則通過混沌特性解調(diào)出傳輸?shù)挠杏眯畔?由于混沌信號非周期性、寬頻帶的特點(diǎn)，外界一般會把有用信息信號誤認(rèn)為是噪聲信號，所以很難被竊取.要想解調(diào)出發(fā)送的信息信號，只有掌握了通信雙方的同步控制約定后方能做到，達(dá)成保密效果.

自混沌同步現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)以來，海內(nèi)外學(xué)者做了很多深入的研究，多種不同類型的同步現(xiàn)象相繼被提出. Mainieri和Rehacek于1999年指出驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)可以同步到一個尺度因子上［2，3］，此種同步現(xiàn)象即為投影同步. 2006年，Yu、Peng和Liu根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則，提出了一種新的實現(xiàn)混沌投影同步的方法（SC比例投影同步方法）［4］.該方法不僅適用于三維耦合部分線性系統(tǒng)，同時也適用于高維甚至超混沌系統(tǒng).只要配置于線性項中的雅克比矩陣A所有特征值均具有負(fù)實部，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)即可以達(dá)到投影同步.該方法中Lyapunov函數(shù)不需要構(gòu)造，系統(tǒng)條件Lyapunov指數(shù)也不用去計算，雅克比矩陣A也可在較廣范圍內(nèi)配置，所以此投影同步方法簡單而有效.

混沌掩蓋、混沌調(diào)制、混沌鍵控和擴(kuò)頻通信是目前提出和發(fā)展的四種基于混沌同步的保密通信技術(shù). Cuomo和Oppenheim等［5］于1993年構(gòu)造出了一種基于混沌掩蓋技術(shù)的保密通信模擬試驗電路，混沌掩蓋多用于傳輸模擬信號.混沌鍵控在鍵控式數(shù)字通信方案中研究較多.擴(kuò)頻通信技術(shù)最早應(yīng)用于軍事通信領(lǐng)域.混沌調(diào)制方法于1993～1995年被提出［6］，是一種針對數(shù)字信號的通信方案，信息信號隱藏于整個混沌信號譜，對參數(shù)變化的敏感性更大，但系統(tǒng)的保密性得到了改善.

本文研究的重點(diǎn)是混沌參數(shù)調(diào)制方法.混沌參數(shù)調(diào)制是在系統(tǒng)某些參數(shù)中隱藏所傳輸?shù)男畔⑿盘枺瓜到y(tǒng)的運(yùn)動軌跡在不同混沌吸引子之間變動，于接收端恢復(fù)相應(yīng)的參數(shù)來提取所傳輸?shù)男畔⑿盘枺?］. Yang和Chua在1996年提出了一種適用一般信號調(diào)制的混沌參數(shù)調(diào)制方案［8］，并對蔡氏電路實施了混沌參數(shù)調(diào)制方案的數(shù)值仿真. Chee和Xu利用投影同步把多進(jìn)制數(shù)字信息調(diào)制進(jìn)比例因子中［9］，在接收端成功地解碼出數(shù)字信息.文獻(xiàn)［10］提出了一種基于統(tǒng)一參數(shù)混沌系統(tǒng)的參數(shù)調(diào)制新方法，該方法沒有利用混沌同步原理，數(shù)據(jù)傳輸速率不受同步誤差時間的限制.文獻(xiàn)［11］提出一種多通道混沌調(diào)制模擬-信息轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)顯著提高了高稀疏度信號的重構(gòu)性能.此外，最近幾年國內(nèi)外在混沌調(diào)制領(lǐng)域還出現(xiàn)了很多重要的新進(jìn)展和新嘗試［12 -15］.

本文將基于SC混沌比例投影同步方法，設(shè)計一種傳輸多進(jìn)制數(shù)字信息的混沌參數(shù)調(diào)制方案.首先對發(fā)送端混沌系統(tǒng)適當(dāng)分離配置出線性項和非線性項，令配置于線性項的雅克比矩陣A特征值實部均為負(fù)，然后將多進(jìn)制數(shù)字信息調(diào)制到發(fā)送端系統(tǒng)的雅克比矩陣A和比例因子α中，從而控制輸出的混沌載波信號，使其在傳輸過程中不停地在N個混沌信號之間來回切換，最后在接收端構(gòu)造的子系統(tǒng)中判斷并解調(diào)出數(shù)字信息.文中將利用Lorenz混沌吸引子構(gòu)造10進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)送端和接收端，用Matlab軟件做數(shù)值模擬仿真，分析通信過程中的收斂性和誤碼率，驗證該方法的有效性.

