☉浙江省臺州市白云中學(xué)　張安軍

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基于“三個理解”的“有序數(shù)對”教學(xué)設(shè)計

☉浙江省臺州市白云中學(xué)張安軍

2016年3月某校舉辦第四屆“青藤懷”青年教師優(yōu)質(zhì)課評比活動，課題內(nèi)容為“有序數(shù)對”（人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準實驗教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第七章第一節(jié)）.其實在小學(xué)階段，學(xué)生對用“數(shù)對”表示具體情境中物體的位置就有了一定的了解.本節(jié)課中結(jié)合已有的知識和生活經(jīng)驗，進一步感受用“有序數(shù)對”表示物體位置.教材內(nèi)容是從生活中常見的幾個例子出發(fā)，如電影院的座位、教室中學(xué)生的座位.電影院中的座位，如9排7座和7排9座中雖有兩個相同的數(shù)，但兩者位置完全不同，從而引出“有序數(shù)對”概念，利用“有序數(shù)對”可以確定位置.這節(jié)課從教材編排來看，篇幅較小，沒有例題，內(nèi)容簡單.身為評委，發(fā)現(xiàn)在賽課的過程中，部分參賽教師為了加強對有序數(shù)對概念的理解，反復(fù)操練.如報出有序數(shù)對，讓學(xué)生起立；或者學(xué)生起立，其余同學(xué)報出有序數(shù)對.教師的教學(xué)僅停留在第幾排第幾座位置之類的生活常識上，對于如何選擇起始點，如何把整數(shù)格點推廣到實數(shù)對點，如何從第一象限上的點推廣到其他象限上的點，以及那些能激起學(xué)生思維沖突的地方避而不談.還有部分參賽教師在有序數(shù)對概念教學(xué)上僅用了5 至10分鐘左右，學(xué)生的主要精力在做與本節(jié)內(nèi)容關(guān)系不強的拓展性題目的練習(xí)上（如練習(xí)，a、b兩數(shù)均為正整數(shù)，且也是正整數(shù)，則有序數(shù)對有多少對？），沒有挖掘“有序數(shù)對”概念課中所蘊含的一一對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷活動或探究等形式體悟數(shù)學(xué)思想方法，把概念課變成了機械演練的習(xí)題課.小學(xué)中用“數(shù)對”確定位置，初中教材在其基礎(chǔ)上用“有序數(shù)對”確定位置，面對這樣的課我們?nèi)绾毋暯?，如何承上啟下，如何實現(xiàn)從教教材到用教材的超越？人民教育出版社中數(shù)室章建躍先生提出的“三個理解”是指“理解數(shù)學(xué)”“理解學(xué)生”“理解教學(xué)”，筆者極為贊同.下面是筆者基于“三個理解”下對“有序數(shù)對”教學(xué)的再認識.

一、理解數(shù)學(xué)，突出數(shù)學(xué)思想

正如章建躍先生所言，“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提，大量課堂觀察表明，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量低下的原因，追本溯源，主要來自于教師的數(shù)學(xué)理解不到位.”［1］數(shù)學(xué)教學(xué)教的是數(shù)學(xué)，只有教師清楚知識的發(fā)展過程與發(fā)展方法，他才能帶領(lǐng)學(xué)生“重演”知識的萌芽期、生長期、成熟期，才能讓學(xué)生學(xué)到“有根、有血有肉的知識”，進而把“過程與方法目標(biāo)”落到實處.［2］數(shù)學(xué)意義上的“有序數(shù)對”來源于現(xiàn)實生活中的幾排幾座，但又是對現(xiàn)實生活中這樣一類位置，從定性到定量的抽象和概括.“點—直線、射線、線段—角”是構(gòu)成圖形的基本要素，就如造房子離不開沙子、磚頭、水泥一樣，可見點在幾何圖形中的重要作用.要對幾何圖形進行數(shù)量化，關(guān)鍵是如何刻畫點的數(shù)量化.學(xué)習(xí)用有序數(shù)對確定位置，學(xué)生不僅會用有序數(shù)對表示點的位置確定，更要體會這背后的數(shù)學(xué)價值.有序數(shù)對和點的位置的一一對應(yīng)，如果從更高的高度看，就是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的坐標(biāo)思想.由于點不能運算而數(shù)可以運算，如果能使數(shù)與點一一對應(yīng)，就可以將點轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何想法，以及能使數(shù)與點建立一一對應(yīng).笛卡爾就用平面直角坐標(biāo)系中的點來描述平面上的點，從而實現(xiàn)“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一，開創(chuàng)了解析幾何.

