何昌云

摘 要：分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想在簡(jiǎn)化研究對(duì)象、發(fā)展思維方面起著重要作用，因此，有關(guān)分類討論的思想的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；應(yīng)用

所謂分類討論，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，然后逐類進(jìn)行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.下面分析一下分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、分類討論思想在集合中的應(yīng)用

例1.設(shè)A={[x] -2≤x≤a}，B={[y] y=2x+3，x∈A}，C={[z] z=x2，x∈A}，且C?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解∵A={[x] -2≤x≤a}，

∴B={[y] y=2x+3，x∈A}

={[y] -1≤y≤2a+3}.

（1）當(dāng)-2≤a≤0時(shí)，C={[z] a2≤z≤4}，因?yàn)镃?B，所以4≤2a+3，解得a≥，

與-2≤a≤0矛盾.

（2）當(dāng)0

解得a≥，

故≤a≤2.

（3）當(dāng)a>2時(shí)，C={[z] 0≤z≤a2}，因?yàn)镃?B，所以a2≤2a+3，

解得-1≤a≤3，

故2

綜上可得[a]

≤a≤3.

二、分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例2.已知函數(shù)f（x）=2x2-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上有最小值，記作g（a），求g（a）的函數(shù)表達(dá)式.

解：原式配方得y=2（x-）2+3-，

其對(duì)稱軸方程為x=，

（1）當(dāng)≤-1時(shí)，即a≤-2時(shí)，y在[-1，1]上遞增，

在x=-1時(shí)，g（a）=2a+5；

（2）當(dāng)-1<<1時(shí)，即-2

在x=處有最小值，g（a）=3-；

（3）當(dāng)≥1即a≥2時(shí)，y在[-1，1]上單調(diào)遞減，

在x=1時(shí)，g（a）=5-2a；

綜上所述可得g（a）=2a+5，（a≤-2）

3-

（-2

5-2a，（a≥2）.

三、分類討論思想在不等式中的應(yīng)用

例3.解關(guān)于x的不等式x2-（a+a2）x+a3>0.

解：（1）當(dāng)0a2，不等式的解集為{[x] xa}；

（2）當(dāng)a=0時(shí)，a=a2，不等式解集為{[x] x∈R且x≠0}；

（3）當(dāng)a≠1時(shí)，a=a2，不等式解集為{[x] x∈R且x≠1}；

（4）當(dāng)a>1或a<0時(shí)，a

四、分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用

例4.在正方體的頂點(diǎn)中，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少？

解：依題意，共線的三點(diǎn)組可以分為三類：

（1）兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有=28（個(gè)）；

（2）兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組，共有=3（個(gè)）；

（3）兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組，共有=18（個(gè)）

所以總共有28+3+18=49（個(gè)）。

五、分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例5.已知數(shù)列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n項(xiàng)和.

分析：本題未指明數(shù)列為等比數(shù)列，所以分類討論時(shí)還要考慮x=0這一情況.

解：設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）當(dāng)x=0時(shí)，Sn=1；

（2）當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+n=；

（3）當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

兩式相減：

（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn，

∴Sn=.

綜上所述：

Sn=1，（x=0）

（x=1）

，（x≠0且x≠1）.

通過探討分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中集合、函數(shù)、不等式，排列組合等中的應(yīng)用，我們應(yīng)用正確的分類討論思想，對(duì)不同情況進(jìn)行分類研究，使問題化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整，從而使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答.所以，在教學(xué)中教師應(yīng)該滲透分類討論的思想，讓學(xué)生充分感受并掌握這種思想.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭可銀.談分類討論思想方法在解題中的應(yīng)用：高中版[M].高等教育出版社，2005-04.

[2]劉文武.中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想：分類討論思想[M].科學(xué)出版社，2003-11.

編輯 薄躍華