1 SC比例投影同步方法［4］

考慮一個如下描述的混沌系統(tǒng)：其中x（t）∈Rn是混沌系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量，f：Rn→Rn定義了一個n維向量場.將函數(shù)f（x（t））分解如下：其中函數(shù)x（t）是f（x（t））的線性部分（x（t））則是f（x（t））的非線性部分.然后將x（t）進(jìn)行適當(dāng)分離配置x（t）= Ax（t）+x（t）.這里A是滿秩的常數(shù)矩陣，且配置其所有特征值均具有負(fù)實部，Ax（t）則是線性函數(shù)x（t）的剩余部分.令函數(shù)g（x （t））= Ax（t），h（x（t））=x（t）+（x（t）），則混沌

系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動系統(tǒng)可被重新描述為：

然后構(gòu)造一個新的系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)：

2 多進(jìn)制數(shù)字信息混沌調(diào)制設(shè)計方案

對于連續(xù)的混沌系統(tǒng)（1），按照式（2）和（3）先將微分方程右端分離出線性項和非線性項，再根據(jù)線性部分適當(dāng)配置雅克比矩陣A，并建立矩陣集合

其中A（i）是由混沌系統(tǒng)線性部分不同元素配置出的雅克比矩陣，都是實滿秩矩陣，且它們的所有特征值均具有負(fù)實部，從而保證構(gòu)造的接收端子系統(tǒng)能夠和混沌發(fā)送端系統(tǒng)達(dá)到同步.

建立數(shù)字集合

使得Ψ→Φ= H（ψ）是一一對應(yīng)關(guān)系，并令比例因子α= N +1.當(dāng)在通信系統(tǒng)發(fā)送端采用不同雅克比矩陣配置時，由式（4）可知發(fā)送端輸出的混沌載波信號h（x（t））/α也是不一樣的.因此只有在接收端系統(tǒng)的線性部分配置相同雅克比矩陣時，保密通信系統(tǒng)發(fā)送端和接收端才能在混沌載波信號的驅(qū)動下達(dá)到比例投影同步.因為集合Φ中的每一個數(shù)字N都對應(yīng)著集合Ψ中的每一種雅克比矩陣配置A（i）和一個比例因子α，所以只要掌握了事先制定的映射規(guī)則和調(diào)制方式，便可以在通信系統(tǒng)的接收端解調(diào)出所傳輸?shù)臄?shù)字信息.

圖1是M =10進(jìn)制混沌調(diào)制數(shù)字通信系統(tǒng)示意圖. m（t）是所需傳輸?shù)?0進(jìn)制數(shù)字信息，其被調(diào)制進(jìn)通信系統(tǒng)的發(fā)送端，控制發(fā)送端輸出的混沌載波h（x（t））/α，虛線框內(nèi)是構(gòu)造的接收端10個子系統(tǒng).對應(yīng)關(guān)系有：

當(dāng)發(fā)送端系統(tǒng)傳輸某個數(shù)字信息N時，其相應(yīng)雅克比矩陣配置為A（i），比例因子α= N + 1，輸出的混沌信號是h（i）（x（t））/（N +1）.在通信系統(tǒng)接收端，構(gòu)造的10個子系統(tǒng)同時接收混沌驅(qū)動信號h（i）（x（t））/（N +1），子系統(tǒng)j的動力微分方程為：

所以在數(shù)字信號N的傳輸期間時，接收端的10個子系統(tǒng)中，只有子系統(tǒng)j（j = i）與發(fā)送端系統(tǒng)達(dá)到比例投影同步，其余9個子系統(tǒng)j（j≠i）則無法與發(fā)送端系統(tǒng)同步.

對于10進(jìn)制數(shù)字N，N∈m（t），由于N被調(diào)制進(jìn)比例因子α：α= N +1，則在通信系統(tǒng)接收端中與發(fā)送端系統(tǒng)達(dá)到比例投影同步的第j（j = i）個子系統(tǒng)可解調(diào)出10進(jìn)制數(shù)字信息N：^N =α- 1，^N∈^m（t），以此輸出解碼信息^m（t）.傳輸過程中的調(diào)制和解調(diào)如下：

圖1 10進(jìn)制數(shù)字信息混沌調(diào)制通信過程示意圖Fig. 1 Process of 10-ary digital communication based on chaotic modulation

從表1中可以看出，每傳輸一個10進(jìn)制數(shù)字就等于傳輸了4個2進(jìn)制的位碼，信息傳輸速率是2進(jìn)制數(shù)字信息傳輸?shù)?倍.