有序數(shù)對是平面直角坐標(biāo)系的章前課，它是后繼學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系和用坐標(biāo)表示平移的基礎(chǔ)，所涉及的坐標(biāo)思想和確定位置的方法是后繼學(xué)習(xí)“圖形與坐標(biāo)”“函數(shù)與圖像”“曲線與方程”的理論基礎(chǔ).從能力層面看，它是學(xué)生從一維向二維過渡的基礎(chǔ)，是學(xué)生訓(xùn)練數(shù)形結(jié)合思想很好的載體.

二、理解學(xué)生，關(guān)注思維特點

影響課堂教學(xué)成功與否最根本的因素是學(xué)生的學(xué)，因此著名教育學(xué)家奧蘇貝爾有至理名言：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要因素，就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué).”因此，教師在進行教學(xué)設(shè)計時，要換位思考，站在學(xué)生的立場，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，了解學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，了解學(xué)生在思維深刻性方面的能力的不足，根據(jù)學(xué)生的認知基礎(chǔ)、認知心理及認知障礙等來設(shè)計與實施課堂教學(xué).［2］在“有序數(shù)對”這節(jié)課中，學(xué)生的認知起點在哪里？學(xué)生已經(jīng)知道了什么呢？其實“用數(shù)對確定位置”在小學(xué)的各種版本的教材中都有這么一節(jié)課，各種版本的教材中用數(shù)對表示位置都有這樣的約定：“列在前排在后”，這種約定與日后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的方法相一致.對于這節(jié)課，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011版）》在第二學(xué)段（四至六年級）要求“在具體情境中，能用方格紙上的整數(shù)對表示位置，知道數(shù)對與方格紙上的點對應(yīng)（例37）”.

例37：小青坐在教室的第3行第4列，請用數(shù)對表示，并在方格紙上描出來.在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1行第3列應(yīng)當(dāng)怎樣表示？

［說明］需要先在方格紙上標(biāo)明正整數(shù)刻度，希望學(xué)生能夠把握數(shù)對與方格紙上點（行列或者列行）的對應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對之間可以進行比較.這個過程有利于學(xué)生將來直觀理解直角坐標(biāo)系.

同樣，對于“有序數(shù)對”，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011版）》在第三學(xué)段（七至九年級）要求“結(jié)合實例進一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置”.那么到底體會到何種程度呢？結(jié)合教材，考慮到本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)實數(shù)之后，數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)，在實數(shù)這一章中學(xué)生已經(jīng)理解數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的，本節(jié)課是章前課，它的后繼內(nèi)容是“平面直角坐標(biāo)系”，作為章引言，讓學(xué)生感受到在日常生活的事例中，用數(shù)對確定位置，或者位置由數(shù)對刻畫，體會這兩者之間的對應(yīng)關(guān)系，使平面有序和結(jié)構(gòu)化，從而體會到學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的意義.其次是從小學(xué)中的整數(shù)對拓展到實數(shù)對，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)主要不在于用“有序數(shù)對”找位置，而是要為下一節(jié)課“平面直角坐標(biāo)系”的理解提供直觀的認識.

三、理解教學(xué)，注重概念自然生成

理解教學(xué)是指教師清楚教學(xué)的本質(zhì)與功能，掌握一定的教學(xué)方法與教學(xué)藝術(shù)，清楚學(xué)生的認知規(guī)律和教學(xué)的基本原則，能夠把教與學(xué)作為有機的、統(tǒng)一的、相互促進的整體來加以處理.［3］具體聯(lián)系本節(jié)課，通過創(chuàng)設(shè)幾個有趣的活動，讓學(xué)生在活動中積累經(jīng)驗，并提升其做的經(jīng)驗，使它上升為數(shù)學(xué)思想方法.具體地說，本節(jié)課中，在活動中讓學(xué)生體驗坐標(biāo)思想、數(shù)形結(jié)合思想.在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)體現(xiàn)下列理念、思路與方法.

