時(shí)統(tǒng)業(yè)，　秦　華，　王　斌

(1.海軍指揮學(xué)院信息系，南京211800；　2.海軍蚌埠士官學(xué)校航海系，安徽蚌埠233012)

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與HG凸函數(shù)有關(guān)的若干單調(diào)函數(shù)

時(shí)統(tǒng)業(yè)1，秦華1，王斌2

(1.海軍指揮學(xué)院信息系，南京211800；2.海軍蚌埠士官學(xué)校航海系，安徽蚌埠233012)

[摘要]首先證明HG凸函數(shù)存在單側(cè)導(dǎo)數(shù).利用HG凸函數(shù)的定義和不等式，構(gòu)造了若干函數(shù)，通過研究它們的單側(cè)導(dǎo)數(shù)證明它們的單調(diào)性.

[關(guān)鍵詞]HG凸函數(shù)； 對(duì)數(shù)凸函數(shù)； 單調(diào)性； 單側(cè)導(dǎo)數(shù)

受文[1-5]的啟發(fā)，本文給出一些與HG凸函數(shù)有關(guān)的單調(diào)函數(shù).

定義1[6]設(shè)f(x)區(qū)間I上有定義，f(x)在I上稱為是凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有

定義2[7]設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的正值函數(shù)，如果lnf(x)為I上的凸(凹)函數(shù)，則稱f(x)在區(qū)間I上是對(duì)數(shù)凸函數(shù).

定義3[8]設(shè)區(qū)間I?(0，+∞)，f∶I→(0，+∞)，若對(duì)任意x1，x2∈I，t∈(0，1)，有

(1)

則稱f是區(qū)間I上的HG凸函數(shù).如果式(1)中的不等號(hào)反向，則稱f是區(qū)間I上的HG凹函數(shù).

引理1[8]設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)在[a，b]上二階可導(dǎo)，則f是[a，b]上的HG凸(凹)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意x∈[a，b]有

引理3[5]設(shè)f∶I?R→(0，+∞)，則f是I上的對(duì)數(shù)凸(凹)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)lnf∶x∈I→lnf(x)為I上的凸(凹)函數(shù)，故此時(shí)f在每一處都存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)，且f′+(x)≥(≤)f′-(x).

引理4[9]設(shè)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在開區(qū)間(a，b)?I內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù)(從而處處連續(xù))，且對(duì)x，y∈(a，b)，x

引理5[9]f(x)在區(qū)間(a，b)上為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意x0∈(a，b)和α∈[f′-(x0)，f′+(x0)]，當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，有

引理6設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是HG凸函數(shù)，則

(i)f在(a，b)各點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在，且對(duì)任意x，y∈(a，b)，x

(2)

由此得

也即式(2)成立.

引理7[10]設(shè)f(x)是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，若f′+(x)或f′-(x)對(duì)一切x∈(a，b)有一個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在，且非負(fù)(允許+∞)，則f(x)單調(diào)遞增.

定理1設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是二階可微的HG凸函數(shù)，且2f(x)+xf′(x)在[a，b]上恒號(hào)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

因?yàn)閒是HG凸函數(shù)，由引理1有

從而對(duì)任意x∈(a，b)，有f′1(x)≥0，即f1(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

推論1.1設(shè)條件同定理1，則有

(3)

證由定理1知f1(x)在[a，b]上單調(diào)增加，所以有f1(b)≥f1(a)，由此證得式(3)成立.

推論1.2設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是二階可微的HG凸函數(shù)，且2f(x)+xf′(x)在[a，b]上恒正(負(fù))，則函數(shù)

是[a，b]上的HG凸(凹)函數(shù).

證由定理1有f1(x)≥f1(a)，于是有

由引理1知f2(x)是[a，b]上的HG凸(凹)函數(shù).

定理2設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的HG凸函數(shù)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

于是對(duì)任意的x∈(a，b)有R′+(x)≥0，由引理7知R(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

定理3設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的單調(diào)增加的HG凸函數(shù)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

由HG凸函數(shù)的定義有

又因?yàn)閤≥H(a，x)，由引理6有

因此對(duì)任意x∈(a，b)有P′+(x)≥0，由引理7知P(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

定理4設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)且單調(diào)的HG凸函數(shù)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證顯然θ(x)在[a，b]上連續(xù).對(duì)任意x∈(a，b)，

由引理6有

故對(duì)任意x∈(a，b)有θ′+(x)≥0，由引理7知θ(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

推論4.1設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)且單調(diào)的HG凸函數(shù)，則

(4)

證由定理2和定理4分別得到式(4)的左邊和右邊不等式.

定理5設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的HG凸函數(shù)，t∈(0,1)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

因此對(duì)任意x∈(a，b)有φ′+(x)≥0，由引理7知φ(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

定理6設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的單調(diào)增加的HG凸函數(shù)，t∈(0，1)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

因此對(duì)任意x∈(a，b)有ψ′+(x)≥0，由引理7知ψ(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

定理7設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的單調(diào)增加的HG凸函數(shù)，t∈(0，1)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

以下證明類似于定理6的證明，這里略去.

定理8設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的HG凸函數(shù)，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

由引理6對(duì)任意x∈(a，b)有T′+(x)≥0，由引理7知T(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

推論8.1設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的HG凸函數(shù)，則

(5)

證由定理8知T(x)在[a，b]上單調(diào)增加，所以有T(b)≥T(a)，由此證得式(5)成立.

定理9設(shè)f∶[a，b]?(0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)的HG凸函數(shù)，常數(shù)c>1，則函數(shù)

在[a，b]上單調(diào)增加.

證對(duì)任意x∈(a，b)，

當(dāng)c>1時(shí)，cx>x，由引理6有

因此對(duì)任意x∈(a，b)有l(wèi)′+(x)≥0，由引理7知l(x)在[a，b]上單調(diào)增加.

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Some Monotone Functions Related to HG-Convex Functions

SHITong-ye1，QINHua1，WANGBin2

(1.Department of Information，PLA Naval Command College，Nanjing 211800,China；2.Department of Navigation，PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy，Bengbu Anhui 233012,China)

Abstract:The existence of unilateral derivatives of HG-convex functions is proved.some monotone functions are constructed by means of the definition and inequalities for HG-convex functions，and their monotonicity are proved with unilateral derivative.

Key words:HG-convex function; logarithmic convex function; monotonicity; unilateral derivative

[收稿日期]2015-06-30

[作者簡(jiǎn)介]時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963-)，男，碩士，副教授，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.Email：shtycity@sina.com

[中圖分類號(hào)]O178

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0073-05