表1 10進(jìn)制數(shù)字對應(yīng)的2進(jìn)制符號、雅克比矩陣和比例因子Table 1 Digital symbol，Jacobian matrix and scaling factor of the corresponding decimal value

3 數(shù)值仿真

利用Lorenz吸引子構(gòu)造10進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)送端和接收端. Lorenz混沌系統(tǒng)可用如下微分方程表示：

其中σ=16，γ=45. 92，b =4.

建立10進(jìn)制數(shù)字信息集合

同時建立雅克比矩陣集合與相應(yīng)的比例因子α集合

映射規(guī)則如（9）：

通信系統(tǒng)發(fā)送端按照（3）式分離配置為

傳輸?shù)幕煦巛d波信號為

按照方程（10）構(gòu)造的10個接收端子系統(tǒng)為

令所需傳輸?shù)?0進(jìn)制數(shù)字信息為m（t）=［0，1，5，7，2，6，4，3，8，5，9，3］，其中mi∈Φ. m（t）中每一個數(shù)字信息持續(xù)10個時間單位.用Matlab自帶的微分方程求解器ode45做數(shù)值分析時，通信系統(tǒng)的發(fā)送端取初始值為x0=［-2，1，5］，接收端子系統(tǒng)1～10分別取初始值為w0（1）=［2，-1，4］ =［-1，- 1，3］，=［2，3，4］，=［1，5，2］=［2，6，3］，=［0，1，1］=［1，4，3］，=［-3，2，-1］，w0（9）=［2，1，1］，=［1，2，3］.表2中第1列是接收端10個子系統(tǒng)所配置的雅克比矩陣.這10個雅克比矩陣的特征值相同，均為負(fù)實數(shù)，特征值為λ1= - 16，λ2= - 1，λ3= -4.從A（1）到A（10）矩陣元素A12以2遞增，A（1）是最簡單的對角型配置= 0= 18.表2的第三列是傳輸不同數(shù)字信息時發(fā)送端系統(tǒng)輸出的混沌載波信號h（i）（x（t））/α，在傳輸過程中混沌信號在這10個不同載波信號之間來回切換.

表2 不同配置的雅克比矩陣、比例因子和混沌傳輸信號Table 2 Jacobian matrix，scaling factor and transmitted chaotic signal with different configuration

圖2顯示的是在通信過程中，接收端10個子系統(tǒng)與發(fā)送端系統(tǒng)的投影同步誤差隨時間發(fā)展歷程.圖2（a）顯示接收端子系統(tǒng)1在時間0＜t＜10內(nèi)與發(fā)送端系統(tǒng)狀態(tài)變量投影同步誤差迅速收斂為0，達(dá)到投影同步，而在其它時間范圍內(nèi)投影同步誤差為混沌解，不為0.從另外9張圖中也可以看出在時間0＜t＜10時，子系統(tǒng)i（i =2，3，4，5，6，7，8，9）與發(fā)送端系統(tǒng)不同步，說明在時間0＜t＜10內(nèi)所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =0.圖2（b）顯示接收端子系統(tǒng)2在時間10＜t＜20與發(fā)送端系統(tǒng)達(dá)到投影同步，在其它時間范圍內(nèi)不同步.另外9張圖中也可發(fā)現(xiàn)在時間10＜t＜20內(nèi)，子系統(tǒng)i（i =1，3，4，5，6，7，8，9）與發(fā)送端系統(tǒng)不同步，說明在時間10 ＜t＜20內(nèi)所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N = 1.圖2（c）顯示接收端子系統(tǒng)3只有在時間40＜t＜50時與發(fā)送端系統(tǒng)達(dá)到投影同步，且在此時間范圍內(nèi)其余子系統(tǒng)i（i = 1，2，4，5，6，7，8，9）與發(fā)送端系統(tǒng)不同步，說明在時間40＜t＜50內(nèi)所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =2.同上述分析，從圖2（d）可以判斷出在時間70＜t＜80∪110＜t＜120內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =3.圖2（e）可判斷出在時間60＜t＜70內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =4.圖2（f）可判斷出在時間20 ＜t＜30∪90＜t＜100內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =5.圖2（g）可判斷出在時間50＜t＜60內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =6.圖2（h）可判斷出在時間30＜t＜40內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =7.圖2（i）中可判斷出在時間80＜t＜90內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =8.圖2（j）中可判斷出在時間100＜t＜110內(nèi)，所傳輸?shù)臄?shù)字信息是N =9.將以上分析結(jié)果與圖3 （a）所示傳輸?shù)?0進(jìn)制數(shù)字信息m（t）作比較，發(fā)現(xiàn)接收端沒有誤碼輸出.