首先，通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實世界中幾個與有序數(shù)對相關(guān)的實例，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，又高于現(xiàn)實.在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)提出問題，并用與已有的認知基礎(chǔ)和認知策略相適應(yīng)的方法構(gòu)建“有序數(shù)對”概念.讓概念的生成做到真實、自然而有效.

其次，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)盡可能提出有層次的問題.好的問題是開啟學(xué)生思維的動力，能有效地發(fā)展學(xué)生的能力與思維，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是一個教師指導(dǎo)下學(xué)生在活動和操作中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)結(jié)論的過程.

第三，在理解教材的基礎(chǔ)上合理地開發(fā)教材，不拘泥于教材的局限，增強“課標(biāo)意識”和“用教材教的意識”，突破人為設(shè)置的、不合理的課時內(nèi)容間的界限，強化單元教學(xué)、整體教學(xué)意識.［2］

四、教學(xué)過程設(shè)計與分析

1.問題情境

問題1：2015年世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年紀念日，天安門廣場上出現(xiàn)了壯觀的閱兵儀式，如圖1、圖2、圖3所示，你知道它是怎么組成的嗎？其中用到了哪些數(shù)學(xué)知識？

圖1

圖2

圖3

師：參加圖案表演的每個士兵都根據(jù)隊列要求，按排號、列號站在一個確定的位置.隨著信號開始，整個隊伍的方陣就組成整齊的圖案.類似于用“第幾排第幾列”來確定同學(xué)的位置，在數(shù)學(xué)中通常建立平面直角坐標(biāo)系，用具有特定含義的兩個數(shù)來刻畫點的位置.本章學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系這一重要工具后，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)，運用數(shù)學(xué)解決問題的能力又有提高了.比如，同學(xué)們學(xué)習(xí)有序數(shù)對后，就會設(shè)計一些簡單漂亮的圖案了.

設(shè)計說明：利用多媒體播放世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年的錄像，然后選擇一些典型性的圖片，將章引言適當(dāng)改變，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在學(xué)生觀看圖片的基礎(chǔ)上提出問題，引發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光審視畫面中的圖片.然后介紹本章要學(xué)習(xí)的內(nèi)容及意義.

問題2：如果你是導(dǎo)演，想讓圖4上標(biāo)有圓圈的這個缶亮起來，你會如何描述它的位置？

問題3：如圖5，文章中有一處錯別字，如何告訴同學(xué)這一處的位置？

問題4：如果一輪船在大海中作業(yè)時突發(fā)危險，船長應(yīng)如何向警方描述他的位置？

圖4

圖5

追問1：上述三個問題在確定物體的位置時，都有什么共同點？

追問2：你會用更簡潔的符號表示它的位置嗎？

設(shè)計說明：在現(xiàn)實生活中，用數(shù)對確定位置的例子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是研究與刻畫現(xiàn)實世界的模型.三個問題情境都指向共同的目標(biāo)，即為了準確描述位置，需要從定性到定量，從粗略到精確去加以刻畫.當(dāng)學(xué)生都能用第幾列第幾排去描述時，老師再次引導(dǎo)歸納出描述位置的共同特征用到兩個數(shù)，如何簡化這一表示方法呢？遵循小學(xué)學(xué)習(xí)“用數(shù)對描述位置”的規(guī)定：列數(shù)在前，排數(shù)在后.然后回顧用數(shù)對表示位置時這一表示方法的注意點.

2.建構(gòu)活動

［建構(gòu)活動1］

問題5：如圖6，約定：列數(shù)在前，排數(shù)在后.說出下列數(shù)對：（3，5）、（5，3）、（2，4）、（4，2）所對應(yīng)班級的同學(xué)。

圖6

圖7

追問1：按照上述約定，（3，5）和（5，3）是同一個位置嗎？（2，4）和（4，2）呢？

追問3：你能嘗試用自己的語言概括有序數(shù)對的定義嗎？

設(shè)計說明：以學(xué)生生活中教室的位置為情境，以已有的認知為基礎(chǔ)進行概念的構(gòu)建.通過兩數(shù)相同但順序不同的數(shù)對描述班級中的同學(xué)，發(fā)現(xiàn)順序不同的數(shù)對所對應(yīng)的是不同的學(xué)生，在這個活動過程中，真實、自然感受有序數(shù)對的含義，從中歸納、抽象、概括有序數(shù)對的概念.

