晉　娜， 魏毅強(qiáng)

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

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不同壓縮比 Sierpinski 墊的 Hausdorff 測度和維數(shù)

晉娜， 魏毅強(qiáng)

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

摘要:系統(tǒng)討論了改變壓縮比c時(shí) Sierpinski-墊片的 Hausdorff 維數(shù)與測度的變化. 對于不同范圍的c分別運(yùn)用不同的方法討論了它們的 Hausdorff 測度與維數(shù). 壓縮比時(shí), 通過投影與構(gòu)造質(zhì)量分布, 將計(jì)算康托集測度的過程與計(jì)算 Sierpinski-墊測度的過程結(jié)合起來, 計(jì)算出此時(shí)S的測度的具體值, 并且該值為 1. 當(dāng)壓縮比在到之間時(shí), 首次系統(tǒng)討論了此時(shí)S的重疊結(jié)構(gòu)問題, 得到了S具有完全重疊結(jié)構(gòu)時(shí)c的取值. 同時(shí)，S不具有重疊結(jié)構(gòu)時(shí), 有S的維數(shù)具體值為.

關(guān)鍵詞:壓縮比； Sierpinski-墊； Hausdorff 維數(shù)與測度

在分形中, 測度與維數(shù)的估計(jì)和計(jì)算是十分重要也是非常困難的, 目前為止, 除了少數(shù)特殊分形的測度與維數(shù)被計(jì)算出來外(如均勻康托集[1]), 大部分分形的測度與維數(shù)的計(jì)算仍然是需要解決的難題， 尤其是對于滿足開集條件的自相似集, 它們的Hausdorff維數(shù)與它的自相似維數(shù)相等, 但是對于它們測度的計(jì)算卻沒有行之有效的方法. 很多文獻(xiàn)都對此做過有益討論[2-15]， 尤其是作為三個(gè)經(jīng)典自相似集之一的Sierpinski-墊片, 很多文獻(xiàn)對于它的測度進(jìn)行了研究[8-15], 尤其是文獻(xiàn)[8], [10]和[11]給出了目前測度最好的上下界以及計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)程序.

1基本構(gòu)造與命題

在 Euclid 平面R2上取一個(gè)單位正三角形, 記作 S0. 對 S0做壓縮映射 f1, f2, f3, 即對 S0中的任意點(diǎn)(x,y)， 令

上述過程無限進(jìn)行下去, 得到

定義 1[16](開集條件)設(shè) S1,S2,…,Sm是 {D?Rn} 的壓縮映射, 使

對每個(gè) i,ci<1, 如果存在非空的有界開集 V 使得對于不交的并

則稱Si滿足開集條件.

定義 3[17]設(shè) I0=[0,1], Ω={0,1,2}. 對 δ∈Ωk, 記 δ=δ(1)…δ(k), 其中 δ(i)∈Ω, 1 ≤ i ≤ k. 令

記 Iδ為 Eλ,k的基本區(qū)間, 即 Iδ=Sδ(1)Sδ(2)… Sδ(k)(I0), 設(shè) k≥1, 如果存在 δ, τ∈Ωk, δ≠τ, 使得 Iδ=Iτ， 則稱 Eλ具有完全重疊, 否則 Eλ不完全重疊.

引理 3[17]Ek滿足開集條件， 當(dāng)且僅當(dāng)Ek不具有完全重疊時(shí).

2主要結(jié)論

下面證明 Hs(S)=1. 顯然 Hs(S)≤1, 只需取 {S0} 為它的一個(gè)覆蓋即可. 因此只要證明 Hs(S)≥1 即可.

在 E 上分配一個(gè)質(zhì)量分布 μ, 使 μ(I)=|I |s. 以單位質(zhì)量從 E0=[0,1]開始, 平分質(zhì)量到E1的每個(gè)基本區(qū)間上, 如此下去， 得到如下的質(zhì)量分布

可以證明：如果 U 為 E 上的任一覆蓋, 則有 μ(U)≤|U|s.

事實(shí)上, 先估計(jì)端點(diǎn)在 E 上任一區(qū)間 U 的質(zhì)量 μ(U), 設(shè)I為包含U的最小基本區(qū)間, 且設(shè) I 為 Ek的一個(gè)基本區(qū)間. 如果 U 剛好與 I 重合, 顯然此時(shí) μ(U)=|U|s.如果 U 包含在 I 的內(nèi)部, 又因 U 的端點(diǎn)在 E 上, 則存在一個(gè) r, 使 U 剛好包含 Ek+r的整數(shù) n 個(gè)基本區(qū)間 Ir+k, 此時(shí) μ(U)=n| Ir+k|s≤|n|Ir+k|+(n-1)|I'||s=|U|s(其中I'為 Ek+r中基本區(qū)間的較小的間隔), 因此不等式對端點(diǎn)在 E 上的任一區(qū)間 U 都成立. 對端點(diǎn)不在 E 上的任一區(qū)間 U, 只需要將上述分析應(yīng)用到包含 U∩F 的最小區(qū)間上, 有 μ(U)=μ(U∩F)≤|U∩F|s≤|U|s.

下面將屬于 Ek的每個(gè)基本區(qū)間 I 上的質(zhì)量均勻分布在它對應(yīng)的 Sk的基本三角形Δi1i2…ik上, 即相當(dāng)于在 S 上分配一個(gè)質(zhì)量分布

此時(shí), S 是否具有完全重疊可由 c 是否是方程 cn=bij的解給出, 有如下結(jié)論：

至此, 我們可以將圖3看做一個(gè)基本圖形, 即兩個(gè)正三角形邊長均為 c, 相交的小正三角形的邊長為 2c-1, 那么我們可以得到一系列重疊的正三角形Δ2cn-(2c-1),Δcn(2c-1)以及Δcn+c-1. 而每兩個(gè)相交三角形我們均可以看作是基本圖形改變兩個(gè)大的正三角形的邊長以及中間相交的小的正三角形的邊長所得到的.

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Hausdorff Measures and Dimensions of Sierpinski Gaskets with Different Compression Ratios

JIN Na, WEI Yi-qiang

(Department of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Key words:compression ratio; Sierpinski gasket; Hausdorff measure and dimension

Abstract:This paper discussed systematically the change of Hausdorff dimensions and measures of the Sierpinski-gaskets when the compression ratio was changed. For the different range ofc, the paper researched their Hausdorff dimensions and measures by using corresponding methods. While the compression ratio was less than, through the projection and structural mass distribution, the calculations of Cantor set measure and Sierpinski gaskets were combined, then the paper had the specific value of their measures, and this value was 1. Whilecwas more thanand less than, the paper discussed overlapping structure problem ofSat the first time and the value ofcwhileSwas completely overlapped was received. At the same time, Hausdorff dimension waswhileShadn’t completely overlapping structure.

文章編號(hào):1673-3193(2016)03-0229-05

收稿日期:2015-10-18

作者簡介：晉娜(1989-)， 女， 碩士生， 主要從事分形幾何與動(dòng)力系統(tǒng)研究.

通訊作者：魏毅強(qiáng)(1961-)， 男， 教授， 主要從事分形幾何和動(dòng)力系統(tǒng)研究.

中圖分類號(hào):O143

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.03.005