圖2 通信系統(tǒng)接收端10個子系統(tǒng)與發(fā)送端投影同步誤差時間歷程圖Fig. 2 Error of the projective synchronization between 10 sub-receiver ends and the corresponding transmitter

基于映射規(guī)則（9）解調(diào)出數(shù)字信息N：^N =α-1，^N∈^m（t）.圖3展示了傳輸?shù)臄?shù)字信息和解碼信息的對照圖.圖3（a）顯示的是所傳輸?shù)?0進(jìn)制數(shù)字信息m（t），圖3（b）顯示的是解調(diào)后的數(shù)字信息^m（t）.將這兩張圖對比可以看出解調(diào)數(shù)字信息^m（t）與傳輸數(shù)字信息m（t）符合的很好，當(dāng)傳輸數(shù)字信息發(fā)生改變的時候，解碼信息從前一個數(shù)字信號經(jīng)過一段很短的時間后收斂到后一個數(shù)字信號.由此也可以說明利用Lorenz混沌吸引子構(gòu)造的數(shù)字通信系統(tǒng)，對于傳輸多進(jìn)制數(shù)字信息的解碼過程快，誤碼率低，精度高.

圖3 解碼信息^m（t）與傳輸信息m（t）時間歷程圖Fig. 3 The time history of recovered and transmitted digital messages

圖4所示的是發(fā)送端輸出信號h（i）（x（t））/α的第三分量h3（i）（x（t））/α，可以看出在信道中傳輸?shù)男盘杊（i）（x（t））/α曲線，在時間域中沒有穩(wěn)定的幅值和周期，毫無規(guī)律可循，無法用確定的函數(shù)表示，屬于混沌信號.傳輸信號的混沌特性提高了數(shù)字通信系統(tǒng)的安全保密性.

圖4 通信系統(tǒng)發(fā)送端的輸出信號h3（i）（x（t））/αFig. 4 The transmitted signal of the sub-receiver ends

4 結(jié)論

本文利用基于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則的SC混沌比例投影同步方法，設(shè)計了一種全新的多進(jìn)制數(shù)字信息混沌保密通信方案.該方法在發(fā)送端系統(tǒng)的雅克比矩陣和比例因子中分別調(diào)制進(jìn)所需傳輸?shù)亩噙M(jìn)制數(shù)字信號，制定了對應(yīng)的映射規(guī)則，于通信系統(tǒng)接收端的子系統(tǒng)中解調(diào)出數(shù)字信號.文中以Lorenz混沌吸引子構(gòu)造了10進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，發(fā)送端輸出信號不僅是混沌信號，而且在傳輸不同的數(shù)字信息時，輸出信號在多個不同的混沌信號之間來回切換，增加了信息傳輸過程中的安全性，提高了系統(tǒng)的保密性.仿真結(jié)果表明，當(dāng)傳輸某個數(shù)字碼元時，發(fā)送端和對應(yīng)子系統(tǒng)的投影同步誤差迅速收斂為0，而其余子系統(tǒng)則與發(fā)送端的同步誤差是混沌解，同時解調(diào)信息圖與傳輸信息圖也符合的很好，證明該通信系統(tǒng)對多進(jìn)制數(shù)字信息的解碼過程很快，沒有誤碼輸出，解碼精度高.

參 考 文 獻(xiàn)

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Received 27 January 2015，revised 04 April 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（10802030）

M-ARY DIGITAL COMMUNICATION TECHNIQUEBASED ON A CHAOTIC SYNCHRONIZATION METHOD*

Qian Hui Yu Hongjie?
（Department of Engineering Mechanics，School of Naval Architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

AbstractA new communication technique of transmitting M-ary digital signals using projective synchronization based on stability criterion is proposed in this paper. At the sender，M-ary digital signals are modulated into Jacobian matrix and the scaling factor of chaotic system. The digital signals are decoded in the corresponding subsystem constructed at the receiver end. Lorenz attractor is taken as an example to simulate the process of transmitting decimal digital signals by chaotic modulation. Numerical analysis shows that the communication system has higher transmission rate and decoding accuracy for the digital symbols without increasing complexity. The security and effectiveness of the proposed technical scheme is validated through the numerical investigation.

Key wordssecure communication， chaotic modulation， digital signal， projective synchronization， Jacobian matrix

DOI：10. 6052/1672-6553-2015-039

通訊作者?E-mail：yuhongjie@ sjtu. edu. cn

Corresponding author?E-mail：yuhongjie@ sjtu. edu. cn