［建構(gòu)活動2］

問題6：在圖7所示的班級位置示意圖中，有序數(shù)對（7，6）對應(yīng)的同學(xué)是誰呢？

追問：（7，6）是所對應(yīng)的位置沒有呢，還是所對應(yīng)的同學(xué)沒有？（以下沒有特別說明，都是約定列數(shù)在前，排數(shù)在后）

問題7：假如某班座位如圖8所示，若把教室座位抽象成點，如圖9所示，那么教師講臺桌，即點A是第幾排？

在康復(fù)訓(xùn)練后期，患者需要根據(jù)自己的運動意圖進行主動康復(fù)訓(xùn)練。采用阻抗控制方法建立機器人與患者之間力與位置的動態(tài)關(guān)系，實現(xiàn)患者主動參與的主動訓(xùn)練控制，同時采用模糊自適應(yīng)邏輯對阻抗參數(shù)實時調(diào)整。

圖8

圖9

圖10

追問1：座位B，即點B是第幾列？

追問2：你能在圖9中畫出表示（0，0）的點O嗎？

追問3：你是怎樣理解“（-2，3）和（3，-2）”的含義的？

追問4：圖9中點C所表示的有序數(shù)對是什么？

追問5：隱藏了圖9中的網(wǎng)格線得到圖10，對于平面內(nèi)任意一個點P，你能寫出其有序數(shù)對嗎？

追問6：在圖10所確定的平面中，有序數(shù)對（x，y）能確定幾個點？反之，任意一點P對應(yīng)幾個有序數(shù)對？點和有序數(shù)對有著怎樣的關(guān)系？

設(shè)計說明：一個有序數(shù)對對應(yīng)班級中的一個位置，有時這個位置上雖沒有人，但有序數(shù)對所對應(yīng)的教室平面中的一個點卻無論如何是存在的.從有序數(shù)對對應(yīng)的同學(xué)進一步抽象為有序數(shù)對對應(yīng)的平面中的點.教室中學(xué)生的座位都是正整數(shù)點，為了把正整數(shù)點推廣到任意整數(shù)點，通過教師講臺桌是第幾列等把有序數(shù)對從正整數(shù)點推廣到任意整數(shù)點，并且構(gòu)建原點（0，0），為下一節(jié)課平面直角坐標(biāo)系的引入打下基礎(chǔ).

3.拓展延伸

問題8：如圖6所示，請以下同學(xué)：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）站起來.

追問1：請觀察站起來的同學(xué)形成的圖形的形狀，分別討論這些有序數(shù)對有何特征.

追問2：你能用字母x表示上述有序數(shù)對嗎？這條直線上所有的點都包含進去嗎？

追問3：誰能像老師這樣，叫出一些有序數(shù)對，使得站起來的同學(xué)恰好在一條直線上？

問題9：誰能說出一個有序數(shù)對，使得全班同學(xué)都站起來？

追問：請你談?wù)動行驍?shù)對和平面中的點，以及點動成線，線動成面它們之間的關(guān)系.

設(shè)計說明：通過特殊有序數(shù)對（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）…，動起來，這些點恰好在一條直線上，學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到形，再從形到數(shù)，即同一直線上的點所在的兩個數(shù)之間的關(guān)系可以表示成（x，x+1）.而后學(xué)生自主探索同一直線上的點的有序數(shù)對特征，由于條件開放，有的學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)平行于x軸的直線，平行于y軸的直線，與x、y軸都相交的直線，通過小組合作探究，這些同一直線上的點用一個字母表示，或者說出一個有序數(shù)對讓全班同學(xué)站起來等，感受到學(xué)習(xí)有序數(shù)對的意義和必要性.

4.回顧反思

問題10：本節(jié)課我們得到了哪些結(jié)論？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些感悟與體會？

設(shè)計說明：學(xué)生圍繞以上問題發(fā)表自己的觀點與看法，教師再做簡要的小結(jié).

參考文獻：

1.章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報，2015（4）.

2.黃文光，酈興江.理解“三個理解”凸顯數(shù)學(xué)思想［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

3.李昌官.基于三個讀懂，追求自然的探究［J］.數(shù)學(xué)通報，2011（5）.Z