楊桂軍

一、數(shù)的整除概念、性質(zhì)

（一）整除的定義

設(shè)任意兩個(gè)整數(shù)a和b（b≠0），a被b除的余數(shù)為零時(shí)（商

為整數(shù)），則稱a被b整除或b整除a，也把a(bǔ)叫做b的倍數(shù)，b叫 a的約數(shù)，記作b|a，如果a被b除所得的余數(shù)不為零，則稱a不能被b整除，或 b不整除a。

（二）數(shù)的整除性質(zhì)

1.對(duì)稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。

記作：a|b，b|a，則a=b。

2.傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。

記作：若a|b，b|c，則a|c。

3.若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。

記作：若a|b，a|c，則a|（b c）。

4.幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。

5.若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。

記作：若a|b，c|b，（a，c）=1， 則ac|b。

6.若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。

記作：若ac|b，（a，c）=1， 則a|b，c|b。

7.若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。

8. 若a|b，m≠0，則am|bm。

9.若am|bm，m≠0，則a|b。

10.若c|a，c|b，則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數(shù)（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和）

二、常見(jiàn)數(shù)的整除特征

1.1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對(duì)于任何整數(shù)a，總有1|a。

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0，a為整數(shù)，則a|0。

2.若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。

3.若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。

4.若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。

5.若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。

6.若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。

7.若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2

倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。

8.若一個(gè)整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。

9.若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。

10.若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。

11.若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則 能被11整除。

12.若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。

13.若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍， 如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。

三、整除的常見(jiàn)問(wèn)題

（一）數(shù)與數(shù)的整除問(wèn)題

1.直接判斷法

2.填空整除法

例2.四位數(shù)7a2b能被2，3，5整除，這樣的四位數(shù)有幾個(gè)？分別是多少？